Giải thích hai đường chéo chia đôi nhau
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Giao điểm đường chéo của hình bình hành là trung điểm của từng đường chéo. Điều này không nói hai đường chéo bằng nhau hoặc vuông góc.
Sau bài này, em có thể:
- Chứng minh giao điểm chia đôi đường chéo
- Tính nửa đường chéo đúng cặp
Cần biết trước: Mô$-$đun $29$; song song và tam giác bằng nhau.
1. Kiến thức và phương pháp
Gọi $O=AC\cap BD$. Tam giác $AOB$ và $COD$ có $AB=CD$, góc $OAB=OCD$ và $OBA=ODC$ do $AB$ song song $CD$. Chúng bằng nhau theo góc$–$cạnh$–$góc, nên $AO=OC$ và $BO=OD$. Vì $O$ nằm trong mỗi đường chéo, $O$ là trung điểm của cả hai.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Giải thích một cặp góc
Đề bài
Vì sao góc $OAB=OCD$?
Lời giải
$A$, $O$, $C$ thẳng hàng và $AB$ song song $CD$, nên đây là hai góc so le trong do $AC$ cắt hai đường song song.
Cách tự kiểm
Chỉ rõ đường cắt $AC$ và hai đường song song.
Ví dụ 2. Tính nửa đường chéo
Đề bài
$AC=24$ cm, $BD=10$ cm.
Lời giải
$AO=OC=12$ cm; $BO=OD=5$ cm.
Cách tự kiểm
$AO$ không bằng $BO$ trong bộ số này; vẫn đúng chia đôi từng đường.
Ví dụ 3. Tìm ẩn
Đề bài
$AO=2x+1$ cm, $OC=9$ cm.
Lời giải
$AO=OC$ cho $2x+1=9$, $x=4$. $AC=18$ cm.
Cách tự kiểm
Hai nửa cùng $9$ cm chứ không phải cả $AC=9$ cm.
Ví dụ 4. Phân biệt hai tính chất
Đề bài
$AO=OC$, $BO=OD$ có buộc $AC=BD$ không?
Lời giải
Không. $AC=2 AO$, $BD=2 BO$; muốn hai đường chéo bằng nhau cần thêm $AO=BO$. Hai đẳng thức chia đôi riêng không cung cấp điều này.
Cách tự kiểm
Không tự thêm bằng nhau hay vuông góc vào kết luận.
3. Những lỗi thường gặp
- Cho rằng chia đôi nhau nghĩa là hai đường chéo bằng nhau.
- Nhầm $AO=BO$ thay cho $AO=OC$.
- Lấy số đo nửa đường làm cả đường.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Nêu các vị trí thẳng hàng của $A$, $O$, $C$ và $B$, $O$, $D$; giải thích hai góc $OAB$, $OCD$ bằng nhau khi $AB$ song song $CD$.
-
Chứng minh tam giác $AOB$ và $COD$ bằng nhau theo góc$–$cạnh$–$góc rồi kết luận $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo.
-
Trong hình bình hành, $AO=3x-1$, $OC=11$, $BO=7$ cm. Tìm $x$, $AC$, $BD$.
-
Bạn nói đường chéo hình bình hành luôn bằng nhau vì chúng chia đôi nhau. Chỉ ra hai mệnh đề khác nhau và nêu điều thật sự suy được từ $AO=OC$, $BO=OD$.
-
$AC=18$ cm, $OD=7$ cm trong hình bình hành. Tính $AO$, $BD$.
-
$BO=3t-2$ cm, $OD=t+6$ cm. Tìm $t$ và $BD$.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$A$, $O$, $C$ thẳng hàng và $B$, $O$, $D$ thẳng hàng; $AC$ cắt $AB$, $CD$ nên hai góc so le trong $OAB$, $OCD$ bằng nhau.
-
$AB=CD$ theo cạnh đối; $\angle OAB=\angle OCD$, $\angle OBA=\angle ODC$ do song song. Suy ra $AOB\cong COD$, $AO=OC$, $BO=OD$. $O$ nằm trên mỗi đường chéo nên là trung điểm.
-
$3x-1=11$ nên $x=4$; $AC=22$ cm; $BD=14$ cm.
-
Chỉ suy $AC = 2 AO$, $BD = 2 BO$; chưa suy $AO = BO$ hay $AC = BD$. Phản ví dụ cụ thể: dựng $AC = 8$ cm, $BD = 6$ cm vuông góc và cắt tại trung điểm $O$. $AOB \cong COD$ theo cạnh$–$góc$–$cạnh nên góc $ABO = CDO$, suy $AB$ song song $CD$. $AOD \cong COB$ tương tự suy $AD$ song song $BC$. Vậy tứ giác là hình bình hành nhưng $AC \ne BD$. Lập luận chỉ dùng tam giác bằng nhau và góc so le trong, không viện dẫn dấu hiệu học sau.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
$AO=9$ cm; $BO=OD=7$ cm, nên $BD=14$ cm.
-
$3t-2=t+6$ cho $t=4$; $BO=OD=10$ cm, $BD=20$ cm.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.