Giải thích hai cạnh góc vuông liên hệ qua côtang
Hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-24-B4
Côtang liên hệ cạnh kề với cạnh đối. Cùng một hình có thể giải bằng tang hoặc côtang; so sánh hai cách giúp em tránh chọn sai cạnh ở vế phải.
Sau bài này, em có thể:
- Suy ra hệ thức kề bằng đối nhân côtang.
- Giải bài suy ngược có điều kiện và so sánh với hệ thức tang.
Cần biết trước: Mô-đun 21–23; hệ thức được suy ra trực tiếp từ định nghĩa tỉ số.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với góc nhọn $\alpha$, đối $a>0$, kề $b>0$, từ $\cot\alpha=b/a$ suy ra
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=AC\cot B$. Công thức sử dụng hai cạnh góc vuông, không dùng huyền. Vì $\cot\alpha=1/\tan\alpha$, hai cách tính bằng côtang và tang phải cho cùng kết quả.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Dùng $\cot30^\circ$
Cơ bản
Đề bài
Cạnh đối $30^\circ$ dài 8 cm. Tìm cạnh kề.
Lời giải và cách suy nghĩ
Cạnh kề $b=8\cot30^\circ=8\sqrt3$ cm.
Cách tự kiểm
Cạnh kề $30^\circ$ phải lớn hơn đối $30^\circ$.
Ví dụ 2. Dùng $\cot60^\circ$
Cơ bản
Đề bài
Cạnh đối $60^\circ$ dài $9\sqrt3$ cm. Tìm kề và huyền.
Lời giải và cách suy nghĩ
Kề $9\sqrt3\cdot\sqrt3/3=9$ cm; huyền 18 cm theo Pythagore.
Cách tự kiểm
Cạnh đối $60^\circ$ dài hơn kề, tỉ lệ đúng $\sqrt3$.
Ví dụ 3. Giải ngược với côtang
Vận dụng
Đề bài
Kề $30^\circ$ dài 15 cm. Tìm đối bằng công thức côtang.
Lời giải và cách suy nghĩ
$a=15/\cot30^\circ=15/\sqrt3=5\sqrt3$ cm. Phải chia vì đang tìm cạnh đối từ kề.
Cách tự kiểm
Nhân $5\sqrt3$ với $\sqrt3$ thu 15.
Ví dụ 4. Hai cách cùng một kết quả
Vận dụng
Đề bài
Đối $B$ dài 14 cm và $\tan B=7/24$. Tính kề bằng tang và côtang.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tang cho $b=14/(7/24)=48$ cm. Côtang $B=24/7$ nên $b=14\cdot24/7=48$ cm.
Cách tự kiểm
Hai cách là cùng một phép biến đổi, không phải hai giả thiết độc lập.
Ví dụ 5. Hiệu hai cạnh
Nâng cao
Đề bài
Tam giác vuông có $\cot B=5/3$ và kề hơn đối 6 cm. Tìm cạnh.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt kề $5k$, đối $3k$ với $k>0$. Hiệu $2k=6$ cho $k=3$, nên kề 15, đối 9 cm.
Cách tự kiểm
$15/9=5/3$, hai độ dài dương.
Ví dụ 6. Diện tích cho một ẩn
Nâng cao
Đề bài
Tam giác vuông có $\cot B=4$ và diện tích 32 $\mathrm{cm}^{2}$. Tìm hai cạnh.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt đối $t>0$, kề $4t$. Diện tích $2t^2=32$ cho $t=4$. Đối 4, kề 16 cm.
Cách tự kiểm
Loại $t=-4$; công thức diện tích dùng hai cạnh vuông góc.
Ví dụ 7. Kiểm nhầm cạnh ở công thức
Nâng cao
Đề bài
Bạn viết $AB=AB\cot B$ trong $ABC$ vuông tại $A$ rồi cho đây là công thức chung. Khi nào đẳng thức đó đúng?
Lời giải và cách suy nghĩ
Vì $AB>0$, chia cho $AB$ được $\cot B=1$, nên $B=45^\circ$. Đây chỉ đúng ở tam giác vuông cân. Công thức chung phải là $AB=AC\cot B$.
Cách tự kiểm
Một công thức sai tổng quát có thể tình cờ đúng trong một trường hợp đặc biệt.
Ví dụ 8. Giải từ một quan hệ tuyến tính
Thử thách
Đề bài
$ABC$ vuông tại $A$, $\cot B=3/2$ và $AB+2AC=28$ cm. Tìm hai cạnh.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt $AC=2k$, $AB=3k$, $k>0$. Quan hệ $3k+4k=28$ cho $k=4$. Vậy $AC=8$, $AB=12$ cm.
Cách tự kiểm
Thay lại $12+2\cdot8=28$ và $12/8=3/2$.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đặt nhầm cùng một cạnh ở hai vế công thức.
- Dùng côtang để nhân cạnh kề khi cần đối.
- Chọn ẩn mà tỉ số kề/đối không đúng dữ kiện.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Cạnh đối $30^\circ$ dài 5 cm. Tính cạnh kề bằng côtang.
Gợi ý bài 1
Cạnh kề bằng cạnh đối nhân côtang của góc đang xét.
-
Cạnh đối $60^\circ$ dài 12 cm. Tính kề.
Gợi ý bài 2
$\cot60^\circ$ bằng $\sqrt3/3$.
-
$ABC$ vuông tại $A$. Giải thích $AB=AC\cot B$.
Gợi ý bài 3
Bắt đầu từ định nghĩa kề/đối.
-
Bạn viết kề=$b\cot\alpha$, trong đó $b$ là chính cạnh kề. Sửa bằng cách chọn đúng cạnh bên phải.
Gợi ý bài 4
Hai cạnh ở hai vai trò khác nhau.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$b=5\cot30^\circ=5\sqrt3$ cm.
-
Kề $12\sqrt3/3=4\sqrt3$ cm.
-
$\cot B=AB/AC$ với $AC>0$. Nhân hai vế với $AC$ thu $AB=AC\cot B$.
-
Phải là kề=đối×côtang của góc đang xét. Nếu gọi đối $a$, kề $b$, công thức $b=a\cot\alpha$, không phải $b=b\cot\alpha$.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Đối $60^\circ$ dài $6\sqrt3$ cm. Tìm kề.
Gợi ý bài 5
Nhân $\sqrt3/3$.
-
Kề $45^\circ$ dài 13 cm. Tính đối bằng côtang.
Gợi ý bài 6
$\cot45^\circ$ bằng 1.
-
Đối $B$ dài 15 cm và $\cot B=8/15$. Tính kề và huyền.
Gợi ý bài 7
Cạnh kề bằng cạnh đối nhân côtang của góc đang xét.
-
Cho $\cot\alpha=3$ và cạnh kề 18 cm. Tìm đối.
Gợi ý bài 8
Giải công thức theo cạnh đối.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Kề 6 cm; huyền 12 cmnếu kiểm thêm.
-
Đối $13/1=13$ cm; tam giác vuông cân.
-
Kề 8 cm; huyền 17 cm theo Pythagore. Kiểm $\frac{8}{15}$ đúng dữ kiện.
-
Đối $18/3=6$ cm. Không nhân 18 với 3 vì 18 đã là kề.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
$ABC$ vuông tại $A$, $\cot B=7/24$, huyền 50 cm. Tìm hai cạnh góc vuông.
Gợi ý bài 9
Đặt $AB=7k$, $AC=24k$.
-
Một tam giác vuông có góc $30^\circ$ và hiệu huyền với cạnh đối $30^\circ$ là 6 cm. Tìm kề bằng côtang.
Gợi ý bài 10
Huyền bằng hai lần cạnh đối $30^\circ$.
-
Nếu đối và kề góc $B$ lần lượt $x-1$ và $2x+1$, còn $\cot B=3$, tìm $x$.
Gợi ý bài 11
Điều kiện $x>1$ rồi lập thương.
-
Chứng minh $AC=AB\cot C$ trong $ABC$ vuông tại $A$, rồi so với $AC=AB\tan B$.
Gợi ý bài 12
Góc $C$ có kề $AC$, đối $AB$.
-
Nếu giữ đối $a>0$ và tăng côtang từ $u$ lên $u+v$ với $u,v>0$, kề đổi bao nhiêu?
Gợi ý bài 13
Viết kề cũ và kề mới.
-
Một tam giác vuông có $\cot B=2$; bạn ghi cạnh đối và kề lần lượt $2x,x$. Kiểm và sửa mô hình ẩn.
Gợi ý bài 14
Tỉ số kề/đối của mô hình ấy là bao nhiêu?
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Đặt $AB=7k$, $AC=24k$ với $k>0$. Theo Pythagore, huyền $BC=25k=50$ nên $k=2$. Vậy $AB=14$, $AC=48$ cm; tỉ số $14/48=7/24$ đúng dữ kiện.
-
Đặt đối $a>0$, huyền $2a$. Hiệu $a=6$, nên đối 6 cm. Kề $6\cot30^\circ=6\sqrt3$ cm.
-
$(2x+1)/(x-1)=3$ cho $x=4$. Đối 3, kề 9 dương; côtang $9/3=3$. Không bỏ bước kiểm $x>1$.
-
Định nghĩa cho $\cot C=AC/AB$, nhân $AB>0$ thu công thức. Hai cách trùng nhau vì $B,C$ phụ nhau, $\cot C=\tan B$.
-
Kề cũ $au$, mới $a(u+v)$, hiệu $av>0$. Mỗi cặp cạnh dương tạo được tam giác vuông nên phép so hợp lệ; góc đang xét thay đổi theo côtang.
-
Mô hình cho côtang $x/(2x)=1/2$, trái 2. Phải đặt đối $x>0$, kề $2x$ hoặc một cặp tỉ lệ tương đương.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Hai tam giác vuông có cùng cạnh đối $a>0$, nhưng côtang của góc đã chọn là $u$ và $1/u$ với $u>0$. Khi nào hai diện tích bằng nhau?
Gợi ý bài 15
Diện tích bằng nửa tích cạnh đối và cạnh kề.
-
Tìm mọi số nguyên dương $u$ để một tam giác vuông có $\cot B=u$, cạnh đối 3 cm và cạnh huyền nguyên.
Gợi ý bài 16
Huyền $c=3\sqrt{u^2+1}$; dùng hiệu hai bình phương nguyên.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Hai diện tích là $a^2u/2$ và $a^2/(2u)$. Chúng bằng nhau khi $u=1/u$, tức $u=1$ vì dương. Khi ấy cả hai tam giác vuông cân; nếu $u\ne1$ thì diện tích khác nhau.
-
Nếu huyền $c$ nguyên, từ $c^2=9(u^2+1)$ suy ra $c$ chia hết $3$, đặt $c=3v$ với $v$ nguyên dương. Khi đó $v^2-u^2=1$, tức $(v-u)(v+u)=1$. Hai thừa số nguyên dương chỉ cùng bằng $1$, cho $u=0$, trái $u>0$. Vì vậy không có số nguyên dương $u$ thỏa. Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng $3$ cm cũng có huyền $3\sqrt2$ cm, không nguyên.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.