Tính xác suất khi tung đồng xu cân đối

Xác suất trong mô hình đồng khả năng · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-49-B2

Sau bài này, em có thể:

• Tính xác suất N, S theo mô hình cân đối.
• Đọc và đếm chuỗi có thứ tự khi giả thiết đã nêu.

1. Kiến thức và phương pháp

Mô hình một lần tung xu cân đối có hai kết quả ngửa N và sấp S đồng khả năng, mỗi kết quả có xác suất $1/2$. Xác suất chưa dự báo mặt của một lần cụ thể. Khi mở rộng nhiều lần, các ví dụ nêu rõ mô hình các chuỗi có thứ tự đồng khả năng; điều này là giả thiết của bài, không suy từ tên chuỗi.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Ngửa trong một lần

Cơ bản

Đề bài

Xu cân đối trong mô hình chỉ có N và S đồng khả năng. Tính xác suất N.

Nghĩ từ đâu?

Một trong hai kết quả làm biến cố xảy ra.

Lời giải từng bước

1. Hai kết quả N, S đồng khả năng; chỉ N thuận lợi.

2. Xác suất N là $1/2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đây là khả năng trước thử, chưa chỉ ra mặt của lần cụ thể.

Ví dụ 2. Sấp trong một lần

Cơ bản

Đề bài

Cùng xu cân đối N, S. Tính xác suất S.

Nghĩ từ đâu?

Đổi biến cố, giữ mô hình.

Lời giải từng bước

1. Chỉ S thuận lợi trong hai kết quả.

2. Xác suất S bằng $1/2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai biến cố N và S rời nhau và xác suất cộng bằng $1$.

Ví dụ 3. Nhận một trong hai

Vận dụng

Đề bài

Xu chỉ có N, S; tính xác suất N hoặc S.

Nghĩ từ đâu?

Biến cố gồm toàn bộ kết quả.

Lời giải từng bước

1. Cả N và S đều thuận lợi, có hai trên hai.

2. Xác suất $2/2=1$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Chắc chắn một trong hai mặt, chưa có mặt cụ thể nào chắc chắn.

Ví dụ 4. Không nhầm hai lần

Vận dụng

Đề bài

Tung xu một lần, một mặt xuất hiện theo mô hình N, S. Xác suất vừa N vừa S?

Nghĩ từ đâu?

Không kết quả nào đồng thời là hai mặt.

Lời giải từng bước

1. N không là S; S không là N, nên không kết quả thuận lợi.

2. Xác suất $0/2=0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

NS là chuỗi hai lần, không là kết quả của một lần trong mô hình này.

Ví dụ 5. Không bắt buộc bù

Vận dụng

Đề bài

Xu cân đối đã ra N ba lần. Có buộc lần tới S để cân bằng không? Giả sử lần tới vẫn N, S đồng khả năng bất kể lịch sử.

Nghĩ từ đâu?

Giữ đúng giả thiết lần tiếp.

Lời giải từng bước

1. Xác suất mỗi mặt lần tiếp vẫn $1/2$ theo mô hình đã nêu.

2. Không mặt nào chắc chắn; ba lần trước không tạo quy tắc buộc bù ngay.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không biến tỉ lệ mô hình thành lệnh luân phiên cho chuỗi ngắn.

Ví dụ 6. Đổi dụng cụ

Vận dụng

Đề bài

Thay xu cân đối bằng miếng kim loại chưa biết cân đối. Có giữ $1/2$ cho hai mặt không?

Nghĩ từ đâu?

Tên hai mặt chưa bảo đảm trọng số bằng nhau.

Lời giải từng bước

1. Vẫn có thể gọi hai mặt N, S nhưng chưa có căn cứ đồng khả năng.

2. Chưa gán $1/2$ nếu chưa xác nhận mô hình phù hợp.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kết luận giới hạn ở dữ kiện, không tự đoán xác suất vật thật.

Ví dụ 7. Đúng một ngửa

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Hai lần có thứ tự cho bốn cặp NN, NS, SN, SS đồng khả năng. Tính xác suất đúng một N.

Nghĩ từ đâu?

Loại NN vì có hai N, loại SS vì không có N.

Lời giải từng bước

1. Thuận lợi NS và SN, hai trong bốn cặp.

2. Xác suất $2/4=1/2$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Chỗ dùng giả thiết là bốn cặp đều; không suy chỉ từ việc đặt tên bốn cặp.

Ví dụ 8. Ít nhất một và đúng một

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Với cùng bốn cặp đồng khả năng, so xác suất ít nhất một N và đúng một N.

Nghĩ từ đâu?

Liệt kê hai tập thuận lợi riêng.

Lời giải từng bước

1. Ít nhất một N nhận NN, NS, SN nên $3/4$; đúng một N nhận NS, SN nên $1/2$.

2. Chênh lệch $3/4-1/2=1/4$, ứng với NN.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai câu có chữ “một” nhưng NN chỉ thuộc biến cố ít nhất một.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tung một đồng xu cân đối. Xác suất ra ngửa bằng bao nhiêu?

Gợi ý bài 1

Dùng mô hình hai mặt đồng khả năng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Hai kết quả ngửa và sấp đều nhau; chỉ ngửa thuận lợi.

2. Xác suất ngửa bằng $1/2$.

Tự kiểm

Số thuận lợi là một trên tổng hai kết quả.

Bài 2

Cơ bản

Xác suất ra sấp trong cùng mô hình bằng bao nhiêu?

Gợi ý bài 2

Giữ đồng xu cân đối, đổi mặt được hỏi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Sấp là một trong hai kết quả đồng khả năng.

2. Xác suất sấp bằng $1/2$.

Tự kiểm

Xác suất ngửa và sấp cộng bằng $1$.

Bài 3

Cơ bản

Đã ra ngửa ba lần. Có khẳng định lần tới chắc chắn sấp chỉ để “cân bằng” không?

Gợi ý bài 3

Ba kết quả trước không phải quy tắc bắt buộc kết quả sau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Trong mô hình cân đối thông thường của lần tiếp, ngửa vẫn là kết quả có thể.

2. Không khẳng định chắc chắn sấp; không có quy tắc buộc bù ngay.

Tự kiểm

Một kết quả ngửa còn có thể đã bác chữ chắc chắn sấp.

Bài 4

Cơ bản

Dùng miếng kim loại không cân đối thì phải kiểm điều kiện nào trước khi giữ xác suất $1/2$?

Gợi ý bài 4

Kiểm đồng khả năng của hai mặt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Cần xem mô hình hai mặt ngửa, sấp có cùng khả năng còn phù hợp không.

2. Chưa giữ $1/2$ chỉ từ việc vẫn đặt tên hai mặt.

Tự kiểm

Không kết luận xác suất thật của vật mới nếu chưa có mô hình/căn cứ.

Bài 5

Vận dụng

Xu cân đối N, S. Xác suất không ra N là bao nhiêu?

Gợi ý bài 5

Trong mô hình này không N chính là S.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Chỉ S thuận lợi trong hai mặt đồng khả năng.

2. Xác suất $1/2$.

Tự kiểm

Không N không tạo thêm mặt thứ ba.

Bài 6

Vận dụng

Xác suất N bằng $1/2$ có hứa hai lần phải đúng một N không? Dùng mô hình bốn cặp đều.

Gợi ý bài 6

Tìm kết quả trái với lời hứa nhưng vẫn có thể.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. NN và SS là các cặp có thể trong mô hình.

2. NN có hai N, SS có không N, nên không hứa đúng một N.

Tự kiểm

Một phản ví dụ hợp lệ đã bác lời khẳng định bắt buộc.

Bài 7

Vận dụng

Chuỗi giả định bốn lần là N, N, S, N. Tính tỉ số quan sát N và nêu xác suất N của mô hình một lần cân đối.

Gợi ý bài 7

Giữ riêng mẫu số quan sát và mẫu kết quả.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Chuỗi giả định có ba N trên bốn lần nên tỉ số $3/4$.

2. Mô hình cân đối cho xác suất N $1/2$, khác tỉ số của chuỗi này.

Tự kiểm

Chuỗi được cho để luyện tính, chưa là thực nghiệm của người học.

Bài 8

Vận dụng

Chỉ nói “xu có hai mặt” có đủ gán xác suất S bằng $1/2$ không?

Gợi ý bài 8

Cần điều kiện cân đối phù hợp mô hình.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Hai tên mặt chưa bảo đảm hai khả năng bằng nhau.

2. Chưa kết luận $1/2$ nếu không có giả thiết hoặc căn cứ đồng khả năng.

Tự kiểm

Không dùng số mặt thay cho điều kiện của mô hình.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Ba lần có tám chuỗi đồng khả năng: NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS. Xác suất đúng hai N?

Gợi ý bài 9

Lọc chuỗi có đúng hai chữ N.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. NNS, NSN, SNN thuận lợi, có ba trên tám.

2. Xác suất $3/8$.

Tự kiểm

NNN bị loại vì có ba N, không phải đúng hai.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Với tám chuỗi ba lần đồng khả năng trên, tính xác suất lần đầu và lần cuối đều N.

Gợi ý bài 10

Chữ giữa được phép là N hoặc S.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. NNN và NSN thuận lợi, có hai chuỗi.

2. Xác suất $2/8=1/4$.

Tự kiểm

Không loại NNN, vì đề chưa yêu cầu đúng hai N.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Với tám chuỗi đồng khả năng trên, so “ba mặt giống nhau” và “ít nhất một S”.

Gợi ý bài 11

Liệt kê nhóm đầu; nhóm sau chỉ loại NNN.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Giống nhau gồm NNN, SSS nên $2/8=1/4$; ít nhất một S nhận bảy chuỗi nên $7/8$.

2. $1/4<7/8$, hai xác suất khác nhau.

Tự kiểm

Mẫu số là tám chuỗi, không phải ba lần tung.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Hai lần có bốn cặp đồng khả năng. Bạn gộp thành $0$ N, $1$ N, $2$ N rồi gán mỗi nhóm $1/3$. Sửa.

Gợi ý bài 12

Nhóm đúng một N gồm hai cặp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Không N chỉ SS nên $1/4$; một N gồm NS, SN nên $1/2$; hai N chỉ NN nên $1/4$.

2. Ba nhóm không đồng khả năng, nên phép chia đều thành $1/3$ sai.

Tự kiểm

$1/4+1/2+1/4=1$; gộp phải cộng các phần gốc.

5. Tự kiểm sau khi học

Đánh dấu biến cố trong danh sách N/S hoặc chuỗi đã nêu; kiểm đúng một, ít nhất một và điều kiện đồng khả năng của chuỗi.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Xác suất trong mô hình đồng khả năng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.