Tính lũy thừa của lũy thừa

Lũy thừa số hữu tỉ với số mũ tự nhiên · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-03-B4

Sau bài này, em có thể:

• Biến đổi lũy thừa của lũy thừa.
• Phân biệt hai quy tắc cộng và nhân số mũ.
• Kiểm điều kiện khi có số mũ không.

1. Kiến thức và phương pháp

Với các số mũ tự nhiên $m,n$, ta có $(a^m)^n=a^{mn}$ khi các biểu thức đều xác định. Khi $m,n>0$, có $n$ nhóm, mỗi nhóm $m$ thừa số, nên có tất cả $mn$ thừa số.

Nếu một số mũ bằng $0$, cần kiểm các cơ số ở tầng đó khác $0$. Quy tắc này nhân số mũ; quy tắc $a^ma^n=a^{m+n}$ lại cộng số mũ.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Nhân hai số mũ

Cơ bản

Đề bài

Viết $[(\frac{2}{3})^2]^3$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Có $3$ nhóm, mỗi nhóm chứa $2$ thừa số $\frac{2}{3}$; tổng số thừa số là $2\cdot3$.

Lời giải từng bước

1. $[(\frac{2}{3})^2]^3=(\frac{2}{3})^{2\cdot3}=(\frac{2}{3})^{6}$.

2. Tính được $\frac{64}{729}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính trong ngoặc trước được $\frac{4}{9}$, rồi nâng lên số mũ $3$ cũng được $\frac{64}{729}$.

Ví dụ 2. Nhân hai số mũ

Cơ bản

Đề bài

Viết $[(-\frac{1}{2})^2]^2$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Có $2$ nhóm, mỗi nhóm chứa $2$ thừa số $-\frac{1}{2}$; tổng số thừa số là $2\cdot2$.

Lời giải từng bước

1. $[(-\frac{1}{2})^2]^2=(-\frac{1}{2})^{2\cdot2}=(-\frac{1}{2})^{4}$.

2. Tính được $\frac{1}{16}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính trong ngoặc trước được $\frac{1}{4}$, rồi nâng lên số mũ $2$ cũng được $\frac{1}{16}$.

Ví dụ 3. Nhân hai số mũ

Cơ bản

Đề bài

Viết $[(-\frac{2}{5})^1]^3$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Có $3$ nhóm, mỗi nhóm chứa $1$ thừa số $-\frac{2}{5}$; tổng số thừa số là $1\cdot3$.

Lời giải từng bước

1. $[(-\frac{2}{5})^1]^3=(-\frac{2}{5})^{1\cdot3}=(-\frac{2}{5})^{3}$.

2. Tính được $-\frac{8}{125}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính trong ngoặc trước được $-\frac{2}{5}$, rồi nâng lên số mũ $3$ cũng được $-\frac{8}{125}$.

Ví dụ 4. Nhân hai số mũ

Cơ bản

Đề bài

Viết $[(\frac{3}{7})^3]^1$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Có $1$ nhóm, mỗi nhóm chứa $3$ thừa số $\frac{3}{7}$; tổng số thừa số là $3\cdot1$.

Lời giải từng bước

1. $[(\frac{3}{7})^3]^1=(\frac{3}{7})^{3\cdot1}=(\frac{3}{7})^{3}$.

2. Tính được $\frac{27}{343}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính trong ngoặc trước được $\frac{27}{343}$, rồi nâng lên số mũ $1$ cũng được $\frac{27}{343}$.

Ví dụ 5. Nhân hai số mũ

Cơ bản

Đề bài

Viết $[(\frac{5}{6})^2]^0$ thành một lũy thừa rồi tính.

Nghĩ từ đâu?

Tính cơ số trong ngoặc được $\frac{25}{36}\ne0$, rồi áp dụng $b^0=1$ với $b\ne0$.

Lời giải từng bước

1. $[(\frac{5}{6})^2]^0=(\frac{5}{6})^{2\cdot0}=(\frac{5}{6})^{0}$.

2. Tính được $1$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cơ số trong ngoặc là $\frac{25}{36}\ne0$, vì thế lũy thừa số mũ $0$ được xác định và bằng $1$.

Ví dụ 6. Không cộng số mũ của lũy thừa lồng

Cơ bản

Đề bài

Bạn viết $\left[\left(\dfrac12\right)^2\right]^3=\left(\dfrac12\right)^5$. Hãy sửa bằng cách đếm thừa số.

Nghĩ từ đâu?

Mỗi nhóm có hai thừa số và có ba nhóm, nên phải nhân $2$ với $3$.

Lời giải từng bước

1. Biểu thức là tích của ba nhóm $\left(\dfrac12\right)^2$, có tất cả $2+2+2=6$ thừa số $\dfrac12$.

2. Kết quả là $\left(\dfrac12\right)^6=\dfrac1{64}$, không phải $\left(\dfrac12\right)^5$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính ngoặc trong được $\dfrac14$, rồi $\left(\dfrac14\right)^3=\dfrac1{64}$.

Ví dụ 7. Đổi thứ tự hai tầng số mũ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

So sánh $\left[\left(-\dfrac23\right)^2\right]^3$ và $\left[\left(-\dfrac23\right)^3\right]^2$.

Nghĩ từ đâu?

Hai biểu thức có cùng cơ số; số mũ cuối là tích của hai số mũ.

Lời giải từng bước

1. Biểu thức đầu bằng $\left(-\dfrac23\right)^6$, biểu thức sau cũng bằng $\left(-\dfrac23\right)^6$.

2. Vì vậy chúng bằng nhau và cùng bằng $\dfrac{64}{729}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tích $2\cdot3=3\cdot2$, nhưng không suy rằng phép lũy thừa nói chung có tính giao hoán giữa cơ số và số mũ.

Ví dụ 8. Tìm số mũ tự nhiên

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm số tự nhiên $n$ thỏa $(2^n)^3=2^{12}$.

Nghĩ từ đâu?

Đưa lũy thừa lồng về cùng cơ số; dùng tính tăng của cơ số $2$.

Lời giải từng bước

1. Vế trái bằng $2^{3n}$. Vì $2^{3n}=2^{12}$, suy ra $3n=12$.

2. Vậy $n=4$; kiểm $(2^4)^3=2^{12}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$n=4$ là số tự nhiên; không chia nhầm số mũ theo quy tắc của phép nhân hai lũy thừa.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Viết $\left[\left(\dfrac25\right)^3\right]^2$ thành một lũy thừa.

Gợi ý bài 1

Có hai nhóm, mỗi nhóm ba thừa số $\dfrac25$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Tổng số thừa số là $3\cdot2=6$.

2. Biểu thức bằng $\left(\dfrac25\right)^6$.

Tự kiểm

Có thể viết ba cộng ba thừa số để kiểm số mũ $6$.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\left[\left(-\dfrac12\right)^2\right]^2$.

Gợi ý bài 2

Nhân số mũ $2\cdot2$ hoặc tính trong ngoặc trước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Biểu thức bằng $\left(-\dfrac12\right)^4$.

2. Giá trị là $\dfrac1{16}$.

Tự kiểm

Ngoặc trong bằng $\dfrac14$; bình phương nó cũng cho $\dfrac1{16}$.

Bài 3

Cơ bản

Viết $\left[\left(\dfrac34\right)^2\right]^5$ và $\left[\left(\dfrac34\right)^5\right]^2$ dưới dạng một lũy thừa. Chúng có bằng nhau không?

Gợi ý bài 3

Nhân hai số mũ trong mỗi biểu thức.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Biểu thức đầu bằng $\left(\dfrac34\right)^{2\cdot5}=\left(\dfrac34\right)^{10}$.

2. Biểu thức sau bằng $\left(\dfrac34\right)^{5\cdot2}=\left(\dfrac34\right)^{10}$. Vì cùng một lũy thừa nên chúng bằng nhau.

Tự kiểm

Đẳng thức dựa vào $2\cdot5=5\cdot2$, không phải quy tắc cộng số mũ.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết $\left[\left(\dfrac23\right)^2\right]^3=\left(\dfrac23\right)^5$. Đếm số thừa số hoặc dùng quy tắc để sửa.

Gợi ý bài 4

Ba nhóm có hai thừa số mỗi nhóm tạo tổng cộng bao nhiêu thừa số?

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Có $2+2+2=6$ thừa số $\dfrac23$, nên số mũ cuối phải bằng $6$.

2. Kết quả đúng là $\left(\dfrac23\right)^6$.

Tự kiểm

Quy tắc ở đây nhân $2\cdot3$, khác phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

Bài 5

Cơ bản

Viết $[(\frac{1}{3})^2]^3$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 5

Có $3$ nhóm, mỗi nhóm chứa $2$ thừa số $\frac{1}{3}$; tổng số thừa số là $2\cdot3$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $[(\frac{1}{3})^2]^3=(\frac{1}{3})^{2\cdot3}=(\frac{1}{3})^{6}$.

2. Tính được $\frac{1}{729}$.

Tự kiểm

Tính trong ngoặc trước được $\frac{1}{9}$, rồi nâng lên số mũ $3$ cũng được $\frac{1}{729}$.

Bài 6

Cơ bản

Viết $[(-\frac{3}{4})^2]^1$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 6

Có $1$ nhóm, mỗi nhóm chứa $2$ thừa số $-\frac{3}{4}$; tổng số thừa số là $2\cdot1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $[(-\frac{3}{4})^2]^1=(-\frac{3}{4})^{2\cdot1}=(-\frac{3}{4})^{2}$.

2. Tính được $\frac{9}{16}$.

Tự kiểm

Tính trong ngoặc trước được $\frac{9}{16}$, rồi nâng lên số mũ $1$ cũng được $\frac{9}{16}$.

Bài 7

Cơ bản

Viết $[(\frac{2}{7})^1]^2$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 7

Có $2$ nhóm, mỗi nhóm chứa $1$ thừa số $\frac{2}{7}$; tổng số thừa số là $1\cdot2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $[(\frac{2}{7})^1]^2=(\frac{2}{7})^{1\cdot2}=(\frac{2}{7})^{2}$.

2. Tính được $\frac{4}{49}$.

Tự kiểm

Tính trong ngoặc trước được $\frac{2}{7}$, rồi nâng lên số mũ $2$ cũng được $\frac{4}{49}$.

Bài 8

Cơ bản

Viết $[(-\frac{5}{8})^2]^0$ thành một lũy thừa rồi tính.

Gợi ý bài 8

Tính cơ số trong ngoặc được $\frac{25}{64}\ne0$, rồi áp dụng $b^0=1$ với $b\ne0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $[(-\frac{5}{8})^2]^0=(-\frac{5}{8})^{2\cdot0}=(-\frac{5}{8})^{0}$.

2. Tính được $1$.

Tự kiểm

Cơ số trong ngoặc là $\frac{25}{64}\ne0$, vì thế lũy thừa số mũ $0$ được xác định và bằng $1$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm số tự nhiên $n$ để $(3^n)^2=3^{10}$.

Gợi ý bài 9

Đưa về lũy thừa cơ số $3$, là cơ số có các lũy thừa tự nhiên tăng nghiêm ngặt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $(3^n)^2=3^{2n}$, nên $2n=10$.

2. Suy ra $n=5$; thay lại được $(3^5)^2=3^{10}$.

Tự kiểm

Không cộng $n+2$ vì biểu thức là lũy thừa của lũy thừa.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số tự nhiên $n$ để $(2^n)^2=2^7$.

Gợi ý bài 10

Số mũ cuối ở vế trái là số chẵn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Đẳng thức tương đương $2^{2n}=2^7$, nên $2n=7$ vì cơ số $2$ tăng nghiêm ngặt.

2. Không có số tự nhiên $n$ thỏa $2n=7$, nên bài không có nghiệm tự nhiên.

Tự kiểm

$n=\dfrac72$ không được nhận vì đề giới hạn số mũ là tự nhiên.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $a\ne0$. So sánh $(a^0)^5$ và $(a^5)^0$, nêu đủ điều kiện.

Gợi ý bài 11

Tính theo từng tầng; ở số mũ $0$, cơ số của tầng đó phải khác $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Vì $a\ne0$, $a^0=1$ nên $(a^0)^5=1^5=1$.

2. Cũng vì $a\ne0$, $a^5\ne0$ nên $(a^5)^0=1$. Hai biểu thức bằng nhau.

Tự kiểm

Nếu bỏ điều kiện $a\ne0$, một trong các tầng tạo ký hiệu không được gán giá trị trong bài.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Giải thích $(a^2)^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6$ cho mọi số hữu tỉ $a$, kể cả $0$.

Gợi ý bài 12

Đếm hai thừa số trong mỗi nhóm; không cần phép chia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Ba nhóm, mỗi nhóm gồm hai thừa số $a$, ghép thành sáu thừa số $a$.

2. Vì thế cả hai biểu thức bằng $a^6$. Khi $a=0$, mọi số mũ đều dương nên hai vế cùng bằng $0$.

Tự kiểm

Không có số mũ $0$ hay số chia bằng $0$, nên trường hợp cơ số $0$ vẫn hợp lệ.

5. Tự kiểm sau khi học

Đọc cấu trúc ngoặc trước khi chọn quy tắc; cùng cơ số không đủ để quyết định cộng hay nhân số mũ.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Lũy thừa số hữu tỉ với số mũ tự nhiên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.