Kiểm cặp số là nghiệm của phương trình hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ nghiệm · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-07-B2

Một cặp số có thứ tự là nghiệm khi thay đúng vị trí x, y làm đẳng thức đúng. Tìm được một cặp không có nghĩa đã tìm hết nghiệm của phương trình hai ẩn.

Sau bài này, em có thể:

• Kiểm và tìm tọa độ còn thiếu của cặp nghiệm.
• Mô tả toàn bộ nghiệm và suy ngược điều kiện hệ số.

Cần biết trước: Mô-đun 06; tọa độ và đồ thị đường thẳng lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Cặp $(u,v)$ là nghiệm của $ax+by=c$ khi $au+bv=c$. Giữ nguyên thứ tự: số đầu thay cho $x$, số sau cho $y$. Nếu $b\ne0$, có thể viết $y=(c-ax)/b$ với $x$ tùy ý; nếu $b=0$ thì giải điều kiện của $x$ và để $y$ tự do. Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số cặp nghiệm thực, không chỉ vài điểm đã thử.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cặp số thỏa

Cơ bản

Đề bài

Kiểm $(2,-1)$ với $2x-3y=7$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thay được $2\cdot2-3(-1)=4+3=7$, nên cặp đã cho là nghiệm.

Cách tự kiểm

Dùng ngoặc khi thay số âm.

Ví dụ 2. Đổi thứ tự thường làm sai

Cơ bản

Đề bài

Cặp $(-1,2)$ có thỏa cùng phương trình $2x-3y=7$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế trái $-2-6=-8\ne7$, nên không. Nó khác cặp $(2,-1)$ ở thứ tự tọa độ.

Cách tự kiểm

Không chỉ kiểm hai số có xuất hiện mà phải kiểm vị trí.

Ví dụ 3. Tìm một tọa độ

Cơ bản

Đề bài

Tìm $y$ để $(-2,y)$ thỏa $x+2y=4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$-2+2y=4$ cho $y=3$. Cặp $(-2,3)$ thỏa vì $-2+6=4$.

Cách tự kiểm

Đã cố định $x$, chỉ còn một phương trình theo $y$.

Ví dụ 4. Một hệ số bằng không

Cơ bản

Đề bài

Mô tả nghiệm của $0x+3y=6$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $y=2$; $x$ có thể là bất cứ số thực nào. Các cặp $(x,2)$ là toàn bộ nghiệm.

Cách tự kiểm

Không tự chọn $x=0$ làm nghiệm duy nhất.

Ví dụ 5. Tìm hệ số từ một nghiệm

Vận dụng

Đề bài

Tìm $m$ để $(1,2)$ thỏa $mx+y=5$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thay cặp cho $m+2=5$, nên $m=3$. Với giá trị ấy đẳng thức đúng tại cặp đã cho.

Cách tự kiểm

Tham số là số cần tìm, không đổi thứ tự cặp.

Ví dụ 6. Mô tả vô số nghiệm

Vận dụng

Đề bài

Viết mọi nghiệm của $2x+y=3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$y=3-2x$. Với mỗi $t$ thực, cặp $(t,3-2t)$ thỏa, và mọi nghiệm đều có dạng ấy do biến đổi tương đương.

Cách tự kiểm

Thử hai cặp chỉ minh họa, công thức mới mô tả hết.

Ví dụ 7. Một dạng cặp không thể thỏa

Nâng cao

Đề bài

Có cặp $(t,t)$ nào thỏa $x-y=2$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: thay vào cho $t-t=0\ne2$ với mọi $t$. Hai tọa độ bằng nhau không thể có hiệu $2$.

Cách tự kiểm

Không cần tìm từng $t$.

Ví dụ 8. Cặp phụ thuộc một tham số

Nâng cao

Đề bài

Tìm $t$ để $(t,t+1)$ thỏa $2x-y=3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thay được $2t-(t+1)=3$, nên $t=4$. Cặp là $(4,5)$; kiểm $8-5=3$.

Cách tự kiểm

Điều kiện tọa độ có liên hệ làm bài còn một ẩn.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Đổi thứ tự tọa độ khi thay.
• Chỉ kiểm một vài cặp rồi cho là đã tìm hết.
• Chia cho hệ số bằng $0$ hoặc cho tham số chưa xét.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Kiểm $(1,2),(2,1),(0,3)$ có là nghiệm của $x+y=3$ không.

   Gợi ý bài 1

   Tính ba tổng.

2. Kiểm $(3,-1)$ và $(-1,3)$ đối với $2x+y=5$.

   Gợi ý bài 2

   Giữ thứ tự $x,y$.

3. Tìm $y$ để $(4,y)$ là nghiệm của $3x-2y=10$.

   Gợi ý bài 3

   Thay $x=4$.

4. Cho $x$ tùy ý trong $\mathbb R$. Viết $y$ theo $x$ để $(x,y)$ là nghiệm của $x-y=2$, rồi nêu hai cặp khác nhau.

   Gợi ý bài 4

   Chuyển vế để biểu diễn $y$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Cả ba đều là nghiệm vì các tổng lần lượt $3,3,3$.

2. $(3,-1)$ thỏa vì $6-1=5$. $(-1,3)$ không thỏa vì $-2+3=1\ne5$.

3. $12-2y=10$ nên $y=1$. Cặp nghiệm $(4,1)$.

4. $y=x-2$. Ví dụ $(0,-2)$ và $(3,1)$; thay lại đều có hiệu $2$. Phương trình có nhiều hơn một cặp nghiệm.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Kiểm $(1,3)$ với $2x+y=5$.

   Gợi ý bài 5

   Thay số vào vế trái.

6. Kiểm $(3,1)$ với $2x+y=5$.

   Gợi ý bài 6

   Không đổi thứ tự.

7. Tìm $x$ để $(x,2)$ thỏa $3x+y=8$.

   Gợi ý bài 7

   Thay tọa độ đã biết.

8. Nêu hai nghiệm khác nhau của $x+2y=0$.

   Gợi ý bài 8

   Chọn hai giá trị $y$ rồi tính $x$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $2+3=5$, nên là nghiệm.

6. $6+1=7\ne5$, nên không là nghiệm.

7. $3x+2=8$, nên $x=2$; cặp $(2,2)$ thỏa.

8. Ví dụ $(0,0)$ và $(-2,1)$; thay vào đều cho vế trái $0$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Viết tất cả nghiệm của $4x=12$ dưới dạng cặp.

   Gợi ý bài 9

   Hệ số $y$ bằng $0$.

10. Tìm $m$ để $(2,-1)$ thỏa $x+my=7$.

    Gợi ý bài 10

    Thay rồi giải theo $m$.

11. Có $m$ nào để $(0,1)$ thỏa $mx+2y=3$ không?

    Gợi ý bài 11

    Hạng chứa $m$ biến thành gì?

12. Tìm $t$ để $(t,2t)$ thỏa $x+y=9$.

    Gợi ý bài 12

    Thay cả hai tọa độ cùng lúc.

13. Chứng minh mọi cặp $(t,1-t)$ đều thỏa $x+y=1$ và giải thích vì sao đó là toàn bộ nghiệm.

    Gợi ý bài 13

    Giải phương trình theo $y$.

14. Một cặp $(u,v)$ thỏa $x+y=4$. Cặp $(v,u)$ có luôn thỏa không? Với $2x+y=4$ thì sao?

    Gợi ý bài 14

    Xét tính đối xứng của từng vế trái.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $x=3$ còn $y$ tùy ý; mọi và chỉ các cặp $(3,t)$, $t$ thực, là nghiệm.

10. $2-m=7$ nên $m=-5$. Kiểm $2+(-5)(-1)=7$.

11. Không: thay vào luôn cho $0+2=2\ne3$, không phụ thuộc $m$.

12. $3t=9$ nên $t=3$, cặp $(3,6)$.

13. Thay vào tổng $t+1-t=1$. Ngược lại mọi nghiệm phải có $y=1-x$, nên đặt $t=x$ được đúng dạng ấy.

14. Tổng giao hoán nên trường hợp đầu luôn đúng. Trường hợp sau không luôn đúng: $(1,2)$ thỏa nhưng $(2,1)$ cho $5\ne4$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Giả sử $(u,v)$ thỏa $ax+by=c$. Tìm điều kiện để cặp đổi chỗ $(v,u)$ cũng thỏa.

    Gợi ý bài 15

    Lấy hiệu hai vế trái.

16. Tìm mọi phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ nhận cả $(1,0)$ và $(0,1)$ làm nghiệm.

    Gợi ý bài 16

    Thay từng cặp để ràng buộc hệ số.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Hiệu là $av+bu-(au+bv)=(a-b)(v-u)$. Do cặp đầu đã thỏa, cặp đổi chỗ thỏa đúng khi $(a-b)(v-u)=0$, tức $a=b$ hoặc $u=v$.

16. Từ hai cặp có $a=c$ và $b=c$. Cần hệ số không đồng thời $0$, nên $c\ne0$. Vì vậy mọi phương trình là $cx+cy=c$ với $c\ne0$, đều tương đương $x+y=1$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.