Biến đổi căn thức của thương đúng điều kiện

Biến đổi căn thức và trục căn ở mẫu · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-05-B2

Một thương dưới căn cần xác định trước khi xét dấu. Khi mẫu là bình phương, kết quả thường chứa độ lớn; khi tách thành căn ở mẫu, có thể phải thu hẹp miền so với căn của toàn thương.

Sau bài này, em có thể:

• Rút căn thương cùng điều kiện và độ lớn.
• Nhận miền mở rộng, điểm đơn lẻ và nghiệm hợp lệ.

Cần biết trước: Mô-đun 04; hằng đẳng thức và phân thức lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $A\ge0,B>0$, $\sqrt{A/B}=\sqrt A/\sqrt B$. Với $v\ne0$, $\sqrt{u^2/v^2}=|u|/|v|$. Không thay độ lớn ở mẫu bằng chính biểu thức có thể âm. Hãy kiểm riêng các trường hợp tử bằng $0$ trước khi suy điều kiện dương cho mẫu chỉ từ dấu của thương.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tử tuyến tính, mẫu dương

Cơ bản

Đề bài

Rút $\sqrt{9x/16}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ge0$, kết quả $3\sqrt x/4$.

Cách tự kiểm

Mẫu căn $\sqrt{16}=4>0$.

Ví dụ 2. Tử bình phương

Cơ bản

Đề bài

Rút $\sqrt{x^2/25}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Xác định mọi $x$ và bằng $|x|/5$.

Cách tự kiểm

Với $x=-5$, giá trị $1$, không phải $-1$.

Ví dụ 3. Mẫu bình phương có nghiệm

Cơ bản

Đề bài

Rút $\sqrt{1/(x+1)^2}$ và giữ miền.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $x\ne-1$. Khi đó mẫu bình phương dương, căn bằng $1/|x+1|$.

Cách tự kiểm

Không bỏ điểm loại sau rút gọn.

Ví dụ 4. Biểu thức có điều kiện âm

Cơ bản

Đề bài

Với $x<0$, rút $\sqrt{-x/9}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$-x>0$, nên căn có nghĩa và bằng $\sqrt{-x}/3$.

Cách tự kiểm

Không đổi thành $\sqrt x/\sqrt{-9}$.

Ví dụ 5. Hai biểu thức bình phương

Vận dụng

Đề bài

Rút $\sqrt{(x-2)^2/(x+3)^2}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ne-3$; kết quả $|x-2|/|x+3|$. Cả hai độ lớn đều cần giữ nếu chưa xét miền dấu.

Cách tự kiểm

Tại $x=-4$, kết quả $6$.

Ví dụ 6. Một điểm đơn lẻ của miền

Nâng cao

Đề bài

Tìm miền của $\sqrt{x^2/(x-2)}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mẫu loại $x=2$. Tại $x=0$, thương bằng $0$ nên hợp lệ. Với $x\ne0$, tử dương, cần $x-2>0$. Miền $\{0\}\cup(2;+\infty)$.

Cách tự kiểm

Dạng $|x|/\sqrt{x-2}$ chỉ dùng ở nhánh $x>2$.

Ví dụ 7. Một giá trị không vượt quá một

Nâng cao

Đề bài

Với mọi $x$ thực, chứng minh $0\le\sqrt{x^2/(x^2+1)}<1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mẫu $x^2+1>0$ và $0\le x^2<x^2+1$. Do đó thương nằm trong $[0;1)$, căn cũng không âm và nhỏ hơn $1$.

Cách tự kiểm

Không có giá trị $x$ làm thương bằng $1$.

Ví dụ 8. Tách rồi kiểm một giá trị âm

Vận dụng

Đề bài

Rút $\sqrt{(x-1)^2/4}$ và tính tại $x=-3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Căn bằng $|x-1|/2$ với mọi $x$. Tại $-3$ là $4/2=2$.

Cách tự kiểm

Giá trị $x-1$ âm nhưng căn bình phương vẫn không âm.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên phép chia bên trong căn.
• Bỏ độ lớn ở mẫu khi mẫu trước bình phương âm.
• Suy mẫu dương từ dấu thương mà quên tử có thể bằng $0$.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Rút gọn $\sqrt{4x/9}$, ghi điều kiện.

   Gợi ý bài 1

   Mẫu dương, cần tử không âm.

2. Rút gọn $\sqrt{x^2/16}$ với $x$ thực.

   Gợi ý bài 2

   Giữ $|x|$.

3. Rút gọn $\sqrt{1/(x-3)^2}$, ghi miền xác định.

   Gợi ý bài 3

   Mẫu trong căn không được bằng $0$.

4. Với $x<0$, $\sqrt{(-x)/4}$ có nghĩa không? Có được tách thành $\sqrt x/\sqrt{-4}$ không?

   Gợi ý bài 4

   Kiểm từng căn được đề nghị.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Cần $x\ge0$; căn bằng $2\sqrt x/3$.

2. Xác định mọi $x$, kết quả $|x|/4$.

3. Cần $x\ne3$. Vì $(x-3)^2>0$, căn bằng $1/|x-3|$.

4. Có nghĩa vì $-x>0$, bằng $\sqrt{-x}/2$. Không được tách theo cách đã nêu vì hai căn ở cách đó không xác định trong $\mathbb R$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Rút $\sqrt{25x/36}$.

   Gợi ý bài 5

   Ghi miền trước.

6. Rút $\sqrt{4x^2/9}$.

   Gợi ý bài 6

   Căn của $x^2$ là $|x|$.

7. Rút $\sqrt{9/(x-5)^2}$.

   Gợi ý bài 7

   Kiểm mẫu và độ lớn.

8. Tính $\sqrt{(x+2)^2/(x-1)^2}$ tại $x=0$.

   Gợi ý bài 8

   Thay sau khi kiểm mẫu.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Miền $x\ge0$; kết quả $5\sqrt x/6$.

6. Bằng $2|x|/3$ với mọi $x$.

7. Miền $x\ne5$; kết quả $3/|x-5|$.

8. Mẫu khác $0$; giá trị $|2|/|-1|=2$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Với $x>1$, rút $\sqrt{(x-1)^2/(x+2)^2}$.

   Gợi ý bài 9

   Hai hiệu/tổng đều dương trên miền này.

10. Với $x<-2$, rút cùng biểu thức $\sqrt{(x-1)^2/(x+2)^2}$.

    Gợi ý bài 10

    Cả tử và mẫu trước lấy độ lớn đều âm.

11. Tìm miền của $\sqrt{(x-1)^2/(x-4)}$.

    Gợi ý bài 11

    Xét riêng $x=1$, rồi xét tử dương.

12. Khi nào $\sqrt{x^2/9}=x/3$?

    Gợi ý bài 12

    Vế trái $|x|/3$.

13. Chứng minh $\sqrt{1/u^2}>0$ với mọi $u\ne0$.

    Gợi ý bài 13

    Rút căn nhưng giữ độ lớn ở mẫu.

14. Có được viết $\sqrt{(x-1)/(x+1)}=\sqrt{x-1}/\sqrt{x+1}$ với mọi $x<-1$ không?

    Gợi ý bài 14

    Xét căn của thương và căn riêng.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Bằng $(x-1)/(x+2)$; điều kiện $x>1$ bảo đảm bỏ được hai độ lớn.

10. Bằng $(1-x)/(-x-2)=(x-1)/(x+2)$; thương dương do cả hai số âm, nhưng từng độ lớn không được bỏ riêng mà chưa giải thích.

11. Mẫu loại $4$. Tại $1$ thương $0$ hợp lệ; với $x\ne1$ cần $x>4$. Miền $\{1\}\cup(4;+\infty)$.

12. Đúng khi $|x|=x$, tức $x\ge0$; với $x<0$ hai vế trái dấu.

13. Bằng $1/|u|$, dương vì $|u|>0$.

14. Không. Khi $x<-1$, thương hai số âm dương nên vế trái có nghĩa, nhưng cả hai căn riêng không xác định thực. Công thức tách chỉ dùng trên miền $x\ge1$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Giải $\sqrt{x^2/(x-2)}=0$ và giải thích điểm đặc biệt của nghiệm.

    Gợi ý bài 15

    Căn bằng $0$ khi tử bằng $0$ với mẫu hợp lệ.

16. Giải $\sqrt{(x-1)^2/(x+1)^2}=1$.

    Gợi ý bài 16

    Mẫu loại $-1$; dùng độ lớn hoặc bình phương an toàn.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Tử bằng $0$ chỉ tại $x=0$, mẫu khi ấy $-2\ne0$, nên nghiệm $0$. Nó là điểm đơn lẻ trong miền gốc, không xuất hiện trong miền của $|x|/\sqrt{x-2}$.

16. Miền $x\ne-1$. Đẳng thức tương đương $|x-1|=|x+1|$, nên $(x-1)^2=(x+1)^2$, cho $x=0$. Thử căn của $1$ bằng $1$, nên nghiệm duy nhất $0$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.