Biến đổi căn thức của tích đúng điều kiện
Biến đổi căn thức và trục căn ở mẫu · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-05-B1
Với căn thức có biến, điều kiện của từng thừa số quan trọng không kém phép rút gọn. Đặc biệt, một thừa số bằng không có thể làm căn của cả tích có nghĩa dù một căn được tách ra lại không có nghĩa.
Sau bài này, em có thể:
- Rút căn của tích và giữ miền gốc.
- Kiểm ngoại lệ bằng không, dấu và bài toán suy ngược.
Cần biết trước: Mô-đun 04; hằng đẳng thức và phân thức lớp 8.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với $A,B\ge0$, $\sqrt{AB}=\sqrt A\sqrt B$. Với $B\ge0$ và $u$ thực, $\sqrt{u^2B}=|u|\sqrt B$. Nếu $B<0$ thì công thức tách này không xác định; tuy nhiên căn của toàn tích $u^2B$ vẫn có nghĩa tại $u=0$. Vì thế phải tìm miền của biểu thức gốc trước khi đưa thừa số ra ngoài.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hệ số chính phương
Cơ bản
Đề bài
Rút $\sqrt{49x}$ và nêu miền.
Lời giải và cách suy nghĩ
Cần $x\ge0$. Khi đó căn bằng $7\sqrt x$ vì $49=7^2$.
Cách tự kiểm
Không nhận $x<0$ sau khi tách.
Ví dụ 2. Bình phương của biểu thức
Cơ bản
Đề bài
Rút $\sqrt{36(x+1)^2}$ với mọi $x$ thực.
Lời giải và cách suy nghĩ
Biểu thức dưới căn luôn không âm. Kết quả $6|x+1|$, không luôn $6(x+1)$.
Cách tự kiểm
Tại $x=-2$ căn bằng $6$.
Ví dụ 3. Hệ số có dấu âm
Cơ bản
Đề bài
Cho $a<0,b\ge0$. Rút $\sqrt{9a^2b}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Căn bằng $3|a|\sqrt b=-3a\sqrt b$. Hệ số $-3a$ không âm do $a<0$.
Cách tự kiểm
Khi $b=0$ kết quả vẫn bằng $0$.
Ví dụ 4. Miền của tích rộng hơn miền tách
Cơ bản
Đề bài
Tìm miền của $\sqrt{(x+2)(x-3)}$ và của $\sqrt{x+2}\sqrt{x-3}$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Căn của tích có nghĩa khi hai thừa số cùng dấu hoặc một bằng $0$: $x\le-2$ hoặc $x\ge3$. Tích hai căn đòi cả hai không âm, nên chỉ $x\ge3$.
Cách tự kiểm
Chúng chỉ tương đương trên miền chung.
Ví dụ 5. Một điểm không được làm mất
Nâng cao
Đề bài
Tìm miền của $\sqrt{x^2(x-1)}$. Có thể viết $|x|\sqrt{x-1}$ trên toàn miền đó không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Nếu $x=0$, căn gốc bằng $0$. Nếu $x\ne0$, $x^2>0$ nên cần $x\ge1$. Miền là $\{0\}\cup[1;+\infty)$. Dạng tách chỉ có nghĩa khi $x\ge1$, nên bỏ mất điểm $0$ nếu dùng nó cho toàn miền.
Cách tự kiểm
Không nhân số $0$ với một căn không xác định.
Ví dụ 6. Hai bình phương
Vận dụng
Đề bài
Rút $\sqrt{9x^2y^2}$ với $x,y$ thực.
Lời giải và cách suy nghĩ
Bằng $3|xy|=3|x||y|$ vì số dưới căn là $(3xy)^2$.
Cách tự kiểm
Không cần giả sử riêng $x,y$ không âm.
Ví dụ 7. Phương trình có độ lớn
Vận dụng
Đề bài
Giải $\sqrt{4(x-1)^2}=6$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Căn bằng $2|x-1|$, nên $|x-1|=3$. Được $x=4,-2$; cả hai làm số dưới căn bằng $36$.
Cách tự kiểm
Giữ đủ hai nhánh dấu.
Ví dụ 8. Điều kiện đủ và ngoại lệ
Nâng cao
Đề bài
Phân loại lúc $\sqrt{u^2b}$ có nghĩa với $b<0$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Vì $u^2\ge0$ và $b<0$, tích chỉ không âm khi $u^2=0$, tức $u=0$. Tại đó căn gốc bằng $0$, nhưng $|u|\sqrt b$ vẫn không phải cách viết hợp lệ trong $\mathbb R$.
Cách tự kiểm
Miền của cả tích không quyết định miền từng căn tách.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Tách tích khi một căn riêng không xác định.
- Làm mất độ lớn khi thừa số là bình phương.
- Chia cho một bình phương mà chưa xét trường hợp nó bằng $0$.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Rút gọn $\sqrt{16x}$ và nêu điều kiện thực.
Gợi ý bài 1
$16$ là bình phương dương.
-
Rút gọn $\sqrt{25(x-2)^2}$ với mọi $x$ thực.
Gợi ý bài 2
Căn của bình phương bằng giá trị tuyệt đối.
-
Cho $a<0,b\ge0$. Rút gọn $\sqrt{a^2b}$.
Gợi ý bài 3
$\sqrt{a^2}=|a|=-a$.
-
Một bạn viết $\sqrt{(x-1)(x-4)}=\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}$ tại $x=0$. Kiểm hai vế và giải thích.
Gợi ý bài 4
Thay vào từng căn riêng.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Cần $x\ge0$. Trên miền đó $\sqrt{16x}=4\sqrt x$.
-
Luôn xác định; kết quả $5|x-2|$, không luôn bằng $5(x-2)$.
-
Vì các thừa số dưới căn không âm, $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b=-a\sqrt b$. Hệ số $-a$ không âm.
-
Vế trái $\sqrt4=2$; vế phải chứa $\sqrt{-1},\sqrt{-4}$ không xác định thực. Công thức tách chỉ dùng khi $x\ge4$, làm cả hai thừa số không âm.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Rút $\sqrt{64x}$ với điều kiện phù hợp.
Gợi ý bài 5
Cho số dưới căn không âm.
-
Rút $\sqrt{4(x-3)^2}$.
Gợi ý bài 6
Giữ độ lớn.
-
Với $a\ge0,b\ge0$, rút $\sqrt{a^2b}$.
Gợi ý bài 7
$\sqrt{a^2}=a$ trên miền đã cho.
-
Rút $\sqrt{25x^2y^2}$.
Gợi ý bài 8
Viết dưới dạng một bình phương.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Miền $x\ge0$; kết quả $8\sqrt x$.
-
Bằng $2|x-3|$ với mọi $x$ thực.
-
Bằng $a\sqrt b$; nếu không biết dấu của $a$, phải giữ $|a|$.
-
Bằng $5|xy|$ với mọi $x,y$ thực.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Với $b>0$, khi nào $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$? Nếu $b=0$ thì sao?
Gợi ý bài 9
So sánh dấu của $a$ với giá trị tuyệt đối.
-
Tìm miền của $\sqrt{(x-2)^2(x+3)}$ rồi rút gọn trên miền ấy.
Gợi ý bài 10
Xét điểm thừa số bình phương bằng $0$.
-
Tìm miền của $\sqrt{(x-2)^2(x-5)}$ và giải thích vì sao dạng tách có thể mất một điểm.
Gợi ý bài 11
Xét $x=2$ riêng trước chia cho bình phương.
-
Cho $a\le0,b\ge0$. Rút $\sqrt{16a^2b}$ và kiểm biên $a=0$.
Gợi ý bài 12
$|a|=-a$ trên miền này.
-
Giải $\sqrt{x^2(x-1)}=0$.
Gợi ý bài 13
Căn gốc bằng $0$ khi tích dưới căn bằng $0$.
-
Với $x\ge0$, so sánh $\sqrt{9x}$ và $\sqrt{4x}$; khi nào bằng?
Gợi ý bài 14
Rút hệ số ra ngoài.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Với $b>0$, cần $|a|=a$, tức $a\ge0$. Với $b=0$, hai vế bằng $0$ với mọi $a$ thực.
-
Nếu $x=2$ căn bằng $0$ và đã thuộc $x\ge-3$. Ngoài điểm đó, cần $x+3\ge0$. Vì vậy miền $x\ge-3$; kết quả $|x-2|\sqrt{x+3}$.
-
Miền gồm $x=2$ hoặc $x\ge5$. Dạng $|x-2|\sqrt{x-5}$ chỉ có nghĩa khi $x\ge5$, nên không thay được căn gốc tại $2$.
-
Bằng $4|a|\sqrt b=-4a\sqrt b$. Tại $a=0$ cả hai vế bằng $0$.
-
$x^2(x-1)=0$ cho $x=0$ hoặc $x=1$. Hai giá trị đều thuộc miền căn gốc và thỏa. Không làm mất $0$ bởi cách tách không hợp lệ.
-
Hai số là $3\sqrt x,2\sqrt x$; số thứ nhất lớn hơn khi $x>0$, bằng nhau đúng khi $x=0$.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Tìm mọi $b$ thực để đẳng thức $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$ có nghĩa và đúng với mọi $a$ thực.
Gợi ý bài 15
Vế phải buộc $b\ge0$; thử $a=-1$ nếu $b>0$.
-
Giải $\sqrt{(x-1)^2(x-3)}=2(x-1)$ trong $\mathbb R$.
Gợi ý bài 16
Tách riêng $x=1$; ngoài điểm đó kiểm miền và dấu.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$b<0$ không làm vế phải có nghĩa. $b>0$ thất bại tại $a=-1$ vì hai vế trái dấu. $b=0$ cho cả hai vế $0$ với mọi $a$. Vậy chỉ $b=0$.
-
Căn gốc có miền $\{1\}\cup[3;+\infty)$. Tại $x=1$, hai vế bằng $0$. Với $x\ge3$, căn là $(x-1)\sqrt{x-3}$; chia cho $x-1>0$ được $\sqrt{x-3}=2$, nên $x=7$. Thử lại đúng, vậy nghiệm $1,7$.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.