Chọn nhóm không chồng lấn cho dữ liệu số
Ghép nhóm và lập bảng tần số · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-49-B1
Nhóm $[a;b)$ nhận các giá trị $a\le x<b$. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.
Sau bài này, em có thể:
- Chọn nhóm không chồng lấn cho dữ liệu số.
- Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
- Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.
Cần biết trước: Mô-đun 48; khoảng số và quy ước đầu mút không chồng lấn.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Nhóm $[a;b)$ nhận các giá trị $a\le x<b$. Các nhóm phải bao hết miền dữ liệu và mỗi bản ghi chỉ thuộc một nhóm. Ranh giới và đơn vị là một phần của định nghĩa nhóm.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Nhận đầu trái, loại đầu phải
Cơ bản
Đề bài
Xếp $0,9,10,19,20,29$ vào $[0;10),[10;20),[20;30)$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Ba nhóm lần lượt $\{0,9\},\{10,19\},\{20,29\}$. Mỗi số thuộc đúng một nhóm.
Cách tự kiểm
Khoảng $[a;b)$ nhận $a$, không nhận $b$.
Ví dụ 2. Đầu mút bị chồng lấn
Cơ bản
Đề bài
Giải thích vì sao $[0;10]$ và $[10;20]$ không phải hai nhóm loại trừ nhau.
Lời giải và cách suy nghĩ
$10$ thuộc cả hai khoảng. Có thể sửa thành $[0;10),[10;20]$ để bao cả $20$ mà không trùng đầu mút.
Cách tự kiểm
Kiểm số $10$ có thỏa cả hai điều kiện không.
Ví dụ 3. Chọn các nhóm độ rộng bằng nhau
Vận dụng
Đề bài
Chọn bốn nhóm độ rộng $5$ bao số nguyên từ $3$ đến $22$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Một cách là $[3;8),[8;13),[13;18),[18;23)$. Các đầu mút $8,13,18$ thuộc nhóm bắt đầu tại chúng.
Cách tự kiểm
Bắt đầu tại $3$, cộng liên tiếp độ rộng $5$.
Ví dụ 4. Khe hở giữa hai nhóm
Vận dụng
Đề bài
Các nhóm $[0;5),[6;10),[10;15)$ có bao phủ giá trị $5,5$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không: $5,5$ rơi vào khe $[5;6)$. Sửa nhóm giữa thành $[5;10)$ nếu phù hợp miền dữ liệu.
Cách tự kiểm
Tìm khoảng giữa đầu phải nhóm trước và đầu trái nhóm sau.
Ví dụ 5. Quy ước nhóm cuối
Vận dụng
Đề bài
Cần chia thời gian từ $0$ đến đúng $30$ phút thành ba nhóm rộng $10$. Nêu quy ước hợp lệ.
Lời giải và cách suy nghĩ
Dùng $[0;10),[10;20),[20;30]$. Nhóm cuối đóng phải cần ghi rõ. Mọi giá trị từ $0$ đến $30$ được đếm một lần.
Cách tự kiểm
Nhóm cuối phải nhận cả giá trị lớn nhất nếu không có nhóm tiếp.
Ví dụ 6. Đổi đơn vị của đầu mút
Nâng cao
Đề bài
Đổi các nhóm $[0;1000),[1000;2000)$ gam sang kg.
Lời giải và cách suy nghĩ
Các nhóm $[0;1),[1;2)$ kg. Chỉ đổi nhãn đơn vị mà giữ các số $0,1000,2000$ sẽ làm sai miền.
Cách tự kiểm
Chia mọi đầu mút cho $1000$, giữ quy ước ngoặc.
Ví dụ 7. Ghép nhóm có số âm
Nâng cao
Đề bài
Dữ liệu có $-3,-1,0,2,5$. Chia thành ba nhóm rộng $3$, bắt đầu tại $-3$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Dùng $[-3;0),[0;3),[3;6)$; các số $0$ thuộc nhóm hai, $5$ thuộc nhóm ba. Tổng quan sát vẫn $5$.
Cách tự kiểm
Các đầu mút liên tiếp $-3,0,3,6$.
Ví dụ 8. Chi tiết mất khi gộp
Thử thách
Đề bài
Hai cách ghép $[0;5),[5;10)$ và $[0;10)$ có cùng chi tiết không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Cách sau chỉ giữ tổng trong $[0;10)$, không biết phần dưới $5$. Cách trước có thể gộp thành cách sau, nhưng chiều ngược cần dữ liệu gốc.
Cách tự kiểm
Xét khả năng khôi phục số quan sát dưới $5$ sau gộp.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
- Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
- Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Xếp các số $0,9,10,19,20,29$ vào ba nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$.
Gợi ý bài 1
Kiểm các số đầu mút $10,20$ bằng điều kiện khoảng.
-
Hai nhóm ghi từ $0$ đến $10$ và từ $10$ đến $20$ mà chưa nói nhận đầu mút nào. Vấn đề gì xảy ra với giá trị $10$? Viết lại bằng khoảng nửa kín.
Gợi ý bài 2
Số $10$ không được thuộc hai nhóm; dùng nửa kín hoặc quy ước cuối đóng phải.
-
Cần ghép dữ liệu số nguyên từ $5$ đến $24$ thành bốn nhóm độ rộng $5$, không chồng lấn và không bỏ số. Hãy đề xuất và giải thích.
Gợi ý bài 3
Bắt đầu tại $5$, cộng lần lượt độ rộng $5$.
-
Một bạn dùng các nhóm $[0;10)$, $[12;20)$, $[20;30)$. Nếu có giá trị $11$ thì bảng có bao phủ đủ dữ liệu không? Sửa cách ghép.
Gợi ý bài 4
Tìm nhóm chứa $11$; nếu không có thì miền bị hở.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Nhóm 1: $0,9$; nhóm 2: $10,19$; nhóm 3: $20,29$. Mỗi nhóm có $2$ giá trị.
-
Giá trị $10$ có thể bị ghi vào cả hai nhóm. Dùng $[0;10)$, $[10;20)$ nếu dữ liệu đều nhỏ hơn $20$; nếu có $20$ phải bổ sung nhóm hoặc quy ước nhóm cuối nhận $20$.
-
Dùng $[5;10)$, $[10;15)$, $[15;20)$, $[20;25)$. Các nhóm liên tiếp; mỗi số nguyên từ $5$ đến $24$ thuộc đúng một nhóm. Các số $10,15,20$ thuộc nhóm bắt đầu tại chính số đó.
-
Không, vì $11$ không thuộc nhóm nào. Chẳng hạn sửa thành $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ nếu dữ liệu nằm từ $0$ đến dưới $30$.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Đề xuất các nhóm rộng $4$ cho số nguyên từ $2$ đến $17$.
Gợi ý bài 5
Lấy các đầu mút $2,6,10,14,18$.
-
Giá trị $15$ thuộc nhóm nào trong $[5;10),[10;15),[15;20)$?
Gợi ý bài 6
Kiểm dấu nhỏ hơn ở đầu phải.
-
Một phép đo được ghi tới $0,1$ cm. Nhóm $[1,0;1,5)$ nhận những số ghi nào?
Gợi ý bài 7
Liệt kê các bội $0,1$ trong khoảng.
-
Hai bảng dùng $[0;10),[10;20)$ và $[0;8),[8;20)$. Có được so cột đầu trực tiếp không?
Gợi ý bài 8
Cột đầu hai bảng có cùng điều kiện thuộc nhóm không?
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$[2;6),[6;10),[10;14),[14;18)$ là một cách hợp lệ.
-
Thuộc $[15;20)$; không thuộc $[10;15)$.
-
$1,0;1,1;1,2;1,3;1,4$ cm. Số ghi $1,5$ thuộc nhóm sau. Đây là phân nhóm số ghi, không khẳng định giá trị thật không bị làm tròn.
-
Không. Một cột đếm dưới $10$, cột kia dưới $8$. Cần quy về cùng ranh giới bằng dữ liệu gốc; tổng mẫu bằng nhau không khắc phục khác biệt này.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Chọn các nhóm rộng $6$, đầu trái nhóm đầu $4$, để bao mọi số từ $4$ đến dưới $40$. Cần mấy nhóm?
Gợi ý bài 9
Độ dài miền $36$, mỗi nhóm rộng $6$.
-
Có thể dùng các nhóm rộng $4$ bắt đầu tại $1$ mà ranh giới cuối đúng $20$ không?
Gợi ý bài 10
Mọi đầu mút có dạng $1+4k$ với $k$ nguyên.
-
Nhóm $[a;a+5)$ nhận các số nguyên $7,8,9,10,11$ và không nhận $6,12$. Tìm mọi đầu trái nguyên $a$.
Gợi ý bài 11
Giá trị nhỏ nhất được nhận là $a$ khi $a$ nguyên.
-
Ba nhóm liên tiếp cùng rộng $h>0$ bắt đầu tại $2$, ranh giới cuối là $20$. Tìm nhóm chứa $14$.
Gợi ý bài 12
Giải $2+3h=20$ rồi áp dụng nửa kín.
-
Muốn gộp hai bảng: bảng I dùng $[0;5),[5;10),[10;15),[15;20)$; bảng II dùng $[0;10),[10;20)$. Có thể quy I về II không? Có thể quy II về I không?
Gợi ý bài 13
Mỗi nhóm rộng của II là hợp hai nhóm liên tiếp của I.
-
Các nhóm $[0;10),[10;20]$ bao một mẫu. Thêm dữ liệu đúng $20$ rồi muốn đổi nhóm hai thành $[10;20)$ mà không thêm nhóm. Điều gì sai?
Gợi ý bài 14
Kiểm miền bao phủ sau khi đổi dấu ngoặc.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Cần $6$ nhóm, đầu mút $4,10,16,22,28,34,40$. Nếu có giá trị đúng $40$ phải thêm nhóm hoặc quy ước đóng phải nhóm cuối.
-
Không, vì $20-1=19$ không chia hết cho $4$. Có thể kết thúc ở $21$ hoặc đổi đầu trái/độ rộng; không bóp ngắn nhóm cuối rồi vẫn gọi mọi nhóm cùng độ rộng.
-
Buộc $a=7$, nhóm $[7;12)$. Nếu không yêu cầu $a$ nguyên thì có nhiều đầu mút khác cũng chứa đúng năm số nguyên; cần nêu miền của tham số.
-
$h=6$. Các nhóm $[2;8),[8;14),[14;20)$, nên $14$ thuộc nhóm ba.
-
I về II được bằng cộng từng cặp tần số. II về I không duy nhất vì không biết cách chia mỗi tổng thành hai nhóm nhỏ; cần bản ghi gốc.
-
Giá trị $20$ bị bỏ khỏi mọi nhóm. Phải giữ nhóm cuối đóng phải hoặc bổ sung nhóm bắt đầu tại $20$; không chỉ đổi ngoặc để giống mẫu trình bày.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Có hai cách ghép cùng rộng $10$: cách A bắt đầu tại $0$, cách B tại $5$. Có suy bảng B từ bảng A không?
Gợi ý bài 15
Tìm hai dãy nằm cùng nhóm A nhưng khác nhóm B.
-
Dữ liệu nguyên từ $0$ đến $99$. Muốn dùng $m$ nhóm bằng nhau, đầu mút nguyên từ $0$ tới $100$, có ranh giới $40$ và $60$. Tìm mọi độ rộng nguyên dương có thể.
Gợi ý bài 16
Độ rộng nhóm phải là một ước chung dương của các độ dài $100,40,60$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Không. Hai dãy gồm toàn số $1$ và toàn số $9$ cùng thuộc $[0;10)$ của cách A, nhưng lần lượt thuộc $[-5;5)$ và $[5;15)$ của cách B. Vì vậy bảng theo cách A không xác định bảng theo cách B.
-
Độ rộng là ước dương của $\gcd(100,40,60)=20$: $1,2,4,5,10,20$. Số nhóm tương ứng $100,50,25,20,10,5$.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.