Dây, đường kính và trường hợp bằng nhau

Đường tròn, đối xứng và dây · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-26-B3

Đường kính là dây dài nhất. Phần nâng cao giải thích khi nào đạt dấu bằng và liên hệ độ dài dây với khoảng cách tới tâm bằng tam giác vuông.

Sau bài này, em có thể:

• Độ dài dây và trường hợp bằng nhau
• Giải thích điều kiện và kiểm tra bằng chứng thay vì chỉ nhìn hình.

Cần biết trước: Khái niệm đường tròn; đối xứng tâm, đối xứng trục; bất đẳng thức tam giác và định lý Pythagore.

1. Kiến thức và phương pháp

Với dây $AB$ có hai đầu phân biệt trong $(O;R)$, bất đẳng thức tam giác cho $AB\le AO+OB=2R$. Dấu bằng xảy ra đúng khi $O$ nằm trên $AB$, tức $AB$ là đường kính. Nếu $H$ là chân vuông góc từ $O$ tới dây, tam giác cân cho $HA=HB$, nên

Công thức dùng với $0\le OH<R$; trường hợp $OH=R$ chỉ còn một điểm.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chặn độ dài dây

Khởi động

Đề bài

Bán kính $R=9$ cm. Một dây có thể dài $19$ cm không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Mọi dây $AB$ thỏa $AB\le AO+OB=18$ cm. Vì $19>18$, đoạn đó không thể là dây.

Cách tự kiểm

Bất đẳng thức là không nghiêm vì có thể là đường kính.

Ví dụ 2. Nhận đường kính

Củng cố

Đề bài

Dây $AB$ dài $16$ cm trong đường tròn bán kính $8$ cm. Chứng minh nó qua tâm.

Lời giải và cách suy nghĩ

$AB=AO+OB=16$. Trường hợp bằng trong bất đẳng thức tam giác buộc $A,O,B$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa. Vậy $AB$ là đường kính.

Cách tự kiểm

Chỉ biết $AB\le16$ thì chưa suy ra đường kính.

Ví dụ 3. Dây không qua tâm

Vận dụng

Đề bài

$AB$ là dây và $O\notin AB$. Chứng minh $AB<2R$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Ba điểm $A,O,B$ không thẳng hàng; nếu thẳng hàng và $A\ne B$ trên đường tròn thì $O$ phải nằm giữa chúng. Do đó $AOB$ là tam giác không suy biến, nên $AB<AO+OB=2R$.

Cách tự kiểm

Giả sử dây có hai đầu khác nhau.

Ví dụ 4. Khoảng cách tới dây

Vận dụng

Đề bài

Đường tròn bán kính $5$ cm có dây $AB$ cách tâm $3$ cm. Tính độ dài dây.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gọi $H$ là chân vuông góc từ $O$ xuống $AB$. Tam giác cân $OAB$ có $H$ là trung điểm dây. Pythagore cho $AH=\sqrt{25-9}=4$ cm, nên $AB=8$ cm.

Cách tự kiểm

Tam giác vuông để dùng Pythagore là $OHA$, không phải tùy ý $OAB$.

Ví dụ 5. So sánh hai dây bằng khoảng cách

Nâng cao

Đề bài

Trong cùng đường tròn bán kính $R$, hai dây cách tâm lần lượt $h_1<h_2<R$. Dây nào dài hơn?

Lời giải và cách suy nghĩ

Nửa độ dài dây là $\sqrt{R^2-h_i^2}$. Vì $h_1^2<h_2^2$, có $R^2-h_1^2>R^2-h_2^2\ge0$. Lấy căn bảo toàn thứ tự, nên dây gần tâm hơn dài hơn.

Cách tự kiểm

Điều kiện cùng bán kính là cần thiết.

Ví dụ 6. Điều kiện của tham số

Nâng cao

Đề bài

Trong $(O;6)$, một đoạn dài $2x+4$ được yêu cầu là dây không phải đường kính. Tìm điều kiện cần và đủ của $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Độ dài dây phải thỏa $0<2x+4<12$, tức $-2<x<4$. Chiều ngược, với mỗi độ dài $L$ trong $(0,12)$, chọn $h=\sqrt{36-L^2/4}$, khi đó $0<h<6$ và dây ở khoảng cách $h$ có độ dài $L$.

Cách tự kiểm

Không chỉ nêu điều kiện cần; phép dựng theo $h$ xác nhận đủ.

Ví dụ 7. Hai dây bằng nhau

Phản biện

Đề bài

Hai dây trong cùng đường tròn có độ dài bằng nhau. Chứng minh khoảng cách từ tâm tới chúng bằng nhau.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gọi hai nửa dây cùng dài $a$. Pythagore cho khoảng cách lần lượt $\sqrt{R^2-a^2}$, nên bằng nhau. Nếu $a=R$ thì cả hai khoảng cách bằng $0$ và dây là đường kính.

Cách tự kiểm

Khoảng cách tới đường thẳng chứa dây là số không âm.

Ví dụ 8. Không suy chiều đảo sai

Thử thách

Đề bài

Dây $AB<2R$. Có suy ra $AB<R$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Trong đường tròn bán kính $5$, dây dài $8$ tồn tại vì nửa dây $4<5$; khoảng cách từ tâm là $3$. Ta có $8<10$ nhưng $8>5$.

Cách tự kiểm

Bán kính không phải độ dài lớn nhất của dây.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên phân biệt dấu bằng với bất đẳng thức nghiêm.
• Dùng tính chất của đường tròn cho một phần hình hoặc một hình khác.
• Kết luận từ hình vẽ hoặc số đo gần đúng mà không kiểm giả thiết.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Đường tròn bán kính $7$ cm. Dây bất kỳ có dài hơn $14$ cm được không?

   Gợi ý bài 1

   So với đường kính bằng hai bán kính.

2. Trong đường tròn bán kính $5$ cm, dây dài $10$ cm có phải đường kính không?

   Gợi ý bài 2

   Xét trường hợp bằng trong bất đẳng thức tam giác.

3. $A,B\in(O;R)$, $A\ne B$, và $O$ không nằm trên $AB$. So sánh $AB$ với $2R$ và giải thích.

   Gợi ý bài 3

   Ba điểm tạo tam giác không suy biến.

4. Đường tròn bán kính $4$ cm có thể chứa dây dài $9$ cm không?

   Gợi ý bài 4

   Tính đường kính rồi so với 9.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Không. Với dây $AB$, có $AB\le2R=14$ cm.

2. Có. Dây dài đúng $2R$, nên đạt dấu bằng trong $AB\le AO+OB=2R$; do đó đi qua tâm và là đường kính.

3. Tam giác $AOB$ không suy biến, nên $AB<AO+OB=2R$.

4. Không, vì $9>8=2R$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. $R=12$ cm, dây dài $24$ cm. Tâm có thuộc dây không?

   Gợi ý bài 5

   Độ dài đạt chặn trên.

6. Dây $18$ cm thuộc đường tròn bán kính $R$. Tìm điều kiện của $R$.

   Gợi ý bài 6

   Nửa dây không vượt bán kính.

7. $R=13$ cm, dây cách tâm $5$ cm. Tính dây.

   Gợi ý bài 7

   Kẻ vuông góc từ tâm, chia đôi dây.

8. $R=10$ cm, dây dài $12$ cm. Tìm khoảng cách tới tâm.

   Gợi ý bài 8

   Dùng nửa dây bằng 6.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Có; đó là đường kính và tâm là trung điểm.

6. $R\ge9$ cm. Với mỗi $R\ge9$, chọn khoảng cách $\sqrt{R^2-81}$ từ tâm để có dây như vậy.

7. Nửa dây $\sqrt{169-25}=12$ cm nên dây $24$ cm.

8. $h=\sqrt{100-36}=8$ cm.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Trong $(O;10)$, hai dây dài $12$ và $16$. So sánh khoảng cách tới tâm.

   Gợi ý bài 9

   Nửa dây dài hơn thì bình phương khoảng cách nhỏ hơn.

10. Dây dài $3x-1$ trong $(O;7)$ là đường kính. Tìm $x$.

    Gợi ý bài 10

    Đặt độ dài bằng 14.

11. Trong $(O;4)$, đoạn dài $2x$ là dây. Tìm mọi $x$.

    Gợi ý bài 11

    Dây có hai đầu khác nhau nên độ dài dương.

12. Dây cách tâm một khoảng bằng bán kính có hai đầu phân biệt không?

    Gợi ý bài 12

    Tính nửa dây.

13. Hai dây bằng nhau của hai đường tròn khác nhau có nhất thiết cách tâm bằng nhau?

    Gợi ý bài 13

    Giữ nửa dây cố định, thay bán kính.

14. Trong $(O;5)$, một dây có nửa độ dài $a$ và khoảng cách tâm $h$ thỏa $a=h$. Tính dây.

    Gợi ý bài 14

    Dùng $a^2+h^2=25$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Khoảng cách tương ứng $8$ và $6$ cm; dây $16$ cm gần tâm hơn.

10. $3x-1=14$ nên $x=5$; độ dài dương, hợp lệ.

11. $0<2x\le8$, tức $0<x\le4$. Mọi giá trị thỏa đều dựng được bằng khoảng cách $h=\sqrt{16-x^2}$.

12. Không. Nửa dây bằng $\sqrt{R^2-R^2}=0$; đường thẳng chỉ chạm đường tròn tại một điểm, không tạo dây có hai đầu khác nhau.

13. Không. Dây dài $6$ trong hai đường tròn bán kính $5$ và $\sqrt{10}$ có khoảng cách tâm lần lượt $4$ và $1$.

14. $2a^2=25$, $a=5\sqrt2/2>0$, nên dây dài $5\sqrt2$. Khoảng cách cũng $5\sqrt2/2$, nhỏ hơn 5.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Trong $(O;R)$, hai dây có khoảng cách tới tâm $h$ và $2h$, với $0<h<R/2$. Chứng minh dây thứ nhất dài hơn nhưng chưa chắc gấp đôi dây thứ hai.

    Gợi ý bài 15

    So các biểu thức $2\sqrt{R^2-h^2}$ và $2\sqrt{R^2-4h^2}$.

16. Tìm dây dài nhất trong những dây cách tâm ít nhất $3$ cm của đường tròn bán kính $5$ cm.

    Gợi ý bài 16

    Độ dài giảm khi khoảng cách tăng.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Dây thứ nhất dài hơn do biểu thức dưới dấu căn lớn hơn. Ví dụ $R=5,h=1$ cho độ dài $4\sqrt6$ và $2\sqrt{21}$; bình phương không thỏa tỉ số 4, nên không gấp đôi.

16. Khoảng cách nhỏ nhất cho phép là $3$, nên dây dài nhất $2\sqrt{25-9}=8$ cm, đạt ở các dây cách tâm đúng 3 cm.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.