Khử một ẩn bằng cộng hoặc trừ hai phương trình

Phương pháp cộng và máy tính giải hệ · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-09-B1

Cộng hoặc trừ hai phương trình tạo ra một quan hệ chỉ còn một ẩn. Bài học làm rõ vì sao phải giữ một phương trình gốc, rồi dùng phép khử để xét nghiệm và tham số.

Sau bài này, em có thể:

• Khử một ẩn bằng cộng hoặc trừ.
• Giải thích tính tương đương của thao tác trên hàng.
• Phân loại và suy ngược tham số bằng phương trình sau khử.

Cần biết trước: Mô-đun 08; nhân hai vế phương trình với số khác 0.

1. Kiến thức và phương pháp

Nếu hai hệ số của một ẩn đối nhau, cộng hai phương trình; nếu bằng nhau, trừ hai phương trình. Thay một phương trình bằng tổng hoặc hiệu của nó với phương trình kia, đồng thời giữ phương trình kia, là phép biến đổi tương đương: có thể cộng hoặc trừ ngược để khôi phục hàng đã thay. Chỉ giữ phương trình tổng thường làm mất điều kiện và có thể nhận thêm nghiệm.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cộng để khử

Cơ bản

Đề bài

Giải $x+y=6,\ 2x-y=3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cộng được $3x=9$, nên $x=3$. Giữ $x+y=6$ cho $y=3$. Kiểm $3+3=6$, $6-3=3$; nghiệm duy nhất $(3;3)$.

Cách tự kiểm

Phải tìm lại $y$ từ một hàng gốc.

Ví dụ 2. Trừ các hệ số bằng nhau

Cơ bản

Đề bài

Giải $5x+2y=21,\ 2x+2y=12$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Lấy hàng đầu trừ hàng sau: $3x=9$, nên $x=3$. Thế $6+2y=12$ được $y=3$.

Cách tự kiểm

Cả $x$ lẫn $y$ ở hàng bị trừ đều phải đổi dấu.

Ví dụ 3. Khử ẩn thứ nhất

Cơ bản

Đề bài

Giải $2x-3y=1,\ 2x+y=9$ bằng khử $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Lấy hàng sau trừ hàng đầu: $4y=8$, nên $y=2$. Từ $2x+2=9$, $x=7/2$.

Cách tự kiểm

$7-6=1$ và $7+2=9$.

Ví dụ 4. Vì sao một hàng chưa đủ

Cơ bản

Đề bài

Từ $x+y=4,\ x-y=2$ suy ra $x=3$. Có thể nhận $(3;100)$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Phép cộng chỉ tạo điều kiện cần $2x=6$. Giữ $x+y=4$ buộc $y=1$; $(3;100)$ không thỏa hệ gốc.

Cách tự kiểm

Phân biệt hệ quả với hệ tương đương.

Ví dụ 5. Tổng có ích ngay cả khi không cần cả hai ẩn

Nâng cao

Đề bài

Biết $2x+y=8,\ x+2y=7$. Tính $x+y$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cộng cho $3x+3y=15$, nên $x+y=5$. Không cần giải riêng $x,y$ để trả lời, nhưng nếu cần thì $x=3,y=2$.

Cách tự kiểm

Đại lượng cần tìm có thể là một tổ hợp tuyến tính.

Ví dụ 6. Tham số sau phép trừ

Nâng cao

Đề bài

Xét $x+y=3,\ x-my=1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Lấy hàng đầu trừ hàng sau: $(m+1)y=2$. Nếu $m\ne-1$, $y=2/(m+1)$, $x=3-y$ duy nhất. Nếu $m=-1$, $0=2$, vô nghiệm.

Cách tự kiểm

Không chia cho $m+1$ khi chưa kiểm giá trị $m=-1$.

Ví dụ 7. Tìm vế phải từ yêu cầu về nghiệm

Nâng cao

Đề bài

Tìm $k$ để $3x+y=6,\ 2x-y=k$ có nghiệm $y=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Từ hàng đầu $x=2$, nên hàng sau cần $k=4$. Với $k=4$, cộng cho $5x=10$, rồi $y=0$; điều kiện đủ cũng được kiểm.

Cách tự kiểm

Thử cả hai phương trình với cặp được yêu cầu.

Ví dụ 8. Khôi phục hàng đã thay

Thử thách

Đề bài

Giải thích vì sao hệ $A=B,\ C=D$ tương đương với $A=B,\ C-A=D-B$, trong đó các chữ biểu diễn các vế phương trình.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mỗi nghiệm hệ đầu thỏa phương trình hiệu. Ngược lại, cộng $A=B$ vào $C-A=D-B$ khôi phục $C=D$. Vì giữ được cả hai chiều, thay hàng sau bằng hiệu không làm thay tập nghiệm.

Cách tự kiểm

Không được bỏ cả hai hàng cũ và chỉ giữ hiệu.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Cộng hoặc trừ sai dấu ở hàng bị trừ.
• Chỉ giữ hàng tổng và để ẩn còn lại tùy ý.
• Chia cho hệ số chứa tham số trước khi xét bằng không.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Giải bằng cộng: $x+y=7,\ 2x-y=5$.

   Gợi ý bài 1

   Hai hệ số của $y$ đối nhau.

2. Giải bằng trừ: $3x+2y=12,\ x+2y=8$.

   Gợi ý bài 2

   Lấy hàng đầu trừ hàng sau.

3. Giải $4x-3y=-1,\ 4x+y=11$ bằng khử $x$.

   Gợi ý bài 3

   Lấy hàng sau trừ hàng đầu.

4. Với $x+y=3,\ x-y=1$, một bạn cộng được $x=2$ rồi bỏ cả hai hàng và nói $y$ tùy ý. Sửa kết luận.

   Gợi ý bài 4

   Giữ một phương trình gốc.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Cộng: $3x=12$, nên $x=4$. Giữ $x+y=7$ cho $y=3$. Kiểm $4+3=7$, $8-3=5$.

2. $2x=4$ nên $x=2$. Từ $2+2y=8$, $y=3$. Kiểm $6+6=12$.

3. $4y=12$, $y=3$. Từ $4x+3=11$, $x=2$. Kiểm $8-9=-1$, $8+3=11$.

4. Cộng cho $2x=4$, nhưng $x+y=3$ vẫn buộc $y=1$. Nghiệm duy nhất là $(2;1)$, không phải mọi cặp có $x=2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Giải $x+y=10,\ 3x-y=6$ bằng cộng.

   Gợi ý bài 5

   Cộng để mất $y$.

6. Giải $4x+3y=17,\ x+3y=8$ bằng trừ.

   Gợi ý bài 6

   Trừ hàng sau khỏi hàng đầu.

7. Giải $5x-y=9,\ 5x+2y=18$ bằng khử $x$.

   Gợi ý bài 7

   Lấy hàng sau trừ hàng đầu.

8. Giải $2x+y=1,\ -2x+3y=7$.

   Gợi ý bài 8

   Cộng để mất $x$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $4x=16$ nên $x=4$, $y=6$. Kiểm $4+6=10$, $12-6=6$.

6. $3x=9$, nên $x=3$, $y=5/3$. Kiểm $12+5=17$, $3+5=8$.

7. $3y=9$ nên $y=3$, $x=12/5$. Kiểm $12-3=9$, $12+6=18$.

8. $4y=8$, nên $y=2$, $x=-1/2$. Kiểm $-1+2=1$, $1+6=7$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Biết $4x+y=13,\ x+4y=7$. Tính $x+y$ mà không giải riêng hai ẩn.

   Gợi ý bài 9

   Cộng hai hàng.

10. Bạn trừ $3x-2y=7$ khỏi $3x+y=1$ và viết $-y=-6$. Sửa rồi giải hệ.

    Gợi ý bài 10

    Phải trừ cả hạng tử $-2y$.

11. Xét $x+y=2,\ x+my=5$ theo $m$.

    Gợi ý bài 11

    Lấy hàng sau trừ hàng đầu.

12. Hệ $x+y=4,\ x-y=k$ có nghiệm với $x=0$ khi nào?

    Gợi ý bài 12

    Hàng đầu xác định $y$ khi $x=0$.

13. Xét $2x+y=6,\ -2x-y=k$. Phân loại số nghiệm.

    Gợi ý bài 13

    Cộng hai hàng và giữ hàng đầu.

14. Biết $3x+2y=11,\ 2x+3y=9$. Tính $x-y$ rồi tìm cặp nghiệm.

    Gợi ý bài 14

    Trừ hai hàng, sau đó dùng một hàng gốc.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $5(x+y)=20$ nên $x+y=4$. Việc tính tổ hợp này không đòi hỏi viết từng nghiệm.

10. Hiệu đúng là $3y=-6$, nên $y=-2$. Hàng $3x+y=1$ cho $x=1$. Kiểm $3+4=7$, $3-2=1$.

11. $(m-1)y=3$. Nếu $m\ne1$, nghiệm duy nhất $y=3/(m-1)$, $x=2-y$. Nếu $m=1$, mâu thuẫn $0=3$, hệ vô nghiệm.

12. $y=4$, nên $k=-4$. Ngược lại, cộng hai hàng khi $k=-4$ cho $2x=0$, xác định $(0;4)$.

13. Phương trình tổng là $0=6+k$. Với $k=-6$, mọi cặp $(t;6-2t)$ thỏa, vô số nghiệm. Với $k\ne-6$, hệ vô nghiệm. Không có nghiệm duy nhất.

14. Trừ được $x-y=2$, nên $x=y+2$. Hàng đầu cho $5y+6=11$, $y=1$, $x=3$. Thử $9+2=11$, $6+3=9$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Chứng minh thay một hàng bằng tổng của nó với hàng kia, rồi giữ hàng kia, bảo toàn tập nghiệm. Vì sao chỉ giữ tổng thì chưa đủ?

    Gợi ý bài 15

    Chứng minh cả chiều khôi phục bằng phép trừ.

16. Với $m,n\in\mathbb R$, xét $x+y=2,\ x+my=n$. Phân loại toàn bộ và viết nghiệm khi duy nhất.

    Gợi ý bài 16

    Trừ hàng đầu khỏi hàng sau, rồi xét hệ số $m-1$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Nghiệm cũ thỏa tổng và hàng giữ lại. Ngược lại, lấy tổng trừ hàng giữ lại khôi phục hàng cũ, nên hai hệ tương đương. Chỉ giữ tổng có thể thêm nghiệm: từ $x+y=4,x-y=2$ chỉ còn $x=3$, trong khi $y$ phải bằng $1$.

16. $(m-1)y=n-2$. Nếu $m\ne1$, $y=(n-2)/(m-1)$, $x=2-y$ duy nhất. Nếu $m=1,n=2$, mọi $(2-t;t)$ thỏa. Nếu $m=1,n\ne2$, hệ vô nghiệm. Không có trường hợp nào khác.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.