Tính nhẩm và tính viết có kiểm

Tính hợp lí và vận dụng số hữu tỉ · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-05-B3

Sau bài này, em có thể:

• Chọn cách tính phù hợp cấu trúc.
• Kiểm bằng biểu diễn khác hoặc phép tính ngược.
• Phân biệt chính xác và gần đúng khi tính.

1. Kiến thức và phương pháp

Trước khi quy đồng hoặc nhân số lớn, tìm cặp số đối, cặp nghịch đảo và tổng hệ số bằng $1$. Với số thập phân hữu hạn, đổi thành phân số có thể giúp rút gọn nhanh.

Kiểm dấu, ước lượng khoảng kết quả và thử phép tính ngược. Không đổi phân số thành số đã làm tròn rồi dùng dấu bằng cho kết quả chính xác.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Tách phần thuận tiện

Cơ bản

Đề bài

Nhẩm $1{,}25\cdot(-12)$ bằng phân số.

Nghĩ từ đâu?

Đổi $1{,}25=\dfrac54$ để rút gọn với $12$.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac54\cdot(-12)=5\cdot(-3)$.

2. Kết quả bằng $-15$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai thừa số khác dấu nên kết quả âm; độ lớn $1{,}25\cdot12=15$.

Ví dụ 2. Chia rồi cộng

Cơ bản

Đề bài

Tính $\dfrac57:\dfrac{10}{21}+\dfrac12$.

Nghĩ từ đâu?

Làm phép chia trước và rút gọn trước khi cộng.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac57\cdot\dfrac{21}{10}=\dfrac32$.

2. Nhân chia xong, tổng $\dfrac32+\dfrac12=2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$2-\dfrac12=\dfrac32$; nhân $\dfrac32$ với số chia trả lại $\dfrac57$.

Ví dụ 3. Nhận tổng các hệ số bằng một

Cơ bản

Đề bài

Tính nhanh $(\frac{11}{12})\cdot(\frac{5}{7})+(\frac{11}{12})\cdot(\frac{2}{7})$.

Nghĩ từ đâu?

Hai tích có cùng thừa số $\frac{11}{12}$; gom hai thừa số còn lại trong ngoặc.

Lời giải từng bước

1. Biểu thức bằng $(\frac{11}{12})\left[(\frac{5}{7})+(\frac{2}{7})\right]$.

2. Trong ngoặc bằng $1$, nên kết quả là $\frac{11}{12}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tính riêng hai tích được $\frac{55}{84}$ và $\frac{11}{42}$; kết hợp theo dấu $+$ cũng cho $\frac{11}{12}$.

Ví dụ 4. Phần còn lại sau một cặp số đối

Cơ bản

Đề bài

Tính $-\dfrac79+\dfrac25+\dfrac79+\dfrac15$.

Nghĩ từ đâu?

Khử cặp số đối nhưng giữ lại hai số hạng khác.

Lời giải từng bước

1. Cặp $-\dfrac79+\dfrac79=0$.

2. Phần còn lại $\dfrac25+\dfrac15=\dfrac35$, nên tổng bằng $\dfrac35$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không ghi tổng bằng $0$ chỉ vì đã thấy một cặp triệt tiêu.

Ví dụ 5. Ước lượng để kiểm dấu

Cơ bản

Đề bài

Một bạn tính $\dfrac78+\dfrac56$ và được $\dfrac{12}{14}$. Không tính ngay tổng chính xác, hãy chỉ ra kết quả sai.

Nghĩ từ đâu?

Cả hai số đều lớn hơn $\dfrac12$, nên tổng phải lớn hơn $1$.

Lời giải từng bước

1. $\dfrac78>\dfrac12$ và $\dfrac56>\dfrac12$, do đó tổng lớn hơn $1$.

2. $\dfrac{12}{14}=\dfrac67<1$, nên kết quả bạn nêu không thể đúng.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Ước lượng đã phát hiện lỗi; khi cần đáp số chính xác, quy đồng để được $\dfrac{41}{24}$.

Ví dụ 6. Tính hai đường độc lập

Cơ bản

Đề bài

Tính $0{,}75+\dfrac58-\dfrac14$ bằng phân số và bằng số thập phân.

Nghĩ từ đâu?

Chọn biểu diễn khác nhau để kiểm cùng kết quả.

Lời giải từng bước

1. Phân số: $\dfrac34+\dfrac58-\dfrac14=\dfrac68+\dfrac58-\dfrac28=\dfrac98$.

2. Thập phân: $0{,}75+0{,}625-0{,}25=1{,}125=\dfrac98$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai đường tính đều dùng giá trị chính xác vì các số thập phân ở đây hữu hạn.

Ví dụ 7. Tổng gần một số nguyên

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Không nhân tử mẫu lớn, tính chính xác $A=\dfrac{99}{100}\cdot\dfrac79+\dfrac1{100}\cdot\dfrac79$. Nếu thay riêng $99/100$ bằng $1$ nhưng vẫn giữ số hạng thứ hai thì kết quả thay đổi bao nhiêu?

Nghĩ từ đâu?

Gom thừa số chung để tính $A$, rồi lấy hiệu biểu thức đã thay với biểu thức gốc; không coi phép xấp xỉ là đẳng thức.

Lời giải từng bước

1. $A=(99/100+1/100)\cdot(7/9)=7/9$.

2. Biểu thức sau khi thay là $B=(1+1/100)\cdot(7/9)=(101/100)\cdot(7/9)$.

3. Vì $B-A=(1-99/100)\cdot(7/9)=7/900>0$, phép thay đã làm kết quả tăng $7/900$, dù sai khác từng hệ số chỉ là $1/100$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$A=700/900$, còn $B=707/900$; hiệu đúng $7/900$. Tính chính xác bằng phân phối tránh sai lệch do thay dữ kiện.

Ví dụ 8. Biết tổng, tìm một thành phần

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Biết $a+b=\dfrac35$. Tính $a+b+\dfrac25$ và $2a+2b$ mà không biết riêng $a,b$.

Nghĩ từ đâu?

Nhận biểu thức chỉ phụ thuộc tổng đã cho.

Lời giải từng bước

1. $a+b+\dfrac25=\dfrac35+\dfrac25=1$.

2. $2a+2b=2(a+b)=\dfrac65$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không thể từ tổng đã biết suy ra riêng từng số; nhưng hai biểu thức được hỏi đều đã xác định.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Nhẩm $1{,}25\cdot(-8)$ bằng phân số, rồi kiểm dấu.

Gợi ý bài 1

$1{,}25=\dfrac54$ giúp rút gọn với $8$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $\dfrac54\cdot(-8)=5\cdot(-2)=-10$.

2. Tích âm vì hai thừa số khác dấu.

Tự kiểm

$(-10):(-8)=\dfrac54=1{,}25$.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\dfrac37:\dfrac5{14}+\dfrac25$.

Gợi ý bài 2

Nhân với nghịch đảo số chia trước khi cộng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $\dfrac37\cdot\dfrac{14}{5}=\dfrac65$.

2. Tổng $\dfrac65+\dfrac25=\dfrac85$.

Tự kiểm

$\dfrac85-\dfrac25=\dfrac65$, đúng thương trung gian.

Bài 3

Cơ bản

Tính $\dfrac{19}{20}\cdot\dfrac76+\dfrac1{20}\cdot\dfrac76$.

Gợi ý bài 3

Gom thừa số $\dfrac76$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $\left(\dfrac{19}{20}+\dfrac1{20}\right)\dfrac76=1\cdot\dfrac76$.

2. Kết quả bằng $\dfrac76$.

Tự kiểm

Các hệ số cộng chính xác bằng $1$, không phải xấp xỉ.

Bài 4

Cơ bản

Bạn nói $-\dfrac34+\dfrac25+\dfrac34+\dfrac15$ bằng $0$ vì thấy một cặp số đối. Tìm phần còn lại.

Gợi ý bài 4

Khử cặp số đối rồi chép lại các số hạng chưa dùng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $-\dfrac34+\dfrac34=0$.

2. Còn $\dfrac25+\dfrac15=\dfrac35$, nên tổng bằng $\dfrac35$, không bằng $0$.

Tự kiểm

Bốn số hạng đều phải được xử lý một lần.

Bài 5

Cơ bản

Nhẩm $0{,}875\cdot16$ bằng phân số.

Gợi ý bài 5

$0{,}875=\dfrac78$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $\dfrac78\cdot16=7\cdot2$.

2. Kết quả bằng $14$.

Tự kiểm

$14:16=\dfrac78=0{,}875$.

Bài 6

Cơ bản

Tính $\dfrac49:\dfrac8{27}-\dfrac12$.

Gợi ý bài 6

Chia trước; rút gọn số $27$ với $9$ và $4$ với $8$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $\dfrac49\cdot\dfrac{27}{8}=\dfrac32$.

2. $\dfrac32-\dfrac12=1$.

Tự kiểm

Cộng lại $\dfrac12$ được thương trung gian $\dfrac32$.

Bài 7

Cơ bản

Tính nhanh $(\frac{7}{8})\cdot(\frac{3}{10})+(\frac{7}{8})\cdot(\frac{7}{10})$.

Gợi ý bài 7

Hai tích có cùng thừa số $\frac{7}{8}$; gom hai thừa số còn lại trong ngoặc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Biểu thức bằng $(\frac{7}{8})\left[(\frac{3}{10})+(\frac{7}{10})\right]$.

2. Trong ngoặc bằng $1$, nên kết quả là $\frac{7}{8}$.

Tự kiểm

Tính riêng hai tích được $\frac{21}{80}$ và $\frac{49}{80}$; kết hợp theo dấu $+$ cũng cho $\frac{7}{8}$.

Bài 8

Cơ bản

Tính $-\dfrac56+\dfrac38+\dfrac56+\dfrac18$.

Gợi ý bài 8

Nhóm cặp số đối và cặp cùng mẫu còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Cặp mẫu $6$ có tổng $0$.

2. Cặp mẫu $8$ có tổng $\dfrac48=\dfrac12$, nên kết quả $\dfrac12$.

Tự kiểm

Không bỏ phần còn lại khi nhóm số đối.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Không tính tổng chính xác trước, chứng minh $\dfrac34+\dfrac56>1$, rồi tính tổng để kiểm.

Gợi ý bài 9

Cả hai số đều lớn hơn $\dfrac12$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Tổng lớn hơn $\dfrac12+\dfrac12=1$.

2. Tính chính xác $\dfrac9{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}>1$, phù hợp ước lượng.

Tự kiểm

Ước lượng là kiểm phụ nhưng đã đủ bác bỏ mọi đáp số không vượt $1$.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Biết $u+v=\dfrac7{10}$. Tính $3u+3v-\dfrac1{10}$.

Gợi ý bài 10

Gom $3(u+v)$ để dùng dữ kiện tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Biểu thức bằng $3(u+v)-\dfrac1{10}=\dfrac{21}{10}-\dfrac1{10}$.

2. Kết quả bằng $2$.

Tự kiểm

Không cần biết riêng $u,v$ vì hệ số của chúng bằng nhau.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Một bạn làm tròn $\dfrac13$ thành $0{,}33$ rồi tính ba lần nó bằng $0{,}99$, kết luận $3\cdot\dfrac13\ne1$. Sửa lập luận.

Gợi ý bài 11

Phân biệt giá trị chính xác với số gần đúng đã làm tròn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Tính chính xác $3\cdot\dfrac13=1$. Số $0{,}33$ chỉ gần $\dfrac13$, không bằng nó.

2. $3\cdot0{,}33=0{,}99$ là kết quả của ba số gần đúng, không bác bỏ đẳng thức chính xác.

Tự kiểm

Sai lệch $0{,}01$ xuất phát từ thay dữ kiện bằng số làm tròn trước khi tính.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $A=\dfrac{999}{1000}\cdot\dfrac{13}{7}+\dfrac1{1000}\cdot\dfrac{13}{7}$. Bạn Bình thay $999/1000$ bằng $1$, vẫn giữ số hạng còn lại, được $B$; sau đó thay cả hai thừa số $13/7$ trong $B$ bằng $2$, được $C$. Tính $A$, độ tăng $B-A$ và độ tăng tổng cộng $C-A$.

Gợi ý bài 12

Gom thừa số chung ở mỗi biểu thức; theo dõi riêng sai lệch của hệ số và sai lệch của thừa số chung, rồi cộng hai độ tăng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. $A=(999/1000+1/1000)\cdot(13/7)=13/7$. Sau lần thay đầu, $B=(1001/1000)\cdot(13/7)$ nên $B-A=(1/1000)\cdot(13/7)=13/7000$.

2. $C=(1001/1000)\cdot2$. Vì $2-13/7=1/7$, lần thay sau làm tăng $C-B=(1001/1000)\cdot(1/7)=1001/7000$.

3. Độ tăng tổng cộng là $C-A=13/7000+1001/7000=507/3500$. Cả hai phép thay đều làm tăng nên sai lệch cộng lại.

Tự kiểm

Tính trực tiếp $C=1001/500$ và $A=13/7$; hiệu $(7007-6500)/3500=507/3500$, khớp tổng hai sai lệch.

5. Tự kiểm sau khi học

Giải cùng một bài bằng hai biểu diễn chính xác rồi so các bước, không chỉ so đáp số.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tính hợp lí và vận dụng số hữu tỉ. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.