Giải thích cạnh góc vuông qua cạnh huyền và sin

Cạnh đối $20\sin30^\circ=10$ cm.

Cạnh đối $12\cdot\sqrt2/2=6\sqrt2$ cm.

Nhân với $c$ thu $c\sin\alpha=a$. Trong công thức, $a$ là đối góc nhọn $\alpha$, $c$ là huyền; không được đổi vai hai cạnh.

$c=7/\sin30^\circ=14$ cm, lớn hơn cạnh 7 cm.

Đối bằng $11\sqrt3$ cm; cạnh kề 11 cmnếu kiểm bằng Pythagore.

Cạnh kề cũng 9 cm; huyền $9\sqrt2$ cm. Công thức đảo cho $9/(\sqrt2/2)=9\sqrt2$.

Đối 15 cm; kề $\sqrt{25^2-15^2}=20$ cm. Tỉ số $\frac{15}{25}$ đúng $\frac{3}{5}$.

Công thức sai cho $a>c$, trái cạnh đối nhỏ hơn huyền. Đúng là $a=c\sin\alpha$; công thức chia dùng khi tìm huyền từ đối.

Đặt huyền $c>0$, có $c+c/2=27$ nên $c=18$ cm, đối 9 cm. Cạnh kề $9\sqrt3$ cm làm cấu hình hợp lệ.

Đối $a=cs>0$, kề $b=c\sqrt{1-s^2}>0$. Có $a^2+b^2=c^2$, nên tạo được tam giác vuông không suy biến. Nếu $s=0$ hoặc 1 thì một cạnh bằng 0 nên bị loại.

Hiệu cạnh đối bằng $8/2=4$ cm. Không cần biết từng kích thước, vì công thức tuyến tính theo huyền khi giữ góc.

$AC=BC\sin B$ theo định nghĩa; $\sin B=\cos C$, nên biểu thức thứ hai bằng biểu thức thứ nhất. Hai công thức dùng hai góc khác nhau nhưng tìm cùng cạnh.

Cần $3a<c$ vì $a>0$. Khi đó cạnh còn lại $\sqrt{c^2-9a^2}>0$. Nếu $3a=c$ thì suy biến; nếu lớn hơn thì không có cạnh còn lại thực dương.

$a^2\sqrt3/2=2\sqrt3$ cho $a^2=4$, nên $a=2$ cm; không nhận $a=-2$. Huyền 4 cm và kề $2\sqrt3$ cm kiểm được diện tích.

Gọi cạnh kề $b>0$ và huyền $c>b$ là các số nguyên. Pythagore cho $(c-b)(c+b)=36$. Hai thừa số dương cùng tính chẵn lẻ; cặp $(2,18)$ cho $c=10,b=8$, còn $(6,6)$ cho $b=0$ bị loại. Các cặp ước dương còn lại của $36$ khác tính chẵn lẻ nên không cho hai số nguyên. Vậy chỉ có bộ đối–kề–huyền $6;8;10$, và $\sin B=3/5$.

Công thức $\sin30^\circ$ cho $c=2a$, nên $c-a=a$. Điều kiện đòi $a=a\sqrt3$, tức $\sqrt3=1$ vì $a>0$, vô lí. Không có tam giác phù hợp, không phải chỉ một số đo cụ thể bị sai.