Kiểm tính đồng khả năng trước khi dùng tỉ số
Kiểm đếm và xác suất biến cố · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-53-B5
Ngẫu nhiên không tự có nghĩa đồng khả năng. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.
Sau bài này, em có thể:
- Kiểm tính đồng khả năng trước khi dùng tỉ số.
- Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
- Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.
Cần biết trước: Mô-đun 52; chỉ dùng tỉ số đếm khi các kết quả sơ cấp đồng khả năng.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Ngẫu nhiên không tự có nghĩa đồng khả năng. Gộp nhiều kết quả vào nhãn có thể tạo xác suất khác nhau; công bằng riêng cũng chưa đủ để kết luận độc lập.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Quạt và cơ chế quay
Cơ bản
Đề bài
Vòng quay có bốn quạt bằng nhau A,B,C,D, kim lý tưởng đều theo góc. Có dùng đếm nhãn để tính A không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Có, $P(A)=1/4$. Chỉ có bốn nhãn mà không biết góc và cơ chế thì chưa đủ.
Cách tự kiểm
Quạt bằng nhau và cơ chế quay lý tưởng bảo đảm xác suất bằng nhau.
Ví dụ 2. Hai góc không bằng nhau
Cơ bản
Đề bài
Hai quạt A,B có góc $270^\circ,90^\circ$, kim đều theo góc. Tính xác suất.
Lời giải và cách suy nghĩ
$P(A)=3/4$, $P(B)=1/4$. Hai kết quả không đồng khả năng.
Cách tự kiểm
Xác suất tỉ lệ với số đo góc trong mô hình đã nêu.
Ví dụ 3. Viên đều, màu không đều
Vận dụng
Đề bài
Ba thẻ đỏ phân biệt và một thẻ xanh được chọn đều. Mức nào là đồng khả năng?
Lời giải và cách suy nghĩ
Bốn thẻ đồng khả năng; biến cố đỏ gộp ba thẻ nên $P(\text{đỏ})=3/4$. Hai màu không đồng khả năng.
Cách tự kiểm
Mỗi thẻ là phần tử sơ cấp.
Ví dụ 4. Tần số hữu hạn và xác suất
Vận dụng
Đề bài
Mười lần tung xu có tám N. Có chứng minh xác suất N đúng $0,8$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. $8/10=0,8$ là tỉ lệ quan sát trong mười lần. Nó không xác định chính xác xác suất và không tự chứng minh xu thiếu công bằng.
Cách tự kiểm
Tần số tương đối của dữ liệu khác với tham số mô hình.
Ví dụ 5. Công bằng riêng chưa đủ
Vận dụng
Đề bài
Hai xu từng xu đều có xác suất N là $1/2$, nhưng xu sau luôn cùng mặt xu trước. Bốn chuỗi có đồng khả năng không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Chỉ SS và NN xuất hiện, mỗi xác suất $1/2$; SN,NS không thể. Muốn bốn cặp đều $1/4$ cần giả thiết độc lập bên cạnh công bằng.
Cách tự kiểm
Công bằng riêng không đủ cho độc lập.
Ví dụ 6. Các mặt trùng số
Nâng cao
Đề bài
Sáu mặt xúc xắc ghi $1,1,2,2,2,3$ và các mặt đồng khả năng. Có dùng ba nhãn số làm mẫu số $3$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Xác suất các số $1,2,3$ là $1/3,1/2,1/6$. Cần đếm sáu mặt phân biệt hoặc dùng trọng số theo số mặt.
Cách tự kiểm
Nhóm nhãn có số mặt lần lượt $2,3,1$.
Ví dụ 7. Gộp ngày theo loại
Nâng cao
Đề bài
Chọn đều một ngày trong bảy ngày, chỉ ghi ngày thường hoặc cuối tuần gồm hai ngày. Tính xác suất hai nhãn.
Lời giải và cách suy nghĩ
Xác suất ngày thường $5/7$, cuối tuần $2/7$. Không thể đếm hai nhãn như hai phần bằng nhau.
Cách tự kiểm
Mỗi ngày đồng khả năng, hai nhãn gộp $5$ và $2$ ngày.
Ví dụ 8. Ngẫu nhiên cần cơ chế rõ
Thử thách
Đề bài
Chọn ngẫu nhiên thẻ nhưng các thẻ có kích thước khác nhau. Có đủ dữ kiện coi mọi thẻ đồng khả năng không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Chưa đủ. Cần mô tả cơ chế chọn hoặc giả thiết chọn đều; không suy đồng khả năng chỉ từ từ “ngẫu nhiên”.
Cách tự kiểm
Cách trộn và lựa chọn có thể ưu tiên kích thước.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
- Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
- Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Một vòng quay chia bốn quạt bằng nhau, ghi $A,B,C,D$, kim lý tưởng không ưu tiên hướng nào. Có thể dùng tỉ số đếm để tính xác suất $A$ không?
Gợi ý bài 1
Cần cả quạt bằng nhau và cơ chế kim không ưu tiên.
-
Vòng quay có hai quạt: $A$ góc $270^\circ$, $B$ góc $90^\circ$; kim lý tưởng đều theo góc. Hai kết quả $A,B$ có đồng khả năng không?
Gợi ý bài 2
Góc $270^\circ$ và $90^\circ$ không bằng nhau.
-
Một túi có ba thẻ đỏ phân biệt $R_1,R_2,R_3$ và một thẻ xanh $B$, rút đều một thẻ. Mô tả không gian mẫu đồng khả năng và tính xác suất đỏ; giải thích vì sao không dùng mẫu số hai màu.
Gợi ý bài 3
Ba thẻ đỏ là ba kết quả sơ cấp phân biệt.
-
Sau $10$ lần tung một đồng xu, có $8$ mặt ngửa. Có thể kết luận chắc chắn xu không công bằng, hoặc xác suất ngửa bằng $0{,}8$ không?
Gợi ý bài 4
Tần số tương đối mười lần không xác định chính xác tham số xác suất.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Theo mô hình lý tưởng đã nêu, bốn quạt đồng khả năng nên $P(A)=\frac14$. Cần cả điều kiện quạt bằng nhau và cơ chế quay không ưu tiên.
-
Không. $P(A)=\frac{270}{360}=\frac34$, $P(B)=\frac{90}{360}=\frac14$. Hai nhãn không kéo theo xác suất bằng nhau.
-
$\Omega=\{R_1,R_2,R_3,B\}$, bốn thẻ đồng khả năng. Biến cố đỏ có $3$ phần tử nên $P=\frac34$. Hai màu là hai nhóm không có cùng số thẻ nên không đồng khả năng.
-
Không thể kết luận chắc chắn từ $10$ lần. $0{,}8$ là tần số tương đối quan sát; xác suất là đặc trưng mô hình. Cần kiểm quy trình và thêm dữ liệu phù hợp, không thay xác suất lý thuyết bằng một tỉ lệ thực nghiệm.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Vòng quay tám quạt bằng nhau có ba quạt ghi A. Tính xác suất A theo kim lý tưởng.
Gợi ý bài 5
Đếm quạt, không đếm số tên khác nhau.
-
Hai nhãn A,B gộp lần lượt bốn và bốn kết quả sơ cấp đồng khả năng. Hai nhãn có đồng khả năng không?
Gợi ý bài 6
Chúng gộp cùng số phần tử và bao hết tám kết quả.
-
Túi có $2$ đỏ, $2$ xanh, $4$ vàng, chọn đều viên. Ba màu có đồng khả năng không?
Gợi ý bài 7
Đếm số viên mỗi màu.
-
Sau $100$ lần gieo xúc xắc không xuất hiện $6$. Có kết luận chắc chắn $6$ không thể xuất hiện không?
Gợi ý bài 8
Không quan sát được trong hữu hạn lần khác với không thể theo mô hình.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$P(A)=3/8$.
-
Có, mỗi nhãn xác suất $1/2$. Lý do là số phần tử sơ cấp bằng nhau, không chỉ vì có hai nhãn.
-
Không. Xác suất đỏ và xanh $1/4$, vàng $1/2$.
-
Không chắc chắn chỉ từ dữ liệu. Cần kiểm thiết bị và quy trình; nếu mô hình xúc xắc công bằng vẫn giả định thì sự kiện này rất hiếm nhưng không phải logic không thể.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Chọn đều một trong hai hộp, rồi chọn đều một viên trong hộp. Hộp A có một đỏ, hộp B có ba xanh. Bốn viên toàn bộ có đồng khả năng không?
Gợi ý bài 9
Đường chọn một viên đỏ có xác suất chọn hộp A; một viên xanh còn chia ba.
-
Hai hộp như trên. Muốn mọi viên toàn bộ đồng khả năng, phải chọn hộp A và B với xác suất nào?
Gợi ý bài 10
Xác suất chọn hộp nên tỉ lệ số viên nếu trong mỗi hộp chọn đều.
-
Ba kết quả sơ cấp có xác suất $1/2,1/3,1/6$. Biến cố A gồm hai kết quả cuối. Có dùng số thuận lợi $2$ trên tổng $3$ không?
Gợi ý bài 11
Cộng xác suất, vì ba phần tử không đồng khả năng.
-
Tung hai xu công bằng độc lập và gộp thành ba nhãn “hai S, khác mặt, hai N”. Tìm xác suất mỗi nhãn.
Gợi ý bài 12
Số cặp có thứ tự gộp lần lượt $1,2,1$.
-
Rút hai thẻ đều không hoàn lại từ A,B,C, chỉ ghi tập hai thẻ. Ba tập có đồng khả năng không?
Gợi ý bài 13
Mỗi tập gộp hai cặp có thứ tự trong sáu cặp đồng khả năng.
-
Đổi phép rút trên thành có hoàn lại. Sáu nhãn không thứ tự AA,BB,CC,AB,AC,BC có đồng khả năng không?
Gợi ý bài 14
Cặp trùng gộp một thứ tự, cặp khác gộp hai.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Đỏ có xác suất $1/2$, mỗi viên xanh $1/6$. Không giống chọn đều một viên từ túi gộp, khi đỏ có $1/4$.
-
Chọn A xác suất $1/4$, B $3/4$. Khi đó đỏ $1/4$, mỗi xanh $(3/4)/3=1/4$. Cơ chế chọn tầng cần trọng số thích hợp.
-
$P(A)=1/3+1/6=1/2$, không phải $2/3$. Tỉ số đếm chỉ dùng khi các phần tử đang đếm đồng khả năng.
-
Xác suất $1/4,1/2,1/4$. Ba nhãn không đồng khả năng dù từng xu công bằng.
-
Có: mỗi tập xác suất $2/6=1/3$. Đây là kết luận được chứng minh bằng cấu trúc gộp, không mặc định cho mọi cách bỏ thứ tự.
-
Không: AA,BB,CC mỗi nhãn $1/9$; AB,AC,BC mỗi nhãn $2/9$. Bỏ thứ tự có thể phá đồng khả năng.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Vòng quay có ba nhãn A,B,C, kim đều theo góc. Biết xác suất A gấp đôi B, C bằng A và tổng góc $360^\circ$. Tìm góc từng nhãn.
Gợi ý bài 15
Đặt xác suất B là $x$, tổng $2x+x+2x=1$.
-
Hai hộp đều được chọn với xác suất $1/2$, trong mỗi hộp chọn đều một viên. Hộp A có $a$ viên, B có $b$ viên, đều dương. Khi nào toàn bộ viên đồng khả năng?
Gợi ý bài 16
Mỗi viên A có xác suất $1/(2a)$, mỗi viên B $1/(2b)$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$x=1/5$; góc A $144^\circ$, B $72^\circ$, C $144^\circ$. Số nhãn không quyết định bằng góc.
-
Đồng khả năng đúng khi $a=b$. Nếu cỡ hộp khác nhau, chọn hộp đều không giống chọn viên đều trên túi gộp. Điều kiện bằng quy mô là cần và đủ trong mô hình này.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.