Đến nội dung chính

Chia cạnh theo tỉ số hai cạnh kề

THCSLớp 8Hình khối, tứ giác và tam giác đồng dạngMở mô-đun

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật nội dung: 27/10/2026

Sau khi tìm tỉ số hai đoạn, ta dùng tổng của chúng để tìm độ dài. Đây là bước chia một tổng thành các phần tỉ lệ.

Sau bài này, em có thể:

  • Chia cạnh theo tỉ số hai cạnh kề.
  • Giải thích căn cứ và tự kiểm kết quả trong các tình huống của bài.

Cần biết trước: Mô-đun 39; phân giác góc và tỉ lệ thức.

1. Kiến thức và phương pháp

Nếu $AB:AC=m:n$ với $m,n>0$, tính chất phân giác cho $BD:DC=m:n$. Vì $BD+DC=BC$, ta có

$$BD=\frac{m}{m+n}BC,\qquad DC=\frac{n}{m+n}BC.$$

Công thức áp dụng khi $AD$ là phân giác trong và $D$ nằm trên cạnh $BC$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chia cạnh theo hai số phần

Đề bài

$AB=6$ cm, $AC=9$ cm, $BC=10$ cm. Tính hai đoạn do phân giác $AD$ tạo ra.

Lời giải

$BD:DC=6:9=2:3$. Tổng có $5$ phần, mỗi phần $10/5=2$ cm; do đó $BD=4$ cm và $DC=6$ cm.

Cách tự kiểm

$4+6=10$ và $4/6=6/9$.

Ví dụ 2. Dùng công thức trực tiếp

Đề bài

$AB=7$ cm, $AC=11$ cm, $BC=12$ cm. Tính $BD$.

Lời giải

$$BD=\frac{7}{7+11}\cdot12=\frac{14}{3}\text{ cm}.$$

Khi đó $DC=12-14/3=22/3$ cm.

Cách tự kiểm

Tỉ số $(14/3)/(22/3)=7/11$ và hai đoạn đều nhỏ hơn $BC$.

Ví dụ 3. Tam giác cân là trường hợp riêng

Đề bài

$AB=AC$ và $BC=16$ cm. Tính $BD,DC$.

Lời giải

Tỉ số $AB/AC=1$ nên $BD=DC$. Kết hợp tổng bằng $16$ cm, mỗi đoạn bằng $8$ cm.

Cách tự kiểm

Phân giác trong đồng thời là trung tuyến trong trường hợp tam giác cân này.

Ví dụ 4. Đổi đơn vị trước khi chia

Đề bài

$AB=80$ mm, $AC=12$ cm, $BC=15$ cm. Tính $BD,DC$.

Lời giải

Đổi $80$ mm thành $8$ cm. Tỉ số là $8:12=2:3$, nên $BD=6$ cm, $DC=9$ cm.

Cách tự kiểm

Không lấy $80:12$: hai số đó mang hai đơn vị khác nhau.

3. Những lỗi thường gặp

  • Không chia $BC$ cho $m$ hoặc $n$ riêng lẻ; tổng có $m+n$ phần.
  • Phân giác chia đôi góc; chỉ khi hai cạnh kề bằng nhau mới chia đôi cạnh đối diện.

4. Bài tập tự luyện

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.

  1. $AD$ là phân giác trong, $AB = 8$ cm, $AC = 12$ cm, $BC = 15$ cm. Tính $BD$, $DC$.

  2. $AD$ là phân giác trong, $AB = 12$ cm, $AC = 18$ cm, $BC = 20$ cm. Tính hai phần cạnh $BC$.

  3. Trong tam giác $ABC$, $AD$ là phân giác trong, $AB = AC$ và $BC = 14$ cm. $D$ có phải trung điểm $BC$ không?

  4. Một tam giác có $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm, $BC = 10$ cm và phân giác $AD$. Bạn chia $BC$ thành hai đoạn $5$ cm vì “phân giác luôn chia đôi cạnh”. Sửa lời giải.

  5. $AB=9$ cm, $AC=15$ cm, $BC=16$ cm. Với phân giác trong $AD$, tính hai đoạn.

  6. $AB:AC=4:5$ và $BD=8$ cm. Tính $DC$ và $BC$.

  7. $AB:AC=5:7$, $BC=18$ cm. Tính hai phần do phân giác trong tạo ra.

  8. $BD=9$ cm, $DC=6$ cm do phân giác trong. Nếu $AC=8$ cm, tính $AB$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $BD:DC = 2:3$ và $BD + DC = 15$. Suy ra $BD = 6$ cm, $DC = 9$ cm.

  2. $BD:DC = 2:3$. Mỗi phần bằng $\frac{20}{5} = 4$ cm; $BD = 8$ cm, $DC = 12$ cm.

  3. $BD/DC = AB/AC = 1$ nên $BD = DC$. Kết hợp tổng $14$ cm được $BD = DC = 7$ cm; $D$ là trung điểm $BC$.

  4. Phân giác chia đôi góc, không luôn chia đôi cạnh đối diện. $BD:DC = 2:3$, nên $BD = 4$ cm, $DC = 6$ cm. Chỉ khi $AB = AC$ mới chia đôi $BC$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $BD:DC=3:5$, nên $BD=16\cdot3/8=6$ cm và $DC=10$ cm.

  2. $8/DC=4/5$ nên $DC=10$ cm, $BC=8+10=18$ cm.

  3. Tổng $12$ phần; $BD=18\cdot5/12=7{,}5$ cm, $DC=10{,}5$ cm.

  4. $AB/8=9/6=3/2$, nên $AB=12$ cm; $BC=15$ cm phù hợp bộ cạnh.

5. Tải học liệu và học tiếp

Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.

Tải bộ phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án

Bài trước: Giải thích tính chất bằng đường song song · Bài tiếp: Tính độ dài với dữ kiện phân giác

Chọn bài trong mô-đun · Toán lớp 8 · Hướng dẫn tự học THCS