Đặt điều kiện cho phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-06-B3

Điều kiện xác định là một phần của phương trình chứa phân thức, không phải một ghi chú có thể bỏ sau quy đồng. Khử mẫu tương đương chỉ trên miền các mẫu ban đầu đều khác không.

Sau bài này, em có thể:

• Đặt đủ điều kiện trước khử mẫu.
• Phân biệt miền, ứng viên và ảnh hưởng của tham số.

Cần biết trước: Phương trình bậc nhất, phân tích nhân tử và phân thức lớp 8; mô-đun 05.

1. Kiến thức và phương pháp

Đặt mỗi mẫu ban đầu khác $0$, phân tích mẫu thành nhân tử khi cần, rồi lấy giao các điều kiện. Nếu $M(x)$ là mẫu chung thì $M(x)\ne0$ trên miền ấy; nhân hai vế với $M$ chỉ tương đương khi vẫn giữ miền. Một phương trình sau khử mẫu có thể có nghiệm ở điểm bị loại, nhưng đó không phải nghiệm phương trình gốc.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai mẫu tuyến tính

Cơ bản

Đề bài

Đặt điều kiện cho $1/(x-5)+2/(2x+1)=0$, chưa cần giải.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $x\ne5$ và $2x+1\ne0$, tức $x\ne-1/2$. Cả hai điều kiện cùng phải được giữ.

Cách tự kiểm

Không chỉ loại một trong hai mẫu.

Ví dụ 2. Mẫu có hai nhân tử

Cơ bản

Đề bài

Đặt điều kiện cho $(x+2)/(x^2-16)=1/(x-4)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2-16=(x-4)(x+4)$, nên loại $4$ và $-4$. Mẫu $x-4$ không thêm điểm mới nhưng vẫn phải kiểm.

Cách tự kiểm

Nhân tử chung không xóa điểm bị loại.

Ví dụ 3. Biểu thức rút gọn là hằng

Cơ bản

Đề bài

Phương trình $(x-3)/(x-3)=1$ đúng với mọi số thực không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: cần $x\ne3$. Trên miền này hai vế bằng nhau; tại $3$, vế trái không xác định.

Cách tự kiểm

Tập nghiệm là mọi $x$ trừ $3$.

Ví dụ 4. Mẫu có nhân tử $x$

Cơ bản

Đề bài

Đặt điều kiện cho $1/[x(x+2)]=1/x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Phải có $x\ne0$ và $x\ne-2$. Nhân khử mẫu sau đó không cho phép nhận lại một trong hai giá trị này.

Cách tự kiểm

Tử khác không không quyết định miền của mẫu.

Ví dụ 5. Vì sao khử mẫu hợp lệ?

Vận dụng

Đề bài

Với $x\ne a$, giải thích vì sao $P/(x-a)=Q/(x-a)$ tương đương $P=Q$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân hai vế với $x-a\ne0$ được $P=Q$. Ngược lại chia đẳng thức ấy cho cùng số khác $0$ khôi phục phương trình đầu. Miền $x\ne a$ phải theo cả hai chiều.

Cách tự kiểm

Không áp chiều ngược tại $x=a$.

Ví dụ 6. Hai điểm loại có thể trùng

Nâng cao

Đề bài

Đặt điều kiện cho $1/(x-m)=2/(x-2)$ theo $m$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Loại $x=m$ và $x=2$. Nếu $m=2$, chỉ có một điểm bị loại; nếu $m\ne2$, có hai điểm khác nhau bị loại.

Cách tự kiểm

Không cộng số điểm loại trước kiểm trùng.

Ví dụ 7. Một mẫu luôn dương

Vận dụng

Đề bài

Đặt điều kiện cho $1/[(x-1)^2+1]=x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(x-1)^2+1\ge1>0$ với mọi $x$, nên phương trình xác định trên toàn $\mathbb R$. Không có điểm loại từ mẫu này.

Cách tự kiểm

Không phải cứ có ẩn ở mẫu là phải loại một số cụ thể.

Ví dụ 8. Tham số làm phương trình không xác định

Nâng cao

Đề bài

Xét miền của $1/(m-1)=x$ theo $m$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu $m=1$, phép chia ở vế trái không xác định với bất cứ $x$ nào. Nếu $m\ne1$, vế trái là hằng thực và miền đối với $x$ là toàn $\mathbb R$.

Cách tự kiểm

Điều kiện có thể thuộc tham số, không chỉ thuộc ẩn.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Khử mẫu rồi bỏ miền gốc.
• Nhầm miền xác định với tập nghiệm.
• Chỉ kiểm mẫu còn lại sau rút gọn.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Ghi điều kiện xác định của $1/(2x-6)+3/(x+2)=0$. Chưa cần giải.

   Gợi ý bài 1

   Mỗi mẫu khác $0$.

2. Ghi điều kiện của $(x+1)/(x^2-9)=2/(x-3)$.

   Gợi ý bài 2

   Phân tích $x^2-9$.

3. Một bạn nói $(x-2)/(x-2)=1$ với mọi $x$. Ghi miền đúng và giải thích tại $x=2$.

   Gợi ý bài 3

   Mẫu gốc vẫn phải khác $0$.

4. Ghi điều kiện của $1/[x(x-4)]=1/x$. Có được lấy $x=0$ làm ứng viên nghiệm sau khi nhân hai vế với $x$ không?

   Gợi ý bài 4

   Giá trị đã loại không trở lại sau phép nhân.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Cần $x\ne3$ và $x\ne-2$.

2. Mẫu có các nhân tử $x-3,x+3$, nên $x\ne3$ và $x\ne-3$.

3. Đẳng thức chỉ đúng khi $x\ne2$. Tại $2$, mẫu bằng $0$, vế trái không xác định dù công thức rút gọn là $1$.

4. Cần $x\ne0$ và $x\ne4$. Không nhận $0$: nó không thuộc miền phương trình ban đầu. Mọi khử mẫu phải giữ miền này.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Đặt điều kiện cho $2/(x+5)=1/(x-1)$.

   Gợi ý bài 5

   Kiểm hai mẫu.

6. Đặt điều kiện cho $1/(x^2-25)=3/(x+5)$.

   Gợi ý bài 6

   Phân tích hiệu bình phương.

7. Đặt điều kiện cho $x/[x(x+1)]=2$.

   Gợi ý bài 7

   Không khử $x$ trước ghi miền.

8. Đặt điều kiện cho $1/(2x+3)=0$.

   Gợi ý bài 8

   Giải mẫu bằng $0$ để loại.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $x\ne-5$ và $x\ne1$.

6. $x\ne5$ và $x\ne-5$.

7. $x\ne0$ và $x\ne-1$. Công thức gọn $1/(x+1)$ vẫn phải giữ loại $0$.

8. $x\ne-3/2$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Đặt điều kiện cho $1/(x-1)^2+1/(x+1)^2=0$.

   Gợi ý bài 9

   Bình phương mẫu không đổi các nghiệm bằng $0$.

10. Vì sao $1/(x^2+4)=x$ xác định với mọi $x$?

    Gợi ý bài 10

    Mẫu có thể bằng $0$ không?

11. Tìm $m$ để hai mẫu $x-m$ và $2x+6$ có cùng điểm bị loại.

    Gợi ý bài 11

    Mẫu thứ hai bằng $0$ tại $-3$.

12. Với $m$ thực, đặt điều kiện của $1/[(m-1)x+2]=0$.

    Gợi ý bài 12

    Tách hệ số của $x$ bằng $0$.

13. Sau khử mẫu một phương trình có miền $x\ne2,-1$, thu được $x^2-x-2=0$. Những ứng viên nào có thể nhận?

    Gợi ý bài 13

    Phân tích rồi đối chiếu cả hai điểm loại.

14. Có thể xác định miền chỉ từ biểu thức rút gọn sau cùng không? Cho ví dụ.

    Gợi ý bài 14

    Tìm một nhân tử có thể khử.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $x\ne1$ và $x\ne-1$.

10. $x^2+4\ge4>0$, nên không loại giá trị thực nào từ mẫu.

11. Cần $m=-3$. Khi đó miền chung chỉ loại $x=-3$ thay vì hai điểm phân biệt.

12. Nếu $m=1$, mẫu luôn bằng $2$ nên miền toàn $\mathbb R$. Nếu $m\ne1$, loại $x=-2/(m-1)$.

13. $(x-2)(x+1)=0$ cho $2,-1$, đều bị loại. Vì vậy phương trình gốc vô nghiệm, dù phương trình sau khử mẫu có hai nghiệm.

14. Không. $(x-5)/(x-5)$ rút thành $1$ nhưng loại $5$; công thức $1$ riêng lẻ không cho biết điểm loại này.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Phân loại miền của phương trình $1/(x^2-m)=x$ theo $m$.

    Gợi ý bài 15

    Mẫu bằng $0$ khi $x^2=m$.

16. Tạo hai phương trình khử mẫu đều cho $x-1=2$, nhưng một phương trình có nghiệm, một phương trình không có nghiệm do miền. Giải thích.

    Gợi ý bài 16

    Thay mẫu để điểm $x=3$ bị loại hoặc không.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $m<0$: không có điểm loại vì $x^2-m>0$. $m=0$: loại $0$. $m>0$: loại hai điểm $\sqrt m,-\sqrt m$. Đây là miền xác định, chưa phải tập nghiệm.

16. Ví dụ $(x-1)/(x-1)=2/(x-1)$ có miền $x\ne1$, nên nhận nghiệm $3$. Còn $(x-1)/(x-3)=2/(x-3)$ có miền $x\ne3$, nên loại ứng viên duy nhất $3$ và vô nghiệm. Cùng phương trình khử mẫu không đồng nghĩa cùng tập nghiệm.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.