Đến nội dung chính
THCSLớp 9Thống kê và xác suấtMở mô-đun

Ghép nhóm và lập bảng tần số · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-49-B1

Nhóm $[a;b)$ nhận các giá trị $a\le x<b$. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

  • Chọn nhóm không chồng lấn cho dữ liệu số.
  • Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
  • Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.

Cần biết trước: Mô-đun 48; khoảng số và quy ước đầu mút không chồng lấn.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Nhóm $[a;b)$ nhận các giá trị $a\le x<b$. Các nhóm phải bao hết miền dữ liệu và mỗi bản ghi chỉ thuộc một nhóm. Ranh giới và đơn vị là một phần của định nghĩa nhóm.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Nhận đầu trái, loại đầu phải

Cơ bản

Đề bài

Xếp $0,9,10,19,20,29$ vào $[0;10),[10;20),[20;30)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Ba nhóm lần lượt $\{0,9\},\{10,19\},\{20,29\}$. Mỗi số thuộc đúng một nhóm.

Cách tự kiểm

Khoảng $[a;b)$ nhận $a$, không nhận $b$.

Ví dụ 2. Đầu mút bị chồng lấn

Cơ bản

Đề bài

Giải thích vì sao $[0;10]$ và $[10;20]$ không phải hai nhóm loại trừ nhau.

Lời giải và cách suy nghĩ

$10$ thuộc cả hai khoảng. Có thể sửa thành $[0;10),[10;20]$ để bao cả $20$ mà không trùng đầu mút.

Cách tự kiểm

Kiểm số $10$ có thỏa cả hai điều kiện không.

Ví dụ 3. Chọn các nhóm độ rộng bằng nhau

Vận dụng

Đề bài

Chọn bốn nhóm độ rộng $5$ bao số nguyên từ $3$ đến $22$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Một cách là $[3;8),[8;13),[13;18),[18;23)$. Các đầu mút $8,13,18$ thuộc nhóm bắt đầu tại chúng.

Cách tự kiểm

Bắt đầu tại $3$, cộng liên tiếp độ rộng $5$.

Ví dụ 4. Khe hở giữa hai nhóm

Vận dụng

Đề bài

Các nhóm $[0;5),[6;10),[10;15)$ có bao phủ giá trị $5,5$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: $5,5$ rơi vào khe $[5;6)$. Sửa nhóm giữa thành $[5;10)$ nếu phù hợp miền dữ liệu.

Cách tự kiểm

Tìm khoảng giữa đầu phải nhóm trước và đầu trái nhóm sau.

Ví dụ 5. Quy ước nhóm cuối

Vận dụng

Đề bài

Cần chia thời gian từ $0$ đến đúng $30$ phút thành ba nhóm rộng $10$. Nêu quy ước hợp lệ.

Lời giải và cách suy nghĩ

Dùng $[0;10),[10;20),[20;30]$. Nhóm cuối đóng phải cần ghi rõ. Mọi giá trị từ $0$ đến $30$ được đếm một lần.

Cách tự kiểm

Nhóm cuối phải nhận cả giá trị lớn nhất nếu không có nhóm tiếp.

Ví dụ 6. Đổi đơn vị của đầu mút

Nâng cao

Đề bài

Đổi các nhóm $[0;1000),[1000;2000)$ gam sang kg.

Lời giải và cách suy nghĩ

Các nhóm $[0;1),[1;2)$ kg. Chỉ đổi nhãn đơn vị mà giữ các số $0,1000,2000$ sẽ làm sai miền.

Cách tự kiểm

Chia mọi đầu mút cho $1000$, giữ quy ước ngoặc.

Ví dụ 7. Ghép nhóm có số âm

Nâng cao

Đề bài

Dữ liệu có $-3,-1,0,2,5$. Chia thành ba nhóm rộng $3$, bắt đầu tại $-3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Dùng $[-3;0),[0;3),[3;6)$; các số $0$ thuộc nhóm hai, $5$ thuộc nhóm ba. Tổng quan sát vẫn $5$.

Cách tự kiểm

Các đầu mút liên tiếp $-3,0,3,6$.

Ví dụ 8. Chi tiết mất khi gộp

Thử thách

Đề bài

Hai cách ghép $[0;5),[5;10)$ và $[0;10)$ có cùng chi tiết không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Cách sau chỉ giữ tổng trong $[0;10)$, không biết phần dưới $5$. Cách trước có thể gộp thành cách sau, nhưng chiều ngược cần dữ liệu gốc.

Cách tự kiểm

Xét khả năng khôi phục số quan sát dưới $5$ sau gộp.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
  • Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
  • Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Xếp các số $0,9,10,19,20,29$ vào ba nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$.

    Gợi ý bài 1

    Kiểm các số đầu mút $10,20$ bằng điều kiện khoảng.

  2. Hai nhóm ghi từ $0$ đến $10$ và từ $10$ đến $20$ mà chưa nói nhận đầu mút nào. Vấn đề gì xảy ra với giá trị $10$? Viết lại bằng khoảng nửa kín.

    Gợi ý bài 2

    Số $10$ không được thuộc hai nhóm; dùng nửa kín hoặc quy ước cuối đóng phải.

  3. Cần ghép dữ liệu số nguyên từ $5$ đến $24$ thành bốn nhóm độ rộng $5$, không chồng lấn và không bỏ số. Hãy đề xuất và giải thích.

    Gợi ý bài 3

    Bắt đầu tại $5$, cộng lần lượt độ rộng $5$.

  4. Một bạn dùng các nhóm $[0;10)$, $[12;20)$, $[20;30)$. Nếu có giá trị $11$ thì bảng có bao phủ đủ dữ liệu không? Sửa cách ghép.

    Gợi ý bài 4

    Tìm nhóm chứa $11$; nếu không có thì miền bị hở.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4
  1. Nhóm 1: $0,9$; nhóm 2: $10,19$; nhóm 3: $20,29$. Mỗi nhóm có $2$ giá trị.

  2. Giá trị $10$ có thể bị ghi vào cả hai nhóm. Dùng $[0;10)$, $[10;20)$ nếu dữ liệu đều nhỏ hơn $20$; nếu có $20$ phải bổ sung nhóm hoặc quy ước nhóm cuối nhận $20$.

  3. Dùng $[5;10)$, $[10;15)$, $[15;20)$, $[20;25)$. Các nhóm liên tiếp; mỗi số nguyên từ $5$ đến $24$ thuộc đúng một nhóm. Các số $10,15,20$ thuộc nhóm bắt đầu tại chính số đó.

  4. Không, vì $11$ không thuộc nhóm nào. Chẳng hạn sửa thành $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ nếu dữ liệu nằm từ $0$ đến dưới $30$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Đề xuất các nhóm rộng $4$ cho số nguyên từ $2$ đến $17$.

    Gợi ý bài 5

    Lấy các đầu mút $2,6,10,14,18$.

  2. Giá trị $15$ thuộc nhóm nào trong $[5;10),[10;15),[15;20)$?

    Gợi ý bài 6

    Kiểm dấu nhỏ hơn ở đầu phải.

  3. Một phép đo được ghi tới $0,1$ cm. Nhóm $[1,0;1,5)$ nhận những số ghi nào?

    Gợi ý bài 7

    Liệt kê các bội $0,1$ trong khoảng.

  4. Hai bảng dùng $[0;10),[10;20)$ và $[0;8),[8;20)$. Có được so cột đầu trực tiếp không?

    Gợi ý bài 8

    Cột đầu hai bảng có cùng điều kiện thuộc nhóm không?

Mở đáp án và lời giải bài 5–8
  1. $[2;6),[6;10),[10;14),[14;18)$ là một cách hợp lệ.

  2. Thuộc $[15;20)$; không thuộc $[10;15)$.

  3. $1,0;1,1;1,2;1,3;1,4$ cm. Số ghi $1,5$ thuộc nhóm sau. Đây là phân nhóm số ghi, không khẳng định giá trị thật không bị làm tròn.

  4. Không. Một cột đếm dưới $10$, cột kia dưới $8$. Cần quy về cùng ranh giới bằng dữ liệu gốc; tổng mẫu bằng nhau không khắc phục khác biệt này.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Chọn các nhóm rộng $6$, đầu trái nhóm đầu $4$, để bao mọi số từ $4$ đến dưới $40$. Cần mấy nhóm?

    Gợi ý bài 9

    Độ dài miền $36$, mỗi nhóm rộng $6$.

  2. Có thể dùng các nhóm rộng $4$ bắt đầu tại $1$ mà ranh giới cuối đúng $20$ không?

    Gợi ý bài 10

    Mọi đầu mút có dạng $1+4k$ với $k$ nguyên.

  3. Nhóm $[a;a+5)$ nhận các số nguyên $7,8,9,10,11$ và không nhận $6,12$. Tìm mọi đầu trái nguyên $a$.

    Gợi ý bài 11

    Giá trị nhỏ nhất được nhận là $a$ khi $a$ nguyên.

  4. Ba nhóm liên tiếp cùng rộng $h>0$ bắt đầu tại $2$, ranh giới cuối là $20$. Tìm nhóm chứa $14$.

    Gợi ý bài 12

    Giải $2+3h=20$ rồi áp dụng nửa kín.

  5. Muốn gộp hai bảng: bảng I dùng $[0;5),[5;10),[10;15),[15;20)$; bảng II dùng $[0;10),[10;20)$. Có thể quy I về II không? Có thể quy II về I không?

    Gợi ý bài 13

    Mỗi nhóm rộng của II là hợp hai nhóm liên tiếp của I.

  6. Các nhóm $[0;10),[10;20]$ bao một mẫu. Thêm dữ liệu đúng $20$ rồi muốn đổi nhóm hai thành $[10;20)$ mà không thêm nhóm. Điều gì sai?

    Gợi ý bài 14

    Kiểm miền bao phủ sau khi đổi dấu ngoặc.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14
  1. Cần $6$ nhóm, đầu mút $4,10,16,22,28,34,40$. Nếu có giá trị đúng $40$ phải thêm nhóm hoặc quy ước đóng phải nhóm cuối.

  2. Không, vì $20-1=19$ không chia hết cho $4$. Có thể kết thúc ở $21$ hoặc đổi đầu trái/độ rộng; không bóp ngắn nhóm cuối rồi vẫn gọi mọi nhóm cùng độ rộng.

  3. Buộc $a=7$, nhóm $[7;12)$. Nếu không yêu cầu $a$ nguyên thì có nhiều đầu mút khác cũng chứa đúng năm số nguyên; cần nêu miền của tham số.

  4. $h=6$. Các nhóm $[2;8),[8;14),[14;20)$, nên $14$ thuộc nhóm ba.

  5. I về II được bằng cộng từng cặp tần số. II về I không duy nhất vì không biết cách chia mỗi tổng thành hai nhóm nhỏ; cần bản ghi gốc.

  6. Giá trị $20$ bị bỏ khỏi mọi nhóm. Phải giữ nhóm cuối đóng phải hoặc bổ sung nhóm bắt đầu tại $20$; không chỉ đổi ngoặc để giống mẫu trình bày.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Có hai cách ghép cùng rộng $10$: cách A bắt đầu tại $0$, cách B tại $5$. Có suy bảng B từ bảng A không?

    Gợi ý bài 15

    Tìm hai dãy nằm cùng nhóm A nhưng khác nhóm B.

  2. Dữ liệu nguyên từ $0$ đến $99$. Muốn dùng $m$ nhóm bằng nhau, đầu mút nguyên từ $0$ tới $100$, có ranh giới $40$ và $60$. Tìm mọi độ rộng nguyên dương có thể.

    Gợi ý bài 16

    Độ rộng nhóm phải là một ước chung dương của các độ dài $100,40,60$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16
  1. Không. Hai dãy gồm toàn số $1$ và toàn số $9$ cùng thuộc $[0;10)$ của cách A, nhưng lần lượt thuộc $[-5;5)$ và $[5;15)$ của cách B. Vì vậy bảng theo cách A không xác định bảng theo cách B.

  2. Độ rộng là ước dương của $\gcd(100,40,60)=20$: $1,2,4,5,10,20$. Số nhóm tương ứng $100,50,25,20,10,5$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.