Đến nội dung chính
THCSLớp 9Thống kê và xác suấtMở mô-đun

Thống kê liên môn và bảng tính · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-51-B5

Biểu đồ tương đối dùng dãy tỉ lệ, không trộn với số đếm trên cùng trục. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

  • Dùng bảng tính vẽ biểu đồ tần số tương đối.
  • Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
  • Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.

Cần biết trước: Mô-đun 45–50. Bài phần mềm cần thiết bị và lưu sản phẩm thực hành.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Biểu đồ tương đối dùng dãy tỉ lệ, không trộn với số đếm trên cùng trục. Hình quạt có thể chuẩn hóa trọng số nên phải kiểm tổng và ý nghĩa nguồn trước. Xem hướng dẫn biểu đồ của Google.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chọn đúng dãy tỉ lệ

Cơ bản

Đề bài

Nguồn A,B,C có $4,6,10$ trên tổng $20$. Chọn dãy chiều cao cho biểu đồ cột tương đối.

Lời giải và cách suy nghĩ

Chọn $20\%,30\%,50\%$, không phải $4,6,10$. Trục dọc ghi Tần số tương đối (%).

Cách tự kiểm

Tính tỉ lệ, giữ nhãn nhóm.

Ví dụ 2. Kiểm góc quạt bằng tính tay

Cơ bản

Đề bài

Từ nguồn trên, tính góc của biểu đồ quạt để kiểm hình phần mềm.

Lời giải và cách suy nghĩ

Góc $72^\circ,108^\circ,180^\circ$; cùng nhãn với ba cột tương đối.

Cách tự kiểm

Nhân tỉ lệ với $360^\circ$.

Ví dụ 3. Hình tròn không xác nhận nguồn

Vận dụng

Đề bài

Biểu đồ quạt nhận dữ liệu $60,50$. Vì sao tổng hình tròn vẫn không chứng minh đây là hai phần trăm hợp lệ?

Lời giải và cách suy nghĩ

Hình sẽ theo tỉ lệ $6:5$, không phải cơ cấu chính xác $60\%,50\%$ của cùng mẫu. Cần kiểm nghĩa và tổng của nguồn trước.

Cách tự kiểm

Phần mềm có thể chuẩn hóa trọng số theo tổng $110$.

Ví dụ 4. Hai hình cập nhật cùng bảng

Vận dụng

Đề bài

Nguồn đổi từ $4,6,10$ thành $5,5,10$. Dự đoán cả cột và quạt.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cột cao $25\%,25\%,50\%$; hai quạt đầu đều $90^\circ$, quạt cuối $180^\circ$.

Cách tự kiểm

Tổng giữ $20$.

Ví dụ 5. So cơ cấu giữa hai quy mô

Vận dụng

Đề bài

Tại sao chọn cột tương đối khi so hai lớp $20$ và $40$ người?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tỉ lệ đặt hai lớp trên cùng thang cơ cấu. Cần vẫn ghi tổng mẫu, vì cùng phần trăm có thể ứng số người khác nhau và không tự có cùng độ ổn định khi suy rộng.

Cách tự kiểm

Cột số đếm chịu ảnh hưởng cỡ mẫu.

Ví dụ 6. Thống nhất định dạng trục

Nâng cao

Đề bài

Biểu đồ cột tương đối có trục dọc ghi $0$ đến $1$ nhưng nhãn nói %. Cần sửa gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

Có thể định dạng trục thành $0\%$ đến $100\%$, hoặc đổi nhãn thành Tần số tương đối (dạng thập phân). Không để số $0,4$ bị đọc là $0,4\%$.

Cách tự kiểm

Thống nhất đơn vị thập phân và phần trăm.

Ví dụ 7. Nhãn nhập tay có thể lỗi thời

Nâng cao

Đề bài

Một nhãn phần trăm được nhập tay trên hình sau khi nguồn đổi. Có rủi ro gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhãn có thể không cập nhật dù cột/quạt đã đổi. Nên lấy nhãn từ nguồn hoặc kiểm lại từng nhãn sau cập nhật; hình và chữ phải cùng dữ liệu.

Cách tự kiểm

Chữ nhập tay có thể không liên kết nguồn.

Ví dụ 8. Không trộn số đếm và phần trăm

Thử thách

Đề bài

Biểu đồ chọn cả cột số đếm lẫn cột tỉ lệ làm hai dãy cùng một trục %. Vì sao khó hiểu?

Lời giải và cách suy nghĩ

Số đếm và tỉ lệ không được đặt như cùng đại lượng trên một trục %. Chọn riêng dãy tỉ lệ cho hình này; trình bày số đếm bằng bảng hoặc hình có trục riêng rõ ràng.

Cách tự kiểm

Hai dãy có đơn vị khác nhau.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
  • Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
  • Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Bảng có các nhãn A, B, C với tần số tương ứng $4,6,10$ trên tổng $20$. Chọn dãy số nào để tạo biểu đồ cột tần số tương đối?

    Gợi ý bài 1

    Dãy chiều cao phải là tỉ lệ $20\%,30\%,50\%$.

  2. Nếu có bảng tính, tạo biểu đồ cột từ các nhãn A, B, C và tỉ lệ $20\%,30\%,50\%$; bật nhãn trục dọc phần trăm. Tạo thêm quạt tròn rồi đối chiếu. Nếu chưa có máy, thiết kế hai hình trên giấy và ghi rõ.

    Gợi ý bài 2

    Đối chiếu cả cột và góc quạt theo cùng nguồn.

  3. Nếu có máy, thay dãy tỉ lệ thành $25\%,25\%,50\%$ và quan sát hai hình cập nhật. Nêu dự đoán về hai quạt đầu và kiểm dữ liệu nguồn sau khi sửa.

    Gợi ý bài 3

    Hai nhóm đầu mới cùng $25\%$; kiểm nguồn thay vì chỉ sửa nhãn.

  4. Một biểu đồ quạt tròn tự chuẩn hóa các giá trị $60,50$ thành $100\%$ nên vẫn vẽ được hình tròn. Vì sao việc phần mềm vẽ được không chứng minh hai số là tỉ lệ đúng?

    Gợi ý bài 4

    Phần mềm có thể chuẩn hóa hai trọng số, không xác nhận chúng là phần trăm đúng.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4
  1. Chọn $20\%,30\%,50\%$ làm chiều cao với các nhãn A, B, C. Dãy $4,6,10$ là tần số, không phải tần số tương đối.

  2. Cột cao lần lượt $20\%,30\%,50\%$; quạt có góc $72^\circ,108^\circ,180^\circ$. Hai hình phải giữ đúng nhãn và tỉ lệ; lưu tệp hoặc ảnh khi đã thao tác.

  3. Hai quạt đầu bằng nhau, mỗi góc $90^\circ$, quạt cuối có góc $180^\circ$. Các cột đầu bằng nhau, cùng cao $25\%$. Nếu sửa trực tiếp tỉ lệ mà không sửa tần số gốc thì bảng có thể mâu thuẫn; nên thay nguồn hợp lệ và để công thức cập nhật.

  4. Phần mềm có thể coi $60,50$ là hai trọng số và chia theo tổng $110$. Nếu chúng được tuyên bố là $60\%$ và $50\%$ của cùng tổng thì dữ liệu vẫn sai hoặc nhóm chồng lấn. Cần kiểm ý nghĩa và tổng trước khi vẽ.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Nguồn có tỉ lệ $15\%,35\%,50\%$. Tính góc quạt.

    Gợi ý bài 5

    Mỗi phần trăm tương ứng $3,6^\circ$.

  2. Cột ghi $12,5\%$ trên mẫu $80$. Ghi số đếm kèm nhãn hình.

    Gợi ý bài 6

    $12,5\%=1/8$.

  3. Hai cột cùng $40\%$, tổng $25$ và $60$. Tạo bảng nguồn số đếm để kiểm.

    Gợi ý bài 7

    Nhân từng tổng với $0,4$.

  4. Hình quạt của dữ liệu có nhiều lựa chọn trông vẫn đẹp. Trước khi dùng cần kiểm điều kiện nào?

    Gợi ý bài 8

    Các phần của cùng tổng phải không chồng lấn và bao hết.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8
  1. Góc $54^\circ,126^\circ,180^\circ$.

  2. Có $10$ quan sát; nhãn có thể ghi $12,5\%$ ($10/80$) nếu muốn làm rõ cả tỉ lệ và quy mô.

  3. Số đếm $10$ và $24$. Hai cột tương đối bằng nhau nhưng bảng số đếm khác.

  4. Nếu một người được chọn nhiều nhóm, không trực tiếp dùng các tỉ lệ trên số người làm các quạt của một cơ cấu. Có thể dùng cột lựa chọn và ghi rõ mẫu số.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Nguồn ban đầu $10,15,25$. Thêm $10$ vào nhóm đầu. Dự đoán hai loại hình để kiểm cập nhật.

    Gợi ý bài 9

    Tổng mới $60$, số đếm $20,15,25$.

  2. Hình có ba quạt góc $60^\circ,120^\circ,180^\circ$. Bảng tần số nguồn tổng $50$ có thể chính xác không?

    Gợi ý bài 10

    Tỉ lệ nhóm đầu $1/6$ đòi tần số $50/6$.

  3. Bảng nguồn $1,1,1$ nhưng biểu đồ quạt ghi ba nhãn $33\%$. Có cần sửa nguồn để tổng nhãn thành $100\%$ không?

    Gợi ý bài 11

    Nguồn số đếm có thể đúng trong khi nhãn làm tròn.

  4. Biểu đồ cột của lớp I và II dùng các nhóm khác nhau nhưng cùng chữ “nhóm 1,2,3”. Có thể so trực tiếp không?

    Gợi ý bài 12

    Đọc đầu mút và đơn vị thật của từng nhóm.

  5. Hai lớp có tỉ lệ A $25\%$ và $50\%$, cỡ mẫu $40$ và $60$. Tính tỉ lệ gộp và góc quạt A.

    Gợi ý bài 13

    Cộng số A $10+30$ trên tổng $100$.

  6. Hình gộp có quạt A $144^\circ$. Hai mẫu gốc có tỉ lệ A $25\%$ và $50\%$, tổng $100$. Tìm cỡ mẫu để kiểm nguồn.

    Gợi ý bài 14

    $144/360=40\%$; đặt mẫu đầu $x$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14
  1. Cột tương đối $1/3,1/4,5/12$; góc quạt $120^\circ,90^\circ,150^\circ$. Mọi nhóm đều cần tính lại tỉ lệ.

  2. Không với góc chính xác, vì số đếm không nguyên. Nếu hình chỉ gần đúng, cần đọc nhãn và quy tắc làm tròn trước khi kết luận lỗi.

  3. Không sửa nguồn. Góc chính xác đều $120^\circ$; ghi chú nhãn làm tròn. Tăng một số đếm để sửa tổng nhãn sẽ làm sai dữ liệu thật.

  4. Không chỉ từ tên thứ tự. Cần thống nhất ranh giới bằng dữ liệu nguồn, rồi mới so tần số tương đối trên cùng thang.

  5. Tỉ lệ gộp $40\%$, góc $144^\circ$. Không lấy trung bình $37,5\%$ vì hai mẫu khác cỡ.

  6. $0,25x+0,5(100-x)=40$ cho $x=40$, mẫu sau $60$. Số A tương ứng $10,30$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Ba tỉ lệ nguồn là $a,2a,1-3a$; quạt cuối $144^\circ$. Tìm cơ cấu và mẫu nhỏ nhất.

    Gợi ý bài 15

    Quạt cuối chiếm $40\%$; giải $1-3a=0,4$.

  2. Một biểu đồ đã lưu và bảng nguồn hiện tại khác nhau sau chỉnh sửa. Nêu quy trình kiểm để không công bố nhầm phiên bản.

    Gợi ý bài 16

    Gắn hình với đúng vùng nguồn và thời điểm lưu.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16
  1. $a=0,2$, cơ cấu $20\%,40\%,40\%$. Mẫu nhỏ nhất $5$ cho số đếm $1,2,2$.

  2. Mở đúng bảng, kiểm phạm vi nguồn và công thức, đối chiếu từng nhãn/tỉ lệ cùng tổng mẫu, tạo hoặc cập nhật lại hình, lưu cả bảng và hình nhất quán. Không thay chữ chú thích để che khác biệt chưa xác minh.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.