Giải thích tỉ số lượng giác không phụ thuộc kích thước tam giác

Bộ sau gấp $3$ bộ trước. Cả hai cho sin $3/5$, côsin $4/5$, tang $3/4$, côtang $4/3$.

Hai tam giác đồng dạng theo góc–góc. Đối và huyền của hình sau cùng nhân một hệ số $k>0$, nên thương đối/huyền không đổi: $ka/(kc)=a/c$.

Vẫn bằng $7/24$, vì $2{,}5a/(2{,}5b)=a/b$. Không nhân tang với $2{,}5$.

Không. Xét tam giác vuông có bộ đối–kề–huyền $3;4;5$ và tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông $5/\sqrt2$, huyền $5$. Cùng huyền nhưng sin góc đã chọn lần lượt là $3/5$ và $\sqrt2/2$, không bằng nhau. Huyền bằng nhau không cố định góc.

Bộ mới $12;22{,}5;25{,}5$, sin $12/25{,}5=8/17$. Pythagore giữ đúng do cả hai vế bình phương nhân $9/4$.

Không; tang giữ nguyên. Hệ số $1/4$ chỉ áp dụng lên độ dài, rồi triệt tiêu trong tỉ số.

Góc nhọn còn lại là $90^\circ-B$ và $90^\circ-E$, nên bằng nhau. Ghép góc vuông với góc vuông, $B$ với $E$, góc còn lại với nhau.

Cần cả cạnh huyền và cạnh kề cùng nhân $2$ để có phóng đều. Nếu huyền giữ nguyên mà đối tăng gấp đôi, sin tăng gấp đôi nếu còn cấu hình hợp lệ, nên không tự bất biến.

Cạnh đối bằng sin nhân huyền nên bằng nhau. Cạnh kề có cùng bình phương và dương, nên bằng nhau. Ba cặp cạnh bằng nhau, hai tam giác bằng nhau.

Hệ số dài dương bằng $3/4$, cũng là tỉ số chu vi. Tang tương ứng bằng nhau vì hệ số triệt tiêu; không bằng $9/16$ lần nhau.

Đối cũng gấp $5$ do cùng tỉ số $3/2$. Pythagore cho bình phương huyền gấp $25$, nên huyền dương gấp $5$.

Huyền lần lượt $\sqrt{65}$ và $2\sqrt{65}$. Hai sin $4/\sqrt{65}$ và $8/(2\sqrt{65})$ bằng nhau. Cách khác dùng đồng dạng cạnh–góc–cạnh.

Hai chiều cùng nhân $3/2$, nên tang đối/kề giữ $6/10=9/15=3/5$. Nếu chỉ một chiều được phóng, kết luận không còn đúng.

Không. Hai tam giác có các bộ góc $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ và $30^\circ,70^\circ,80^\circ$ đều có một góc $30^\circ$, nên tang của góc ấy bằng nhau khi xác định qua tam giác vuông phụ; nhưng hai tam giác không đồng dạng vì các góc còn lại khác nhau. Chứng minh ở bài này cần cả hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông tỉ lệ và góc xen giữa cùng $90^\circ$ mới cho tiêu chuẩn cạnh–góc–cạnh.

Cùng sin trong hai tam giác vuông cho đồng dạng theo lập luận Pythagore ở ví dụ 7. Hệ số dài hình thứ nhất đối với thứ hai là $36/60=3/5$, nên tỉ số diện tích bằng $9/25$.

Gọi cạnh đối chung $a>0$, tang chung $t>0$. Hai cạnh kề đều bằng $a/t$, nên bằng nhau; huyền theo Pythagore cũng bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau theo ba cạnh, vì vậy không thể có kích thước khác nhau trong cách ghép ấy.