Đến nội dung chính
THCSLớp 7Thu thập, biểu diễn và phân tích dữ liệuMở mô-đun

Biểu đồ đoạn thẳng · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-45-B3

Từ bảng sang biểu đồ, các cặp dữ liệu và khoảng ngày phải được giữ đúng. Bài học hướng dẫn cách vẽ và chỉ rõ phần nào mới là ước tính theo mô hình.

Sau bài này, em có thể:

  • Vẽ đủ điểm với trục và khoảng ngày đúng.
  • Phân biệt số nguồn và nội suy theo giả thiết.

Cần biết trước: Đọc bảng và trục số, phép cộng trừ, đổi đơn vị và tỉ số đơn giản.

Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Vẽ trên giấy: ghi tiêu đề, trục, đơn vị và thang đều; đặt đủ cặp rồi nối theo thời gian. Trên trục thời gian tuyến tính, độ dài khoảng ngang tỉ lệ số ngày. Nét nối giữa hai quan sát không tự xác nhận số đo của ngày còn thiếu; nội suy cần giả thiết và nhãn riêng.

Bảng nguồn giả định chiều cao một cây, cùng cách đo.
Ngày 1 2 3 4 5
Chiều cao(cm) 2 3 5 6 8
Bảng minh họa giả định chiều cao một cây ở năm ngày theo cùng cách đo; không phải kết quả thực nghiệm đã thực hiện.
Bảng nguồn giả định: ngày 1 cao 2 cm; ngày 2 cao 3 cm; ngày 3 cao 5 cm; ngày 4 cao 6 cm; ngày 5 cao 8 cm. Đây là số minh họa, cùng cách đo; không phải kết quả thực hành đã thực hiện.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Vẽ từ đủ bảng

Cơ bản

Đề bài

Dữ liệu mới giả định: ngày 1; 2; 3; 4 có chiều cao 3; 4; 6; 7 cm. Nêu cách vẽ và đủ cặp dữ liệu.

Nghĩ từ đâu?

Giữ đúng cặp thời điểm–giá trị, đơn vị và khoảng thời gian.

Lời giải từng bước

  1. Các điểm cần đặt là(1; 3), (2; 4), (3; 6), (4; 7); trục ngang ghi ngày, trục dọc ghicm, mỗi trục chia đều theo giá trị.

  2. Đặt đủ các điểm rồi nối theo thứ tự ngày; ghi tiêu đề và nhãn dữ liệu giả định. Nếu phác trên giấy, đối chiếu lại từng cặp với đề.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giữ bốn điểm; không nối thẳng ngày 1 sang 4 để bỏ hai điểm giữa.

Ví dụ 2. Chọn thang vừa dữ liệu

Cơ bản

Đề bài

Dữ liệu mới ngày 1–3 có 4; 9; 12 chai. Có thể chọn vạch dọc 0; 2; 4, …,12 không? Đặt điểm 9 thế nào?

Nghĩ từ đâu?

Thang cần đều và bao được giá trị lớn nhất.

Lời giải từng bước

  1. Thang 0 đến 12 mỗi bước 2 bao được cả ba số.

  2. Điểm 9 nằm giữa 8 và 10, không cần đổi 9 thành 8 hoặc 10.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Có thể dùng thang 1 chai nếu phù hợp trang; không bắt buộc mọi giá trị có vạch riêng.

Ví dụ 3. Ngày không liên tiếp

Vận dụng

Đề bài

Dữ liệu mới ở ngày 1; 2; 5 có 3; 5; 8 cm. Trên trục thời gian tuyến tính, đặt ba ngày thế nào?

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách trục ngang tỉ lệ với số ngày.

Lời giải từng bước

  1. Khoảng 1→2 là 1 ngày; 2→5 là 3 ngày.

  2. Chọn 1 ngày một đơn vị ngang thì khoảng thứ hai dài gấp 3 khoảng đầu; đặt các điểm(1; 3), (2; 5), (5; 8).

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Ba thời điểm có thể đều hàng thứ tự trong bảng nhưng không đều thời gian.

Ví dụ 4. Không tự thêm ngày thiếu

Vận dụng

Đề bài

Bảng mới chỉ có ngày 1 cao 2 cm và ngày 3 cao 6 cm. Nối hai điểm có chứng minh ngày 2 cao 4 cm không?

Nghĩ từ đâu?

Nét nối không tự tạo một quan sát.

Lời giải từng bước

  1. Chưa có số đo ngày 2; đường nối chỉ là cách biểu diễn hai điểm đã có.

  2. 4 cm là giá trị nếu thêm giả thiết tăng tuyến tính trong khoảng, không là số quan sát nguồn.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Ghi rõ mô hình nội suy nếu dùng, không tự điền vào bảng thực.

Ví dụ 5. Sửa trục ngược đơn vị

Vận dụng

Đề bài

Bảng chiều cao 2; 4; 6 cmđược đặt ở độ cao 2; 4; 6 nhưng trục ghi m. Sửa theo hai cách.

Nghĩ từ đâu?

Giữ nguyên đại lượng khi đổi cách viết.

Lời giải từng bước

  1. Cách 1: sửa nhãn trục thành cm và giữ các giá trị.

  2. Cách 2: đổi số thành 0,02; 0,04; 0,06 m và chọn thang m tương ứng.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không giữ số 2; 4; 6 rồi ghi m, nếu dữ liệu nguồn là cm.

Ví dụ 6. Trình tự nối quan trọng

Vận dụng

Đề bài

Ngày 1; 2; 3 có 5; 2; 7 chai. Có nên sắp giá trị 2; 5; 7 rồi nối theo thứ tự ấy không?

Nghĩ từ đâu?

Thứtự biểu đồ theo ngày, không theo độ cao.

Lời giải từng bước

  1. Cần đặt(1; 5), (2; 2), (3; 7)và nối 1→2→3.

  2. Sắp độ cao rồi ghép lại sẽ biến dữ liệu và mất khoảng giảm ngày 1→2.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tập số giống nhau chưa đủ nếu cặp ngày–giá trị thay đổi.

Ví dụ 7. Kiểm một điểm sai bằng hai hướng

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Bảng mới(1; 3), (2; 6), (4; 8), nhưng hình vẽ đặt điểm ngày 4 ở 10. Nêu cách sửa và kiểm trục ngang.

Nghĩ từ đâu?

Kiểm cả giá trị dọc và thời gian ngang.

Lời giải từng bước

  1. Đối chiếu nguồn đã xác nhận thì đưa điểm ngày 4 từ 10 về 8, không thay bảng để hợp hình.

  2. Khoảng 2→4 phải gấp 2 khoảng 1→2 trên trục tuyến tính; kiểm lại cả nhãn và thang chia.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Sửa tung độ đúng nhưng để khoảng ngày sai vẫn chưa hoàn tất biểu diễn.

Ví dụ 8. Hai bảng cùng hai đầu

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Hai bảng mới cùng ngày 1 cao 2 cm và ngày 4 cao 8 cm: bảng X ngày 2,3 là 4,6; bảng Y là 7,3. Có vẽ giống nhau chỉ bằng đoạn nối hai đầu không?

Nghĩ từ đâu?

Bốn điểm của mỗi bảng mới là dữ liệu đầy đủ.

Lời giải từng bước

  1. X có các điểm(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8); Y có(1; 2), (2; 7), (3; 3), (4; 8).

  2. Đồ thị nối đủ điểm khác nhau; chỉ nối hai đầu làm mất biến động giữa ngày 2 và 3.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cả hai có chênh đầu–cuối 6 cmnhưng quá trình khác nhau.

3. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Tự điền dữ kiện chưa có hoặc coi số liệu giả định là quan sát thật. Giữ nguồn, phạm vi, đơn vị và nhãn giả định; thiếu thông tin thì ghi chưa xác định.
Kết luận vượt điều bảng hoặc mô hình thật sự cho biết. Kiểm từng điều kiện rồi giới hạn nhận xét đúng đối tượng và thời gian đã cho.

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Dựa vào bảng giả định, trên giấy riêng vẽ biểu đồ đoạn thẳng chiều cao cây theo ngày. Ghi trục và đơn vị; trên phiếu ghi 5 cặp dữ liệu.

Gợi ý bài 1

Giữ đủ 5 cặp của bảng chiều cao cây giả định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
  1. Giữ đủ 5 cặp của bảng chiều cao cây giả định.

  2. Các cặp ngày–cm là(1; 2), (2; 3), (3; 5), (4; 6), (5; 8). Trục thời gian có khoảng đều 1 ngày, trục dọc cm có thang đều; nối theo thứ tự.

Tự kiểm

Đủ cặp(1; 2), (2; 3), (3; 5), (4; 6), (5; 8), đơn vị cm; tổng điểm 5.

Bài 2

Cơ bản

Với bảng, điểm của ngày 3 phải có giá trị tung trên trục dọc là bao nhiêu?

Gợi ý bài 2

Đọc đúng cột ngày 3 trong bảng cây.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
  1. Đọc đúng cột ngày 3 trong bảng cây.

  2. 5 cm.

Tự kiểm

Ngày 3 ghép 5 cm, không là giá trị 3 chỉ vì ngày 3.

Bài 3

Cơ bản

Bạn nối ngày 1 trực tiếp sang ngày 5 rồi bỏ các điểm giữa. Biểu diễn ấy có giữ đủ bảng không?

Gợi ý bài 3

Một bảng 5 mốc cần giữ cả 5 điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
  1. Một bảng 5 mốc cần giữ cả 5 điểm.

  2. Không. Phải đặt và nối theo thứ tự tất cả các thời điểm đã có; bỏ điểm có thể làm mất biến động.

Tự kiểm

Bỏ các điểm giữa có thể che những chênh 1; 2; 1; 2 cm.

Bài 4

Cơ bản

Nếu bảng ghi ngày 1, ngày 2, ngày 5, có nên đặt ba ngày cách đều trên một trục thời gian tuyến tính không?

Gợi ý bài 4

Khoảng 2→5 dài 3 ngày, trong khi 1→2 chỉ 1 ngày.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
  1. Khoảng 2→5 dài 3 ngày, trong khi 1→2 chỉ 1 ngày.

  2. Không. Khoảng 2→5 dài 3 ngày, gấp 3 khoảng 1→2. Cần đặt khoảng thời gian đúng hoặc nêu rõ dùng trục thứ tự khác, tránh gây hiểu sai.

Tự kiểm

Đặt khoảng 2→5 gấp 3 khoảng 1→2 trên trục thời gian tuyến tính.

Bài 5

Vận dụng

Bảng mới giả định ngày 1; 2; 3 có 4; 6; 5 sản phẩm. Nêu đủ cặp và cách vẽ.

Gợi ý bài 5

Giữ đúng cặp thời điểm–giá trị, đơn vị và khoảng thời gian.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
  1. Các điểm cần đặt là(1; 4), (2; 6), (3; 5); trục ngang ghi ngày, trục dọc ghisản phẩm, mỗi trục chia đều theo giá trị.

  2. Đặt đủ các điểm rồi nối theo thứ tự ngày; ghi tiêu đề và nhãn dữ liệu giả định. Nếu phác trên giấy, đối chiếu lại từng cặp với đề.

Tự kiểm

Đường phải thể hiện tăng rồi giảm; không sắp độ cao trước nối.

Bài 6

Vận dụng

Giá trị lớn nhất của bảng là 18 chai. Thang dọc 0; 5; 10; 15 có đủ không?

Gợi ý bài 6

Phải bao được mọi điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
  1. Thang đang kết thúc 15 nhỏ hơn 18 nên chưa đủ.

  2. Có thể mở đến 20, mỗi bước 5; điểm 18 nằm giữa 15 và 20 theo tỉ lệ.

Tự kiểm

Không cắt điểm 18 xuống 15 để vừa hình.

Bài 7

Vận dụng

Ngày 2; 3; 6 có chiều cao 5; 7; 10 cm. So độ dài hai khoảng ngang cần dùng.

Gợi ý bài 7

Khoảng thời gian 1 ngàyvà 3 ngày.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
  1. 2→3 dài 1 ngày; 3→6 dài 3 ngày.

  2. Khoảng sau phải gấp 3 khoảng đầu trên trục tuyến tính.

Tự kiểm

Không đặt đều chỉ vì bảng có ba cột dữ liệu.

Bài 8

Vận dụng

Bảng có ngày 1: 4 và ngày 4: 10. Có thể điền ngày 2: 6, ngày 3: 8 như quan sát thật không?

Gợi ý bài 8

Đó là một cách nội suy thêm giả thiết.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
  1. Các số 6 và 8 phù hợp mô hình tăng đều 2 mỗi ngày.

  2. Chưa có quan sát hai ngày giữa nên chỉ ghi số giả định theo mô hình, không thêm như số nguồn.

Tự kiểm

Có thể có dãy 4; 9; 5; 10 với cùng hai mốc.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Bảng mới dùng cm, nhưng muốn vẽ trục m. Đổi 5; 12; 25 cm trước khi đặt.

Gợi ý bài 9

Chia cho 100 để đổi cm sang m.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
  1. $5$ cm bằng $0{,}05$ m; $12$ cm bằng $0{,}12$ m; $25$ cm bằng $0{,}25$ m.

  2. Đặt đúng các số mới với cùng ngày và chọn thang m đều.

Tự kiểm

Đổi nhãn phải đi cùng đổi mọi số và thang, không chỉ một điểm.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Bảng mới có ngày 1: 2, ngày 3: 6, ngày 4: 6. Trên hình vẽ, một bạn đặt ngày 3 ở đúng trung điểm ngày 1 và 4. Kiểm.

Gợi ý bài 10

Ngày 3 cách 1 là 2 ngày, cách 4 là 1 ngày.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
  1. Ngày 3 không ở trung điểm thời gian 1 và 4; trung điểm là 2,5.

  2. Đặt ngày 3 cách ngày 1 gấp 2 khoảng từ 3 đến 4, giữ tung độ 6.

Tự kiểm

Đoạn 3→4 nằm ngang vì hai giá trị cùng 6, nhưng vẫn cần khoảng thời gian đúng.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Một bản vẽ dùng đủ số 3; 8; 5 nhưng ghép vào ngày 1; 2; 3 thành 3; 5; 8. Bảng nguồn là 3; 8; 5. Tổng giống nhau có bảo đảm hình đúng không?

Gợi ý bài 11

Từng cặp phải khớp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
  1. Bản vẽ đã tráo ngày 2 và 3, dù tổng cả hai là 16.

  2. Sửa điểm ngày 2 về 8 và ngày 3 về 5 theo nguồn; giữ thứ tự thời gian.

Tự kiểm

Bản sai che khoảng giảm 8 xuống 5.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bảng mới ghi ngày 1: 2 cm và ngày 5: 10 cm. Muốn vẽ đủ 5 điểm bằng nội suy đều, cần nêu giả thiết gì và các điểm mới mang nhãn nào?

Gợi ý bài 12

Khoảng 4 ngày có mức tăng tổng 8 cm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
  1. Nếu giả sử tăng tuyến tính đều thì tăng trung bình $8:4=2$ cm/ngày, các giá trị mô hình là 2; 4; 6; 8; 10.

  2. Ngày 2–4 phải ghi “ước tính theo mô hình tăng đều”, không gọi là số quan sát đã có.

Tự kiểm

Dựng đủ điểm theo mô hình không làm giả thiết ấy thành kết quả thực.

5. Tự kiểm sau khi học

Đối chiếu câu hỏi, nguồn và từng hàng dữ liệu; tính lại tổng hoặc kiểm mô hình đã dùng. Sửa đúng chỗ thiếu điều kiện trước khi viết nhận xét cuối.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Biểu đồ đoạn thẳng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.