Giải thích dấu hiệu tiếp tuyến vuông góc bán kính

Khoảng cách bằng $OA=R$, nên $t$ tiếp xúc tại $A$.

Không. $A$ không thuộc đường tròn, khoảng cách $OA<R$, nên $t$ là cát tuyến.

Góc bằng $90^\circ$.

$OA\perp TA$ tại điểm $A$ thuộc đường tròn, nên $TA$ là tiếp tuyến tại $A$.

$OT=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm; $AT$ cũng được xác nhận là tiếp tuyến.

Không. $OH=5>4$, $H$ ngoài; $t$ không giao đường tròn.

Không, vì $89^\circ\ne90^\circ$. Thực ra chân vuông góc khác $A$ nên khoảng cách nhỏ hơn $R$, $t$ cắt ở hai điểm.

Không, chúng trùng nhau và cùng là tiếp tuyến tại $A$.

Không. Dấu hiệu đòi $t$ đi qua $A$ và vuông góc $OA$ tại $A$. Ở đây chân là $H\ne A$, nên dữ kiện không cho tiếp tuyến tại $A$.

Không. Dấu hiệu cần góc $OAT=90^\circ$, trong khi tam giác đang vuông ở $T$ nên góc tại $A<90^\circ$. Vì vậy $AT$ không tiếp xúc tại $A$.

Pythagore cho $OA^2=OH^2+HA^2$ với $HA>0$, nên $OH<R$. Đường $t$ vì thế cắt đường tròn hai điểm; một điểm là $A$, điểm còn lại phân biệt. Đây là chứng minh tính chất vuông góc của tiếp tuyến.

$0<m<R$: hai điểm chung. $m=R$: tiếp xúc tại $A$. $m>R$: không giao. Bản thân vuông góc không xác định vị trí nếu chưa so độ dài.

$OT^2=OA^2+AT^2>OA^2$, nên $OT>OA$. Vì vậy mọi điểm khác tiếp điểm trên tiếp tuyến đều ngoài đường tròn.

Không. Nếu $P\ne A$ trên tiếp tuyến thì $OP^2=OA^2+AP^2>R^2$, trái $OP<R$. Điểm trong cũng không thể là tiếp điểm. Vì vậy không có tiếp tuyến qua $P$.

Nếu thẳng hàng, một trong $OP=OA+AP$, $OA=OP+AP$, $AP=OA+OP$; với các độ dài dương, không thể có đẳng thức bình phương đã cho. Do đó là tam giác không suy biến. Pythagore đảo cho góc tại $A$ vuông, rồi $A\in(O)$ cho tiếp tuyến tại $A$.

$OA$ và $OB$ cùng phương nên $O,A,B$ thẳng hàng. Vì $OA=OB=R$ và $A\ne B$, hai điểm ở hai phía $O$. Vì vậy $AB$ là đường kính; không thể cùng một tia vì khi ấy hai điểm trùng.