Đếm số kết quả có thể trong mô hình đơn giản
Kiểm đếm và xác suất biến cố · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-53-B1
Số kết quả phụ thuộc điều quan sát, thứ tự, hoàn lại và quy tắc dừng. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.
Sau bài này, em có thể:
- Đếm số kết quả có thể trong mô hình đơn giản.
- Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
- Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.
Cần biết trước: Mô-đun 52; chỉ dùng tỉ số đếm khi các kết quả sơ cấp đồng khả năng.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Số kết quả phụ thuộc điều quan sát, thứ tự, hoàn lại và quy tắc dừng. Dùng tích khi mọi nhánh có cùng số lựa chọn kế tiếp, dùng tổng khi các nhánh rời nhau có số lựa chọn khác.
Quy ước $S$ là sấp, $N$ là ngửa trong chuỗi kết quả tung xu.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Số kết quả ở mức thẻ
Cơ bản
Đề bài
Rút một thẻ từ năm thẻ phân biệt. Có bao nhiêu kết quả ở mức thẻ?
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $5$ kết quả. Nếu chỉ ghi một nhãn chung cho nhiều thẻ thì số nhãn có thể ít hơn, nên phải nói rõ điều quan sát.
Cách tự kiểm
Mỗi thẻ là một kết quả riêng.
Ví dụ 2. Xu rồi số
Cơ bản
Đề bài
Tung một xu rồi chọn số từ $1,2,3$. Đếm kết quả có thứ tự.
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $2\cdot3=6$ cặp; chia theo hai mặt xu để kiểm không thiếu và không trùng.
Cách tự kiểm
Mỗi mặt xu ghép với ba số.
Ví dụ 3. Hai thẻ không hoàn lại
Vận dụng
Đề bài
Rút hai thẻ không hoàn lại từ bốn thẻ phân biệt, giữ thứ tự. Đếm.
Lời giải và cách suy nghĩ
$4\cdot3=12$ kết quả. Điều kiện không hoàn lại loại bốn cặp cùng thẻ.
Cách tự kiểm
Lần đầu có bốn, mỗi lần sau còn ba.
Ví dụ 4. Phần thêm khi hoàn lại
Vận dụng
Đề bài
Đổi phép rút trên thành có hoàn lại. Số kết quả tăng bao nhiêu?
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $16$ thay vì $12$, tăng $4$ cặp cùng thẻ. Không phải mọi phép thay điều kiện đều giữ không gian mẫu.
Cách tự kiểm
Mỗi lần đầu nay có đủ bốn lựa chọn sau.
Ví dụ 5. Các nhánh không đều
Vận dụng
Đề bài
Chọn chữ A hoặc B; nếu A thì chọn số $1,2$, nếu B thì chọn số $1,2,3,4$. Đếm.
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $2+4=6$ kết quả. Không nhân $2\cdot4$ vì nhánh A không có đủ bốn số.
Cách tự kiểm
Hai nhánh có số lựa chọn khác nhau.
Ví dụ 6. Chuỗi và số ngửa
Nâng cao
Đề bài
Tung ba xu theo thứ tự. Có bao nhiêu chuỗi? Nếu chỉ ghi số ngửa có bao nhiêu giá trị?
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $2^3=8$ chuỗi; số ngửa chỉ nhận $0,1,2,3$, có $4$ giá trị. Hai cách ghi không có cùng số phần tử.
Cách tự kiểm
Chuỗi giữ từng vị trí, số ngửa gộp các chuỗi.
Ví dụ 7. Bỏ thứ tự đúng cách
Nâng cao
Đề bài
Rút hai thẻ không hoàn lại từ năm thẻ, chỉ ghi tập hai thẻ. Đếm bằng cách từ các cặp có thứ tự.
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $5\cdot4=20$ cặp có thứ tự; mỗi tập đếm hai lần, nên có $10$ tập.
Cách tự kiểm
Mỗi tập hai thẻ tương ứng hai thứ tự.
Ví dụ 8. Đếm với quy tắc dừng
Thử thách
Đề bài
Tung xu đến khi gặp N hoặc đủ ba lần. Có bao nhiêu chuỗi kết thúc?
Lời giải và cách suy nghĩ
Có $4$ chuỗi: N,SN,SSN,SSS. Chúng không cùng độ dài và không tự đồng khả năng.
Cách tự kiểm
Liệt kê N,SN,SSN và nhánh chưa ngửa.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
- Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
- Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Hộp chứa năm thẻ khác nhau ghi $1,2,3,4,5$. Rút một thẻ và ghi số. Có bao nhiêu kết quả có thể?
Gợi ý bài 1
Mỗi thẻ mang một số khác nhau.
-
Tung một xu rồi chọn một số từ $\{1,2,3\}$. Có bao nhiêu kết quả có thứ tự? Liệt kê theo mặt xu.
Gợi ý bài 2
Mỗi mặt xu ghép với ba số.
-
Rút hai thẻ liên tiếp không hoàn lại từ bốn thẻ $A,B,C,D$. Đếm số kết quả có thứ tự bằng cách chia theo thẻ đầu.
Gợi ý bài 3
Mỗi thẻ đầu còn ba lựa chọn.
-
Nếu rút hai lần có hoàn lại từ bốn thẻ $A,B,C,D$, số kết quả đổi thế nào so với không hoàn lại? Giải thích.
Gợi ý bài 4
Hoàn lại thêm bốn cặp trùng.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Có $5$ kết quả, $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$.
-
Có $6$ kết quả: $(S;1),(S;2),(S;3),(N;1),(N;2),(N;3)$.
-
Thẻ đầu có $4$ cách; với mỗi thẻ đầu có $3$ thẻ khác ở lần sau, nên có $12$ kết quả. Có thể liệt kê ba cặp bắt đầu bằng từng chữ để kiểm.
-
Có $16$ thay vì $12$ kết quả vì mỗi thẻ đầu ghép với đủ $4$ thẻ sau. Bốn cặp $AA,BB,CC,DD$ được thêm vào; chúng bị loại trong mô hình không hoàn lại.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Ba áo và bốn mũ độc lập lựa chọn tạo bao nhiêu cặp?
Gợi ý bài 5
Mỗi áo ghép đủ bốn mũ.
-
Rút hai thẻ không hoàn lại từ sáu thẻ, giữ thứ tự. Đếm.
Gợi ý bài 6
Mỗi thẻ đầu còn năm thẻ sau.
-
Rút hai thẻ có hoàn lại từ sáu thẻ, giữ thứ tự. Đếm.
Gợi ý bài 7
Cả hai vị trí có sáu lựa chọn.
-
Chọn số đầu là một số nguyên trong $\{1,2,3,4\}$, số sau là một số nguyên lớn hơn số đầu và không quá $5$. Đếm kết quả.
Gợi ý bài 8
Số nhánh lần lượt $4,3,2,1$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Có $12$ cặp.
-
Có $6\cdot5=30$ cặp.
-
Có $36$ cặp; thêm sáu cặp trùng so với không hoàn lại.
-
Có $4+3+2+1=10$ cặp. Đếm theo nhánh để tránh coi mọi nhánh có cùng số lựa chọn.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Rút hai thẻ không hoàn lại từ $n$ thẻ phân biệt, có $42$ cặp có thứ tự. Tìm $n$.
Gợi ý bài 9
$n(n-1)=42$ với $n$ nguyên ít nhất $2$.
-
Rút hai thẻ có hoàn lại từ $n$ thẻ, có $49$ cặp. Tìm $n$ và số cặp nếu không hoàn lại.
Gợi ý bài 10
$n^2=49$ với $n>0$.
-
Một bộ có $n$ áo, $n+2$ mũ, tạo $48$ cặp. Tìm $n$.
Gợi ý bài 11
Giải $n(n+2)=48$ trong số nguyên dương.
-
Chọn hai chữ không thứ tự từ bốn chữ A,B,C,D, cho phép hai chữ giống nhau. Có bao nhiêu nhãn?
Gợi ý bài 12
Chia thành hai chữ khác nhau và hai chữ giống nhau.
-
Tung bốn xu nhưng dừng nếu hai lần đầu đều N; nếu không thì tung đủ bốn. Đếm chuỗi ghi nhận.
Gợi ý bài 13
Nhánh NN kết thúc; ba tiền tố còn lại mỗi tiền tố có bốn hậu tố.
-
Rút ba thẻ không hoàn lại từ năm thẻ, giữ thứ tự. Đếm rồi so với chỉ ghi tập ba thẻ.
Gợi ý bài 14
Mỗi bộ ba phân biệt có $3\cdot2\cdot1=6$ thứ tự.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
$7\cdot6=42$ nên $n=7$. Hàm $n(n-1)$ tăng với số nguyên $n\ge1$, do đó nghiệm duy nhất.
-
$n=7$. Không hoàn lại còn $7\cdot6=42$ cặp; loại bảy cặp trùng.
-
$n=6$ vì $6\cdot8=48$. Từ $n^2+2n-48=(n-6)(n+8)=0$, loại nghiệm âm.
-
Có $6$ cặp khác và $4$ cặp trùng, tổng $10$. Chúng không gộp cùng số cặp có thứ tự nên không tự đồng khả năng.
-
Có $1+3\cdot4=13$ chuỗi. Không lấy $16$ vì bốn chuỗi bắt đầu NN được gộp thành một chuỗi dừng sớm.
-
Có $5\cdot4\cdot3=60$ chuỗi, tương ứng $60/6=10$ tập. Phải nêu điều quan sát trước khi chọn số đếm.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Có $n$ thẻ. Số cặp có hoàn lại nhiều hơn không hoàn lại đúng $8$. Tìm hai số kết quả.
Gợi ý bài 15
Phần thêm là các cặp cùng thẻ, có đúng $n$.
-
Chọn hai số có thứ tự từ $1$ đến $n$, có hoàn lại. Có $25$ cặp bằng nhau hoặc giảm. Tìm $n$ nếu tồn tại.
Gợi ý bài 16
Số bằng nhau hoặc giảm là $1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$n=8$, có hoàn lại $64$, không hoàn lại $56$. Hiệu đúng $8$.
-
$n(n+1)=50$. Hai tích liên tiếp gần nhất $6\cdot7=42$, $7\cdot8=56$, nên không có $n$ nguyên. Không thể làm tròn nghiệm để có bộ thẻ hợp lệ.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.