Đến nội dung chính

Lập mô hình hai kì tăng trưởng theo giả thiết

THCSLớp 9Thực hành và tổng hợpMở mô-đun

Vốn và mô hình tăng trưởng · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-57-B3

Qua hai kì, mức cuối kì trước trở thành cơ sở của kì sau. Viết từng bước giúp em nhận ra khi nào được nhân các hệ số và khi nào phải trừ phí hoặc cộng khoản nộp ở giữa.

Sau bài này, em có thể:

  • Lập đúng biểu thức hai kì và phân biệt tăng đơn với tăng ghép.
  • Giải phương trình tìm tỉ lệ, kiểm nhánh nghiệm và so sánh thứ tự thao tác.

Cần biết trước: Mô-đun 20,55; nêu rõ kì hạn, lãi suất, phí và cách tính; không bảo đảm lợi nhuận thực.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Không phí hay nộp/rút thêm: $F=V(1+r_1)(1+r_2)$. Nếu cùng tỉ lệ $r$ thì $F=V(1+r)^2$. Khi mỗi kì trừ phí $f$, công thức là $F=(V(1+r)-f)(1+r)-f$. Trong bài này các hệ số tăng phải dương; không tự coi một nhánh đại số âm là mức tăng trưởng hợp lệ.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Viết đủ hai kì

Cơ bản

Đề bài

Đầu $400$, hai kì cùng tăng $5\%$, ghép toàn bộ, không phí. Tính từng kì.

Lời giải và cách suy nghĩ

Kì một $420$; kì hai $420\cdot1{,}05=441$. Tổng tăng $41$, không phải $40$.

Cách tự kiểm

$400\cdot1{,}05^2=441$.

Ví dụ 2. Hai tỉ lệ khác nhau

Vận dụng

Đề bài

Đầu $1000$, kì một tăng $8\%$, kì hai tăng $5\%$, không phí. Tính tỉ lệ tăng sau hai kì.

Lời giải và cách suy nghĩ

$F=1000\cdot1{,}08\cdot1{,}05=1134$. Tỉ lệ toàn kì là $13{,}4\%$, không phải $13\%$.

Cách tự kiểm

$1{,}08\cdot1{,}05-1=0{,}134$.

Ví dụ 3. Tăng rồi giảm cùng phần trăm

Vận dụng

Đề bài

Đầu $2000$, tăng $10\%$ rồi giảm $10\%$. Tính số cuối.

Lời giải và cách suy nghĩ

$F=2000\cdot1{,}1\cdot0{,}9=1980$. Thấp hơn đầu $20$ vì lần giảm tính trên mức sau tăng.

Cách tự kiểm

$1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$.

Ví dụ 4. Tìm tỉ lệ chung

Nâng cao

Đề bài

Đầu $800$, sau hai kì cùng tăng $r\ge0$ đạt $968$, không phí. Tìm $r$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(1+r)^2=968/800=1{,}21$. Vì $1+r>0$, $1+r=1{,}1$, nên $r=10\%$. Nhánh $-1{,}1$ bị loại.

Cách tự kiểm

$800\cdot1{,}1^2=968$.

Ví dụ 5. Tìm tỉ lệ kì còn lại

Vận dụng

Đề bài

Đầu $1500$, kì đầu tăng $4\%$, sau hai kì đạt $1638$, không phí. Tìm tỉ lệ kì hai.

Lời giải và cách suy nghĩ

Sau kì đầu $1560$. Hệ số kì hai $1638/1560=1{,}05$, nên tăng $5\%$.

Cách tự kiểm

Chỉ chia mức cuối cho cơ sở của đúng kì.

Ví dụ 6. Phí ở giữa có hệ quả

Nâng cao

Đề bài

Đầu $1000$, mỗi kì tăng $10\%$ rồi trừ $20$. Tính số cuối và so cách trừ toàn bộ $40$ sau hai kì.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đúng: $(1000\cdot1{,}1-20)\cdot1{,}1-20=1168$. Cách trừ muộn cho $1210-40=1170$, cao hơn $2$ do đã cho khoản phí đầu $20$ tiếp tục tăng $10\%$.

Cách tự kiểm

Hiệu sai bằng $20\cdot0{,}1=2$.

Ví dụ 7. Nộp thêm ở giữa hai kì

Nâng cao

Đề bài

Đầu $600$, mỗi kì tăng $5\%$. Nộp thêm $100$ sau kì một, trước kì hai; không phí. Tìm số cuối.

Lời giải và cách suy nghĩ

Kì một được $630$, sau nộp $730$, kì hai $766{,}5$. Công thức $600\cdot1{,}05^2+100\cdot1{,}05$ phản ánh khoản nộp chỉ đi qua một kì.

Cách tự kiểm

Không cho $100$ đi qua cả hai kì.

Ví dụ 8. Khai triển để hiểu phần chênh

Thử thách

Đề bài

So mô hình hai kì cùng tỉ lệ $r\ge0$: A tính tăng mỗi kì trên mức gốc $V$, B ghép tăng, không phí.

Lời giải và cách suy nghĩ

A có $V(1+2r)$; B có $V(1+r)^2$. Hiệu B trừ A bằng $Vr^2\ge0$, bằng $0$ khi $r=0$ với $V>0$. Đây là phần tăng của khoản đã tăng ở kì đầu.

Cách tự kiểm

Không chỉ đưa một ví dụ số để kết luận cho mọi $r$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
  • Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
  • Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Vốn $500$ đơn vị, mỗi kì tăng $4\%$, ghép toàn bộ số tăng, không phí. Tính cuối từng kì trong hai kì.

    Gợi ý bài 1

    Mỗi kì nhân với mức cuối kì trước.

  2. Vốn $800$ đơn vị, kì một tăng $5\%$, kì hai giảm $5\%$ trên vốn đầu kì hai, không phí. Tính vốn cuối và so với $800$.

    Gợi ý bài 2

    Lần giảm tính trên mức sau tăng.

  3. Muốn vốn $1000$ thành $1210$ sau hai kì cùng tỉ lệ $r\ge0$, ghép số tăng, không phí. Lập phương trình và tìm $r$.

    Gợi ý bài 3

    Giữ nhánh $1+r>0$.

  4. So sánh vốn $1000$ tăng $10\%$ mỗi kì trong hai kì: A chỉ tính mỗi kì trên vốn gốc; B ghép số tăng. Tính cả hai và giải thích chênh lệch.

    Gợi ý bài 4

    Phần chênh do tăng trên khoản đã tăng kì đầu.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. Kì một: $520$; kì hai: $520\cdot1{,}04=540{,}8$ đơn vị.

  2. $800\cdot1{,}05\cdot0{,}95=798$ đơn vị, ít hơn $2$. Cùng phần trăm nhưng hai cơ sở tính khác nhau.

  3. $1000(1+r)^2=1210$ nên $(1+r)^2=1{,}21$. Vì $1+r>0$, $1+r=1{,}1$, suy ra $r=0{,}1=10\%$. Nhánh $1+r=-1{,}1$ bị loại.

  4. A: $1000+2\cdot100=1200$. B: $1000\cdot1{,}1^2=1210$. Chênh $10$ do B tính kì hai trên cả $100$ đã tăng kì một.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Đầu $300$, tăng $10\%$ hai kì ghép, không phí. Tính số cuối.

    Gợi ý bài 5

    Nhân $1{,}1$ hai lần.

  2. Đầu $800$, kì đầu tăng $5\%$, kì hai tăng $10\%$. Tính số cuối và tỉ lệ cả hai kì.

    Gợi ý bài 6

    Tỉ lệ toàn giai đoạn bằng tích hệ số trừ $1$.

  3. Đầu $500$, giảm $20\%$ rồi tăng $25\%$. Tính số cuối.

    Gợi ý bài 7

    Không cộng hai phần trăm khác cơ sở.

  4. Đầu $1000$, tăng $5\%$ mỗi kì, phí cuối mỗi kì $10$. Lập bảng hai kì.

    Gợi ý bài 8

    Phí kì một được trừ trước khi tính kì hai.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $300\cdot1{,}1^2=363$.

  2. $F=924$, tỉ lệ tăng $124/800=15{,}5\%$.

  3. $500\cdot0{,}8\cdot1{,}25=500$, trở về đầu vì hai hệ số là nghịch đảo.

  4. Kì một $1040$; kì hai $1040\cdot1{,}05-10=1082$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Đầu $1200$, sau hai kì cùng tăng $r\ge0$ được $1452$, không phí. Tìm $r$.

    Gợi ý bài 9

    Tách căn rồi kiểm hệ số dương.

  2. Đầu $2000$, sau hai kì đạt $2376$, kì một tăng $10\%$. Tìm tỉ lệ kì hai.

    Gợi ý bài 10

    Cơ sở kì hai là $2200$.

  3. Không phí, hai tỉ lệ $p,q>-1$. Đổi thứ tự hai kì có đổi số cuối không? Điều gì thay đổi nếu cuối mỗi kì trừ cùng phí $f>0$?

    Gợi ý bài 11

    Khai triển hai biểu thức có phí theo hai thứ tự.

  4. Đầu $1000$, hai kì cùng $10\%$. Nộp thêm $200$ ở đầu kì một hoặc ở giữa hai kì. Hai số cuối chênh bao nhiêu?

    Gợi ý bài 12

    Khoản nộp sớm đi qua thêm một lần tăng.

  5. Một mức tăng $r$ rồi giảm $r$, với $0<r<1$. Chứng minh số cuối luôn thấp hơn mức đầu và tính tỉ lệ giảm chung.

    Gợi ý bài 13

    Dùng $(1+r)(1-r)=1-r^2$.

  6. Hai kì cùng tỉ lệ $r\ge0$, mức đầu $V>0$, không phí. Mô hình ghép hơn mô hình tăng đơn $36$; biết $V=900$. Tìm $r$.

    Gợi ý bài 14

    Hiệu là $Vr^2$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. $(1+r)^2=1{,}21$ nên $r=10\%$; nhánh âm không hợp lệ.

  2. $2376/2200=1{,}08$, nên tỉ lệ kì hai $8\%$.

  3. Không phí: tích $(1+p)(1+q)$ giao hoán. Có phí: thứ tự $p,q$ cho $V(1+p)(1+q)-f(1+q)-f$; thứ tự $q,p$ cho cùng tích trừ $f(1+p)+f$. Hiệu thứ nhất trừ thứ hai là $f(p-q)$, có thể khác $0$.

  4. Nộp sớm: $1200\cdot1{,}1^2=1452$; ở giữa: $(1100+200)\cdot1{,}1=1430$. Hiệu $22=200\cdot1{,}1\cdot0{,}1$.

  5. $F=V(1-r^2)<V$ với $V>0$; tỉ lệ giảm chung là $r^2$, không phải $0$.

  6. $900r^2=36$ nên $r^2=0{,}04$. Vì $r\ge0$, $r=20\%$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Đầu $1000$, hai kì cùng tăng $10\%$ rồi trừ phí cuối mỗi kì là $f\ge0$. Muốn số cuối $1168$. Tìm $f$.

    Gợi ý bài 15

    Khai triển số cuối thành $1210-2{,}1f$.

  2. Hai tỉ lệ $p,q\ge0$ có tổng $20\%$. Không phí. Chứng minh hệ số tăng chung không vượt $1{,}21$; khi nào đạt?

    Gợi ý bài 16

    Viết tích $1+p+q+pq$ và dùng $(p-q)^2\ge0$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. $1210-2{,}1f=1168$ nên $f=20$. Các mức trung gian $1080$ và $1168$ dương.

  2. $p+q=0{,}2$, $pq\le(0{,}2)^2/4=0{,}01$. Do đó $(1+p)(1+q)\le1{,}21$, bằng khi $p=q=0{,}1$. Với cùng tổng hai tỉ lệ, chia đều cho hệ số tích lớn nhất trong mô hình này.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án

Bài trước: Tính vốn để đạt mức tăng trưởng một kì · Bài tiếp: So sánh vốn và thời gian trong cùng mô hình

Chọn bài trong mô-đun · Mục lục Toán lớp 9 · Hướng dẫn tự học THCS