Tính giá trị đa thức tại số cho trước

Giá trị và nghiệm của đa thức một biến · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-16-B1

Sau bài này, em có thể:

• Tính giá trị tại số nguyên hoặc phân số.
• Tìm hệ số đơn giản từ giá trị và kiểm dấu khi thay số đối.

1. Kiến thức và phương pháp

Với đa thức $P(x)$, kí hiệu $P(a)$ là giá trị khi thay $x$ bằng $a$. Đặt số âm trong ngoặc khi làm cơ số hoặc thừa số. Chỉ phần chứa biến với số mũ được nâng lũy thừa; hệ số đứng ngoài trừ khi có ngoặc rõ ràng.

Thế $0$ cho hạng tử hằng, thế $1$ cho tổng hệ số. Các giá trị đó giúp kiểm hoặc tìm hệ số trong dạng đã biết.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Thay số âm vào đa thức bậc hai

Cơ bản

Đề bài

Tính $P(-1)$ với $P(x)=2x^{2}-3x+1$.

Nghĩ từ đâu?

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải từng bước

1. Thay cùng giá trị $-1$ vào mọi vị trí: $P(-1)=(1)(-1)^{0}+(-3)(-1)^{1}+(2)(-1)^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(-1)=(1)+(3)+(2)=6$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(-1)=((2)(-1)+(-3))(-1)+(1)=6$. Cùng số $-1$ được thay ở mọi vị trí.

Ví dụ 2. Thế không để kiểm hằng số

Cơ bản

Đề bài

Tính $P(0)$ với $P(x)=x^{2}+4x-2$.

Nghĩ từ đâu?

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải từng bước

1. Thay $x=0$, giữ hạng tử hằng trực tiếp: $P(0)=-2+4\cdot0+0^2=-2$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(0)=(-2)+(0)+(0)=-2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(0)=((1)(0)+(4))(0)+(-2)=-2$. Cùng số $0$ được thay ở mọi vị trí.

Ví dụ 3. Thay số âm vào lũy thừa lẻ

Cơ bản

Đề bài

Tính $P(-2)$ với $P(x)=3x^{3}-x+5$.

Nghĩ từ đâu?

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải từng bước

1. Thay cùng giá trị $-2$ vào mọi vị trí: $P(-2)=(5)(-2)^{0}+(-1)(-2)^{1}+(3)(-2)^{3}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(-2)=(5)+(2)+(-24)=-17$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(-2)=(((3)(-2)+(0))(-2)+(-1))(-2)+(5)=-17$. Cùng số $-2$ được thay ở mọi vị trí.

Ví dụ 4. Thay phân số dương

Cơ bản

Đề bài

Tính $P(\frac{1}{2})$ với $P(x)=2x^{2}+x-1$.

Nghĩ từ đâu?

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải từng bước

1. Thay cùng giá trị $\frac{1}{2}$ vào mọi vị trí: $P(\frac{1}{2})=(-1)(\frac{1}{2})^{0}+(1)(\frac{1}{2})^{1}+(2)(\frac{1}{2})^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(\frac{1}{2})=(-1)+(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})=0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(\frac{1}{2})=((2)(\frac{1}{2})+(1))(\frac{1}{2})+(-1)=0$. Cùng số $\frac{1}{2}$ được thay ở mọi vị trí.

Ví dụ 5. Hệ số âm và bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $P(-3)$ với $P(x)=-2x^{2}+3$.

Nghĩ từ đâu?

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải từng bước

1. Thay cùng giá trị $-3$ vào mọi vị trí: $P(-3)=(3)(-3)^{0}+(-2)(-3)^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(-3)=(3)+(-18)=-15$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(-3)=((-2)(-3)+(0))(-3)+(3)=-15$. Cùng số $-3$ được thay ở mọi vị trí.

Ví dụ 6. Giá trị tại phân số lớn hơn một

Cơ bản

Đề bài

Tính $P(\frac{3}{2})$ với $P(x)=x^{2}-3x+2$.

Nghĩ từ đâu?

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải từng bước

1. Thay cùng giá trị $\frac{3}{2}$ vào mọi vị trí: $P(\frac{3}{2})=(2)(\frac{3}{2})^{0}+(-3)(\frac{3}{2})^{1}+(1)(\frac{3}{2})^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(\frac{3}{2})=(2)+(-\frac{9}{2})+(\frac{9}{4})=-\frac{1}{4}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(\frac{3}{2})=((1)(\frac{3}{2})+(-3))(\frac{3}{2})+(2)=-\frac{1}{4}$. Cùng số $\frac{3}{2}$ được thay ở mọi vị trí.

Ví dụ 7. Tìm hệ số trước khi tính giá trị

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho $P(x)=x^2+mx+1$, biết $P(2)=7$. Tìm $m$ rồi tính $P(-2)$.

Nghĩ từ đâu?

Thế giá trị đã biết để tìm hệ số cố định trước khi tính giá trị mới.

Lời giải từng bước

1. $4+2m+1=7$ nên $m=1$.

2. $P(-2)=4-2+1=3$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Thay lại $P(2)=4+2+1=7$ kiểm hệ số vừa tìm.

Ví dụ 8. So giá trị tại hai số đối

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho $A(x)=2x^2-3x+4$. Tìm $A(t)-A(-t)$ theo $t$; khi nào hai giá trị bằng nhau?

Nghĩ từ đâu?

Bình phương không đổi khi đổi dấu, số hạng bậc nhất đổi dấu.

Lời giải từng bước

1. $A(-t)=2t^2+3t+4$. Hiệu $A(t)-A(-t)=-6t$.

2. Hai giá trị bằng nhau khi và chỉ khi $t=0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tại $0$ cả hai bằng $4$; với $t$ khác $0$ hiệu khác $0$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Cho $P(x)=x^2-4x+2$. Tính $P(0)$ và $P(2)$.

Gợi ý bài 1

Thế riêng hai giá trị, không dùng kết quả cặp trước thay biến.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $P(0)=0-0+2=2$.

2. $P(2)=4-8+2=-2$.

Tự kiểm

Giá trị tại $0$ khôi phục hạng tử hằng $2$.

Bài 2

Cơ bản

Cho $Q(x)=3x^3-x+5$. Tính $Q(-1)$.

Gợi ý bài 2

Giữ số âm làm cơ số mũ $3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $Q(-1)=3(-1)^3-(-1)+5=-3+1+5$.

2. Kết quả $3$.

Tự kiểm

$(-1)^3=-1$, không phải $1$.

Bài 3

Cơ bản

Cho $A(x)=2x^2+x-1$. Tính $A(1/2)$.

Gợi ý bài 3

Bình phương phân số trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $A(1/2)=2\cdot(1/4)+1/2-1$.

2. Giá trị $0$.

Tự kiểm

Giá trị $0$ có ý nghĩa riêng khi xét nghiệm ở bài sau.

Bài 4

Cơ bản

Bạn thay $x=-2$ vào $-3x^2$ thành $(-3\cdot-2)^2$. Sửa vị trí bình phương và tính hạng tử.

Gợi ý bài 4

Chỉ biến $x$ được bình phương, hệ số $-3$ ở ngoài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Đúng là $-3\cdot(-2)^2$.

2. Bằng $-3\cdot4=-12$; cách sai bình phương cả hệ số lẫn biến.

Tự kiểm

$(-3)^2$ không nằm trong biểu thức đã cho; hệ số $-3$ vẫn đứng ngoài lũy thừa.

Bài 5

Cơ bản

Tính $P(-2)$ với $P(x)=3x^{2}+2x-1$.

Gợi ý bài 5

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Thay cùng giá trị $-2$ vào mọi vị trí: $P(-2)=(-1)(-2)^{0}+(2)(-2)^{1}+(3)(-2)^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(-2)=(-1)+(-4)+(12)=7$.

Tự kiểm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(-2)=((3)(-2)+(2))(-2)+(-1)=7$. Cùng số $-2$ được thay ở mọi vị trí.

Bài 6

Cơ bản

Tính $P(-1)$ với $P(x)=-2x^{3}+x+4$.

Gợi ý bài 6

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Thay cùng giá trị $-1$ vào mọi vị trí: $P(-1)=(4)(-1)^{0}+(1)(-1)^{1}+(-2)(-1)^{3}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(-1)=(4)+(-1)+(2)=5$.

Tự kiểm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(-1)=(((-2)(-1)+(0))(-1)+(1))(-1)+(4)=5$. Cùng số $-1$ được thay ở mọi vị trí.

Bài 7

Cơ bản

Tính $P(\frac{1}{2})$ với $P(x)=4x^{2}-4x+1$.

Gợi ý bài 7

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Thay cùng giá trị $\frac{1}{2}$ vào mọi vị trí: $P(\frac{1}{2})=(1)(\frac{1}{2})^{0}+(-4)(\frac{1}{2})^{1}+(4)(\frac{1}{2})^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(\frac{1}{2})=(1)+(-2)+(1)=0$.

Tự kiểm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(\frac{1}{2})=((4)(\frac{1}{2})+(-4))(\frac{1}{2})+(1)=0$. Cùng số $\frac{1}{2}$ được thay ở mọi vị trí.

Bài 8

Cơ bản

Tính $P(-1)$ với $P(x)=x^{2}+\frac{1}{2}x-2$.

Gợi ý bài 8

Thay số bằng ngoặc, tính chính xác rồi giữ phân biệt số thay với giá trị đa thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Thay cùng giá trị $-1$ vào mọi vị trí: $P(-1)=(-2)(-1)^{0}+(\frac{1}{2})(-1)^{1}+(1)(-1)^{2}$.

2. Tính từng hạng tử rồi cộng: $P(-1)=(-2)+(-\frac{1}{2})+(1)=-\frac{3}{2}$.

Tự kiểm

Kiểm bằng cách nhóm nhân: $P(-1)=((1)(-1)+(\frac{1}{2}))(-1)+(-2)=-\frac{3}{2}$. Cùng số $-1$ được thay ở mọi vị trí.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $P(x)=2x^2+ax-3$, biết $P(1)=4$. Tìm $a$ rồi tính $P(-1)$.

Gợi ý bài 9

Thế $1$ để tìm $a$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $2+a-3=4$ nên $a=5$.

2. $P(-1)=2-5-3=-6$.

Tự kiểm

$P(1)=2+5-3=4$ đúng.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $P(x)=x^3+2x$. Chứng minh $P(-t)=-P(t)$ rồi tính $P(2)+P(-2)$.

Gợi ý bài 10

Các lũy thừa bậc lẻ $(-t)^3=-t^3$ và $(-t)^1=-t$ đổi dấu giá trị khi thay $-t$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $P(-t)=(-t)^3+2(-t)=-t^3-2t=-P(t)$.

2. $P(2)+P(-2)=0$ theo đẳng thức, không cần nhân hết hai lần.

Tự kiểm

Tính riêng $12$ và $-12$ cũng kiểm được tổng $0$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $A(x)=x^2+bx+c$, $A(0)=2$ và $A(1)=6$. Tìm $b,c$ rồi tính $A(2)$.

Gợi ý bài 11

Thế $0$ cho $c$, sau đó thế $1$ cho $b$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $c=2$; $1+b+2=6$ nên $b=3$.

2. $A(2)=4+6+2=12$.

Tự kiểm

Hai điều kiện ban đầu cùng được kiểm trong đa thức tìm được.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bạn tính $P(-2)$ cho $P(x)=x^2-x$ thành $4-2=2$. Nêu lỗi, sửa và tính chênh lệch.

Gợi ý bài 12

Dấu trừ trước $x$ phải áp dụng cho toàn giá trị $-2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Đúng là $P(-2)=(-2)^2-(-2)=4+2=6$.

2. Kết quả sai $2$ nhỏ hơn đúng $4$ đơn vị; lỗi biến $-(-2)$ thành $-2$.

Tự kiểm

Không chỉ kiểm số hạng bình phương mà bỏ số hạng bậc nhất.

5. Tự kiểm sau khi học

Dùng điều kiện giá trị $0$ để hiểu nghiệm.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Giá trị và nghiệm của đa thức một biến. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.