Vận dụng và kiểm đủ điều kiện hình vuông
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Nhận hình vuông là kiểm đủ cả cạnh và góc, hoặc một chuỗi dấu hiệu tương đương. Những tính chất vốn có ở chữ nhật hay thoi không tự bổ sung phần còn thiếu.
Sau bài này, em có thể:
- Tổng hợp các dấu hiệu đủ
- Phát hiện kết luận quá mạnh
Cần biết trước: Mô$-$đun $34–35$.
1. Kiến thức và phương pháp
Có thể nhận vuông bằng chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau; chữ nhật có đường chéo vuông góc; hoặc thoi có một góc vuông. Khi dữ kiện là đường chéo, thường cần chứng minh bình hành trước.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Chuỗi từ tứ giác
Đề bài
Hai đường chéo chia đôi nhau, bằng nhau và vuông góc.
Lời giải
Chia đôi nhau suy bình hành; bằng nhau suy chữ nhật; vuông góc suy hình vuông.
Cách tự kiểm
Không điều kiện nào bị bỏ đi.
Ví dụ 2. Thoi có góc vuông
Đề bài
Thoi có $A=90^\circ $.
Lời giải
Thoi là bình hành, nên góc đối và góc kề cũng $90^\circ $. Bốn cạnh bằng nhau vẫn có, suy vuông.
Cách tự kiểm
Một góc vuông đủ ở đây nhờ tiền đề thoi.
Ví dụ 3. Bốn cạnh chưa đủ
Đề bài
Bạn kết luận bốn cạnh bằng nhau thì bốn góc vuông.
Lời giải
Bốn cạnh chỉ cho thoi. Thoi góc $60^\circ $,$120^\circ $ là phản ví dụ; cần thêm một góc vuông hoặc điều kiện đủ tương ứng.
Cách tự kiểm
Không đổi đặc điểm độ dài thành đặc điểm góc khi thiếu căn cứ.
Ví dụ 4. Đường chéo bằng nhau trong chữ nhật
Đề bài
Chữ nhật cạnh $5$ cm và $8$ cm có đường chéo bằng nhau. Có vuông không?
Lời giải
Không, hai cạnh kề khác nhau. Đường chéo bằng nhau vốn là tính chất chung của mọi chữ nhật.
Cách tự kiểm
Dữ kiện thêm phải thực sự hạn chế lớp chữ nhật mới giúp nhận vuông.
3. Những lỗi thường gặp
- Xem tính chất sẵn có là điều kiện mới để nhận hình đặc biệt hơn.
- Bỏ bước bình hành trong chuỗi đường chéo.
- Khẳng định đã đo đúng theo mẫu khi chưa thực hiện.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Tứ giác lồi có hai đường chéo chia đôi nhau, bằng nhau và vuông góc. Viết từng bước kết luận hình vuông.
-
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau nhưng hai cạnh $3$ cm và $5$ cm. Vì sao chưa là hình vuông?
-
Tự dựng hình chữ nhật cạnh $4$ cm và $4$ cm. Kẻ hai đường chéo, đo để kiểm tính bằng nhau, vuông góc và chia đôi. Ghi số đo thực cùng lí do hình là hình vuông.
-
Viết lại lời giải sai: “$ABCD$ có bốn cạnh bằng nhau nên bốn góc vuông”. Bổ sung một điều kiện đủ để suy hình vuông và nêu lí do.
-
Hình thoi có $AC=BD$. Chứng minh đó là vuông.
-
Hình chữ nhật có chu vi $48$ cm và một cạnh $12$ cm. Kết luận.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Chia đôi nhau→hình bình hành; bằng nhau→hình chữ nhật; vuông góc→hình vuông.
-
Đường chéo bằng nhau vốn là tính chất mọi hình chữ nhật; hai cạnh kề $3\ne 5$ nên không có bốn cạnh bằng nhau.
-
Hai cạnh kề bằng nhau trong hình chữ nhật nên hình vuông. Số đo thật phù hợp các tính chất trong sai số; đo không thay chứng minh.
-
Bốn cạnh bằng nhau chỉ suy hình thoi. Có thể thêm một góc $90^\circ $: hình thoi là hình bình hành, góc đối bằng và góc kề bù nên cả bốn góc $90^\circ $, được hình vuông.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
Thoi là bình hành; đường chéo bằng nhau cho chữ nhật. Vừa thoi vừa chữ nhật nên vuông.
-
Cạnh kề còn lại $24-12=12$ cm. Hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.