Nhận điều kiện đơn thức chia hết
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Chia hết đơn thức trong đại số xét sự tồn tại của một thương là đơn thức. Hệ số thương có thể là số hữu tỉ, nên tiêu chí chia hết số nguyên không được áp dụng máy móc.
Sau bài này, em có thể:
- Kiểm số mũ của từng biến khi xét chia hết.
- Phân biệt phép chia đa thức hình thức và thương số thực sau thay biến.
Cần biết trước: Mô-đun 04; quy tắc lũy thừa cùng cơ số.
1. Kiến thức và phương pháp
Với số chia là đơn thức khác $0$, đơn thức bị chia chia hết khi số mũ mỗi biến trong số bị chia không nhỏ hơn số mũ tương ứng ở số chia; biến vắng mặt có số mũ $0$. Thương lấy hệ số chia hệ số và trừ số mũ. Đây là phép chia hình thức trong đa thức có hệ số hữu tỉ hoặc thực. Khi tính thương số thực tại các giá trị cụ thể, giá trị số chia còn phải khác $0$.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Mỗi biến đều đủ số mũ
Đề bài
$6x^3y^2$ chia hết cho $2xy$ không?
Lời giải
Có vì $3\ge1$ với $x$ và $2\ge1$ với $y$. Thương $3x^2y$; nhân $2xy\cdot3x^2y=6x^3y^2$.
Cách tự kiểm
Đẳng thức nhân đúng với mọi $x,y$; thương số thực chỉ tính khi $xy\ne0$.
Ví dụ 2. Một biến thiếu số mũ
Đề bài
$5a^2b$ chia hết cho $2ab^2$ không?
Lời giải
Không. Số mũ của $b$ ở số bị chia là $1<2$. Biểu thức hình thức $\frac52ab^{-1}$ có số mũ âm nên không là đơn thức theo định nghĩa.
Cách tự kiểm
Chỉ cần một biến thiếu số mũ thì phép chia hết không thực hiện được.
Ví dụ 3. Hệ số không cần chia hết trong số nguyên
Đề bài
$3x^2$ có chia hết cho $2x$ với hệ số hữu tỉ không?
Lời giải
Có. Thương $\frac32x$ là đơn thức có hệ số hữu tỉ và $2x\cdot\frac32x=3x^2$.
Cách tự kiểm
Không yêu cầu thương hệ số phải là số nguyên.
Ví dụ 4. Biến chỉ có ở số chia
Đề bài
$7x^2$ có chia hết cho $xy$ không?
Lời giải
Không. Số mũ của $y$ trong $7x^2$ là $0$, nhỏ hơn $1$. Thương sẽ chứa $1/y$, không là đơn thức theo $x,y$.
Cách tự kiểm
Khi so số mũ, đừng bỏ qua biến vắng mặt.
3. Những lỗi thường gặp
- Chỉ so tổng số mũ mà không so từng biến.
- Đòi hệ số số bị chia chia hết nguyên cho hệ số số chia.
- Tính thương số thực khi số chia nhận giá trị $0$.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
$8x^3y^2$ có chia hết hình thức cho $2xy$ không? Tìm thương.
-
Đơn thức $5a^2b$ có chia hết cho $2ab^2$ trong vành đa thức không? Giải thích.
-
Một bạn nói: “$3x^2$ không chia hết cho $2x$ vì $3$ không chia hết cho $2$ trong số nguyên”. Hãy nhận xét khi các hệ số được phép là số hữu tỉ.
-
Nêu một đơn thức khác $0$ chia hết cho $3x^2y$ và một đơn thức không chia hết cho $3x^2y$. Giải thích bằng số mũ của các biến.
-
$4m^2n^3$ có chia hết cho $-2m^2n$ không?
-
$x^4y$ có chia hết cho $x^2y^2$ không?
-
Tìm số mũ nguyên không âm nhỏ nhất $k$ để $6x^ky^2$ chia hết hình thức cho $3x^3y$.
-
Đơn thức $0$ có chia hết cho đơn thức khác $0$ là $M$ không? Viết đẳng thức nhân xác nhận.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Có; thương $4x^2y$.
-
Không. Số mũ của $b$ ở đơn thức bị chia là $1$, nhỏ hơn số mũ $2$ ở đơn thức chia. Thương $\frac{5a}{2b}$ có biến ở mẫu nên không phải là đa thức.
-
Nhận xét sai khi xét hệ số hữu tỉ. Ta có $3x^2=(2x)\left(\frac32x\right)$, trong đó $\frac32x$ là đơn thức với hệ số hữu tỉ. Không yêu cầu hệ số của thương là số nguyên.
-
Ví dụ $6x^3y^2$ chia hết cho $3x^2y$, vì các số mũ $3\ge2$, $2\ge1$; thương là $2xy$. Còn $6xy^2$ không chia hết cho $3x^2y$, vì số mũ của $x$ ở đơn thức bị chia là $1<2$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Có, thương $-2n^2$.
-
Không, vì số mũ của $y$ ở số bị chia chỉ là $1$.
-
Cần $k\ge3$ và số mũ $y$ đã đủ vì $2\ge1$. Giá trị nhỏ nhất $k=3$, thương khi ấy $2y$.
-
Có. $0=M\cdot0$, thương là đa thức $0$. Không dùng quy tắc so số mũ của một phần biến cố định cho đơn thức không.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.