Đến nội dung chính

Giải thích hai đoạn tiếp tuyến từ một điểm bằng nhau

THCSLớp 9Hình học phẳngMở mô-đun

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-29-B1

Hai tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm ngoài tạo thành hai tam giác vuông có chung cạnh huyền và hai bán kính bằng nhau. Đó là cơ sở chứng minh hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau, không cần giả sử kết luận trước.

Sau bài này, em có thể:

  • Chứng minh $PA=PB$ bằng cạnh huyền–cạnh góc vuông.
  • Giải suy ngược, kiểm độ dài và nhận ra lập luận vòng quanh.

Cần biết trước: Mô-đun 28; tam giác vuông bằng nhau, không viện dẫn tính chất tiếp tuyến để chứng minh chính nó.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Cho $P$ ngoài đường tròn $(O;R)$, $R>0$, hai tiếp tuyến phân biệt $PA,PB$ có tiếp điểm $A,B$. Khi ấy $OA\perp PA$, $OB\perp PB$. Hai tam giác vuông $OAP,OBP$ có cạnh huyền $OP$ chung và $OA=OB=R$, nên bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông. Do đó

$$PA=PB=\sqrt{OP^2-R^2}.$$

Giả thiết cùng điểm xuất phát, cùng đường tròn và cả hai đường đều là tiếp tuyến là cần thiết cho phép áp dụng này.

Hai tiếp tuyến PA,PB từ điểm ngoài P đến đường tròn tại A,B; hai bán kính vuông góc tiếp tuyến.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chứng minh không vòng quanh

Cơ bản

Đề bài

Từ $P$ ngoài $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $PA,PB$. Chứng minh $PA=PB$ mà không dùng ngay tính chất hai tiếp tuyến.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bán kính vuông góc tiếp tuyến nên hai tam giác $OAP,OBP$ vuông tại $A,B$. Chúng có $OP$ chung, $OA=OB$; bởi cạnh huyền–cạnh góc vuông, hai tam giác bằng nhau. Suy ra $PA=PB$.

Cách tự kiểm

Không dùng $PA=PB$ làm cạnh đã biết để chứng minh chính kết luận ấy.

Ví dụ 2. Độ dài thập phân

Cơ bản

Đề bài

Hai tiếp tuyến từ $P$ có $PA=8{,}4$ cm. Tính $PB$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vì cùng từ $P$ đến một đường tròn, $PB=PA=8{,}4$ cm.

Cách tự kiểm

Hai tiếp điểm phải được xác nhận; độ dài bằng nhau riêng lẻ không chứng minh tiếp xúc.

Ví dụ 3. Từ khoảng cách đến tâm

Vận dụng

Đề bài

Cho $OP=17$ cm, $R=8$ cm. Tính hai đoạn tiếp tuyến từ $P$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trong tam giác vuông $OAP$, $PA=\sqrt{17^2-8^2}=15$ cm. Tương tự hoặc dùng tính chất hai tiếp tuyến, $PB=15$ cm.

Cách tự kiểm

$17>8$ nên $P$ ở ngoài và các độ dài dương.

Ví dụ 4. Suy ngược khoảng cách đến tâm

Vận dụng

Đề bài

Hai đoạn tiếp tuyến từ $P$ dài $24$ cm, bán kính $7$ cm. Tính $OP$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$OP^2=OA^2+AP^2=7^2+24^2=625$, nên $OP=25$ cm.

Cách tự kiểm

Không dùng hiệu bình phương vì $OP$ là cạnh huyền.

Ví dụ 5. Chỉ một tiếp tuyến chưa đủ

Nâng cao

Đề bài

Cho $PA$ tiếp xúc $(O)$ tại $A$; $B$ là điểm khác bất kỳ trên đường tròn. Có chắc $PA=PB$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Lấy $B$ là giao điểm của tia $OP$ với đường tròn gần $P$. Khi ấy $PB=OP-R$, trong khi $PA=\sqrt{OP^2-R^2}>OP-R$, vì $OP>R>0$.

Cách tự kiểm

Điểm $B$ thuộc đường tròn chưa làm $PB$ thành tiếp tuyến.

Ví dụ 6. Tìm tham số rồi kiểm

Nâng cao

Đề bài

Hai tiếp tuyến từ $P$ có $PA=4x-3$, $PB=2x+7$ cùng đơn vị. Tìm $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đẳng thức cho $4x-3=2x+7$, nên $x=5$. Hai độ dài cùng $17>0$, phù hợp.

Cách tự kiểm

Nghiệm phương trình phải tạo độ dài dương.

Ví dụ 7. Dữ kiện đại số vô lý

Nâng cao

Đề bài

Hai đoạn được gọi là tiếp tuyến có $PA=x-4$, $PB=2x-1$ cùng đơn vị. Có cấu hình với $P$ ngoài đường tròn không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $x-4=2x-1$, nên $x=-3$. Khi đó cả hai độ dài bằng $-7$, không thể. Vì không còn ứng viên khác, dữ kiện không có cấu hình hình học.

Cách tự kiểm

Không báo một độ dài âm như kết quả hợp lệ.

Ví dụ 8. Độ dài tăng khi ra xa

Thử thách

Đề bài

Cùng bán kính $R>0$, hai điểm ngoài có khoảng cách tâm $p_1<p_2$. So sánh độ dài đoạn tiếp tuyến.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gọi độ dài là $a_1,a_2>0$. Có $a_2^2-a_1^2=(p_2^2-R^2)-(p_1^2-R^2)>0$, nên $a_2>a_1$.

Cách tự kiểm

So cùng đường tròn; không cần đạo hàm để kết luận đơn điệu.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Chứng minh vòng quanh bằng cách giả sử hai đoạn bằng nhau.
  • Dùng tính chất khi mới xác nhận một đường là tiếp tuyến.
  • Bỏ điều kiện độ dài dương sau khi giải tham số.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Từ $P$ kẻ hai tiếp tuyến $PA,PB$ đến $(O)$. Chứng minh $PA=PB$, nêu hai cạnh dùng cho tam giác vuông bằng nhau.

    Gợi ý bài 1

    Dùng cạnh huyền chung và bán kính.

  2. $PA,PB$ là tiếp tuyến từ $P$, $PA=7{,}5$ cm. Tính $PB$.

    Gợi ý bài 2

    Hai đoạn tiếp tuyến cùng điểm xuất phát bằng nhau.

  3. Một bạn dùng $PA=PB$ để chứng minh $OAP,OBP$ bằng nhau rồi suy $PA=PB$. Vì sao chưa hợp lệ?

    Gợi ý bài 3

    Kết luận có đang được coi là giả thiết không?

  4. $OP=13$ cm, $OA=5$ cm; $PA$ là tiếp tuyến tại $A$, $PB$ là tiếp tuyến còn lại từ $P$. Tính hai đoạn.

    Gợi ý bài 4

    Tam giác $OAP$ vuông tại $A$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $OA\perp PA$, $OB\perp PB$; $OP$ chung, $OA=OB$. Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, nên $PA=PB$.

  2. $PB=7{,}5$ cm.

  3. Lập luận vòng quanh vì dùng chính điều cần chứng minh. Phải dùng $OP$ chung, $OA=OB$ và hai góc vuông, không dùng $PA=PB$ trước.

  4. $PA=\sqrt{13^2-5^2}=12$ cm, rồi $PB=PA=12$ cm.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Hai tiếp tuyến từ $P$ có tổng độ dài $18$ cm. Tính mỗi đoạn.

    Gợi ý bài 5

    Hai đoạn bằng nhau.

  2. Cho $R=12$ cm, $OP=20$ cm. Tính hai đoạn tiếp tuyến.

    Gợi ý bài 6

    Lấy căn hiệu hai bình phương.

  3. Đoạn tiếp tuyến dài $8$ cm, $OP=10$ cm. Tìm bán kính.

    Gợi ý bài 7

    $R^2=OP^2-PA^2$.

  4. Hai tiếp tuyến từ $P$ có $PA=5x+1$, $PB=3x+9$ cùng đơn vị. Tìm $x$ và độ dài.

    Gợi ý bài 8

    Giải phương trình rồi kiểm dương.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Mỗi đoạn $18/2=9$ cm.

  2. Mỗi đoạn $\sqrt{400-144}=16$ cm.

  3. $R=\sqrt{100-64}=6$ cm, dương và nhỏ hơn $OP$.

  4. $2x=8$ nên $x=4$, hai đoạn đều $21>0$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. $PA,PB$ là tiếp tuyến từ cùng $P$. Nếu $PA^2=49$, có nhận $PA=-7$ không?

    Gợi ý bài 9

    Độ dài đoạn thẳng không âm và $P$ ngoài.

  2. Hai điểm $P,Q$ ngoài cùng đường tròn có các đoạn tiếp tuyến bằng nhau. Chứng minh $OP=OQ$.

    Gợi ý bài 10

    Thêm cùng $R^2$ vào bình phương độ dài tiếp tuyến.

  3. Cho $OP=R$ với $R>0$. Công thức căn cho $PA=0$. Có phải có hai tiếp tuyến phân biệt từ $P$ không?

    Gợi ý bài 11

    $P$ lúc này nằm trên đường tròn.

  4. Hai đoạn được ghi $PA=x-2$, $PB=3x+4$ và đều là tiếp tuyến từ $P$ ngoài. Tìm cấu hình có thể có.

    Gợi ý bài 12

    Bằng nhau là điều kiện cần, rồi kiểm độ dài.

  5. Bán kính tăng từ $R_1$ lên $R_2$ với $0<R_1<R_2<OP$, giữ $O,P$. So sánh độ dài tiếp tuyến.

    Gợi ý bài 13

    So các bình phương $OP^2-R_i^2$.

  6. Từ $P$ kẻ hai tiếp tuyến đến hai đường tròn khác nhau. Có luôn hai đoạn bằng nhau không?

    Gợi ý bài 14

    Bán kính hoặc tâm có thể khác.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Không. $PA>0$, nên $PA=7$, rồi $PB=7$; nghiệm âm của phương trình bình phương không phải độ dài.

  2. Nếu độ dài chung $a$, thì $OP^2=R^2+a^2=OQ^2$. Vì là độ dài dương, $OP=OQ$.

  3. Không. Đây là trường hợp biên, $P$ không ở ngoài; chỉ có một tiếp tuyến tại $P$, không có hai đoạn tiếp tuyến dương đến hai tiếp điểm khác nhau.

  4. $x-2=3x+4$ cho $x=-3$, hai độ dài $-5$, vô lý. Vì vậy không có cấu hình thỏa dữ kiện.

  5. Với vòng lớn, $OP^2-R_2^2<OP^2-R_1^2$, nên đoạn tiếp tuyến ngắn hơn. Điều kiện $R_2<OP$ bảo đảm cả hai đều tồn tại từ điểm ngoài.

  6. Không. Ví dụ hai đường tròn đồng tâm bán kính $3$ và $4$, $OP=5$; độ dài tiếp tuyến lần lượt $4$ và $3$. Tính chất cần cùng đường tròn.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Giữ $R>0$, yêu cầu độ dài đoạn tiếp tuyến từ $P$ bằng $kR$ với $k>0$. Xác định quỹ tích của $P$ và kiểm điều kiện ngoài.

    Gợi ý bài 15

    Giải hệ thức Pythagore theo $OP$.

  2. Biết hai tiếp tuyến từ $P$ có độ dài $a>0$, nhưng chưa biết bán kính. Có xác định duy nhất $OP$ không? Nêu hai bộ dữ kiện.

    Gợi ý bài 16

    Quan hệ $OP^2=R^2+a^2$ có hai đại lượng chưa biết.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. $OP^2=R^2+k^2R^2$, nên $OP=R\sqrt{1+k^2}>R$. Tất cả và chỉ các điểm trên đường tròn đồng tâm bán kính ấy có đoạn tiếp tuyến dài $kR$; điều kiện ngoài tự thỏa vì $k>0$.

  2. Không. Với $a=12$ cm, chọn $R=5$ cm thì $OP=13$ cm; chọn $R=9$ cm thì $OP=15$ cm. Cả hai có $OP>R$ và cùng độ dài tiếp tuyến $12$ cm. Biết một độ dài tiếp tuyến không đủ tìm khoảng cách tâm khi bán kính chưa biết.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án

Bài tiếp: Giải thích đường nối tâm và giao điểm phân giác góc

Chọn bài trong mô-đun · Mục lục Toán lớp 9 · Hướng dẫn tự học THCS