Côsin góc nhọn lớp 9: cạnh kề và cạnh huyền

$\cos B=AB/BC=15/17$.

$NP$ là huyền, $MP$ kề $P$, nên $\cos P=12/13$.

$\cos B=6/10=3/5$; $\cos C=8/10=4/5$. Cạnh kề $B$ là $AB$, còn cạnh kề $C$ là $AC$.

Trong công thức côsin, tử là cạnh góc vuông kề góc nhọn, không phải huyền. Cạnh ấy nhỏ hơn huyền nên côsin nhỏ hơn $1$.

$BC=25$ cm theo Pythagore, nên $\cos B=7/25$.

Kề $15$ cm; đối $\sqrt{39^2-15^2}=36$ cm. Kiểm $15/39=5/13$.

$c=12$ cm. Cạnh đối $\sqrt{144-64}=4\sqrt5>0$ nên dữ kiện hợp lệ.

$AB/BC=AC/BC$ nên $AB=AC$ vì $BC>0$. Hình là tam giác vuông cân.

$\cos^2C=1-144/169=25/169$. Vì $C$ nhọn, $\cos C=5/13$, lấy căn dương.

Đặt cạnh kề góc đã chọn bằng $5k$ và cạnh huyền bằng $13k$, với $k>0$. Cạnh đối là $12k$ theo Pythagore. Chu vi $30k=60$ cho $k=2$, nên các cạnh $10,24,26$ cm.

Hai huyền và hai cạnh kề bằng nhau, nên cạnh còn lại có cùng bình phương và đều dương, do đó bằng nhau. Ba cặp cạnh bằng nhau; hai tam giác bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh.

Bất đẳng thức cho $x>1$; khi đó $BC>0$ và $AC=\sqrt{4x^2-(x+1)^2}>0$. Côsin $B=(x+1)/(2x)$. $x=1$ gây suy biến nên bị loại.

Có: tổng bình phương $1/4+3/4=1$. Chọn $AB=1$, $AC=\sqrt3$, $BC=2$; Pythagore đúng và hai côsin đúng.

Cần $0<b<b+t<c$. Côsin tăng từ $b/c$ lên $(b+t)/c$, tức tăng đúng $t/c$. Đây là so tỉ số khi huyền cố định, không nói mọi phép biến dạng đều như vậy.

Đặt $x=\cos B$, $y=\cos C>0$. Có $x^2+y^2=1$ và $(x+y)^2=2$, nên $2xy=1$. Vì $(x-y)^2=1-2xy=0$, suy ra $x=y$, do đó $AB=AC=5/\sqrt2$ cm.

Có $2AB\cdot AC\le AB^2+AC^2=c^2$, nên $S=AB\cdot AC/2\le c^2/4$. Dấu bằng khi $AB=AC$, tương đương $\cos B=\cos C=\sqrt2/2$.