Lập phương án đo khoảng cách có vật cản
Dự án đo đạc hình khối và video toán · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-59-B1
Một phương án đo tốt phải chỉ ra điểm nào tới được, đoạn nào đo được và vì sao hình tạo thành tam giác vuông. Ta có thể kiểm phương án hoàn toàn trên giấy trước khi dùng trong một tình huống thực.
Sau bài này, em có thể:
- Chọn đúng cạnh đối, cạnh kề và dữ kiện cần đo trong mô hình vật cản.
- Giải bài toán ngược và kiểm tính khả thi của phương án.
Cần biết trước: Mô-đun 25,39,44. Có bản vẽ hoặc mô hình bàn học thay đo thực; ghi rõ đã làm hay mới đề xuất.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, với $0^\circ<\alpha=\angle ACB<90^\circ$, ta có $AB=AC\tan\alpha$. Công thức đòi hỏi $AC\perp AB$, đoạn $AC$ và góc được xác định đúng. Các số liệu dưới đây là của mô hình giấy hoặc giả định; kết quả không tự trở thành số đo thực địa.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Nhận cạnh trước khi tính
Cơ bản
Đề bài
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AC=7$ cm, $\angle ACB=45^\circ$. Tính $AB$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$AB$ đối góc $C$, $AC$ kề góc $C$, nên $AB=7\tan45^\circ=7$ cm.
Cách tự kiểm
Hai cạnh góc vuông bằng nhau phù hợp góc $45^\circ$.
Ví dụ 2. Mô hình góc ba mươi độ
Vận dụng
Đề bài
$AC=9$ cm, $AC\perp AB$, $\angle ACB=30^\circ$. Tính chính xác $AB$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$AB=9\tan30^\circ=9/\sqrt3=3\sqrt3$ cm.
Cách tự kiểm
Vì góc $C<45^\circ$, cạnh đối $AB<AC$.
Ví dụ 3. Tìm đoạn chuẩn cần thiết
Vận dụng
Đề bài
Muốn mô hình có $AB=12$ cm và góc $C=60^\circ$, cần chọn $AC$ bao nhiêu?
Lời giải và cách suy nghĩ
$AC=AB/\tan60^\circ=12/\sqrt3=4\sqrt3$ cm.
Cách tự kiểm
$AB$ dài hơn $AC$ vì $60^\circ>45^\circ$.
Ví dụ 4. Mô hình sai góc vuông
Nâng cao
Đề bài
Chỉ biết $AC=10$ và $\angle ACB=45^\circ$, chưa biết góc $A$. Có đủ tìm $AB=10$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Chẳng hạn tam giác vuông tại $A$ cho $AB=10$. Một tam giác khác có $A=60^\circ,C=45^\circ$ thì $B=75^\circ$; do hai góc đối diện khác nhau, $AB\ne AC=10$. Muốn dùng tang trong tam giác vuông phải xác minh góc vuông.
Cách tự kiểm
Một góc và một cạnh không tự tạo tam giác vuông.
Ví dụ 5. Kiểm sự đồng nhất đơn vị
Vận dụng
Đề bài
Mô hình $AC=80$ mm, góc $C=45^\circ$, vuông tại $A$. Một bạn ghi $AB=80$ cm. Sửa.
Lời giải và cách suy nghĩ
$AB=80$ mm $=8$ cm. Hệ số tang không đổi đơn vị độ dài.
Cách tự kiểm
So kết quả với kích thước mô hình.
Ví dụ 6. Hai điểm quan sát kiểm lẫn nhau
Nâng cao
Đề bài
Trên cùng tia $AC$, điểm $D$ xa $A$ hơn $C$; $AC=6$, $AD=6\sqrt3$. Nếu $AB=6$ và vuông tại $A$, góc nhìn ở $C,D$ là bao nhiêu?
Lời giải và cách suy nghĩ
$\tan C=6/6=1$ nên $C=45^\circ$. $\tan D=6/(6\sqrt3)=1/\sqrt3$ nên $D=30^\circ$. Điểm xa hơn cho góc nhỏ hơn.
Cách tự kiểm
Tính cùng một $AB$ từ cả hai điểm.
Ví dụ 7. Giữ nguyên tỉ lệ mô hình
Nâng cao
Đề bài
Một bản giấy cho $AC=5$ cm, $AB=5\sqrt3$ cm. Phóng to đồng dạng gấp $3$. Góc $C$ và tỉ lệ $AB/AC$ đổi không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai đoạn thành $15$ và $15\sqrt3$ cm, nhưng tỉ lệ vẫn $\sqrt3$, nên góc $C=60^\circ$ không đổi.
Cách tự kiểm
Độ dài thay đổi, tỉ số và góc được giữ.
Ví dụ 8. Hai góc tìm đoạn không tới được
Thử thách
Đề bài
$A,C,D$ thẳng hàng theo thứ tự, $AB\perp AD$, $CD=12$ cm. Góc $ACB=45^\circ$, góc $ADB=30^\circ$. Tìm $AB$ mà không đo trực tiếp $AC$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt $AC=x>0$, $AB=h>0$. Từ góc $C$, $h=x$; từ góc $D$, $h=(x+12)/\sqrt3$. Do đó $(\sqrt3-1)x=12$, $x=h=6(\sqrt3+1)$ cm.
Cách tự kiểm
Kiểm cả hai công thức và thứ tự $AD=AC+12$.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
- Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
- Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$; $AC=6$ cm và $\angle ACB=45^\circ$. Dùng mô hình để tính $AB$, ghi rõ đây là số liệu trên giấy.
Gợi ý bài 1
Dùng tang góc $C$ trong tam giác vuông tại $A$.
-
Lập danh sách ba đại lượng/điều kiện phải ghi khi dùng $AB=AC\tan\angle ACB$ để đo khoảng cách có vật cản.
Gợi ý bài 2
Cần độ dài, góc nhọn và góc vuông đúng vị trí.
-
Một bạn chọn $AC$ không vuông góc $AB$ nhưng vẫn dùng công thức ví dụ. Giải thích vì sao chưa đủ căn cứ và đề xuất cách sửa phương án.
Gợi ý bài 3
Không dùng công thức tam giác vuông khi thiếu góc vuông.
-
Tạo mô hình giấy có $AC=8$ cm, $AC\perp AB$, $\angle ACB$ khoảng $30^\circ$. Đo góc thực bằng thước đo góc, ghi số thực tế và tính $AB$ gần đúng; so với đo trực tiếp trên giấy.
Gợi ý bài 4
Ghi góc thực đã đo nếu thực hành; số giả định chỉ minh họa.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$AB=AC\tan45^\circ=6$ cm. Kết quả chỉ cho mô hình giấy, không tự đổi thành khoảng cách ngoài thực tế.
-
$AC$ có đơn vị, góc $ACB$ nhọn, và $AC\perp AB$; thêm vị trí các điểm nếu cần để nhận đúng cạnh đối/kề.
-
Hệ thức tang dùng trong tam giác vuông. Cần dựng/kiểm $AC\perp AB$ hoặc chọn mô hình khác có đủ dữ kiện; không sửa số tùy ý.
-
Kết quả tùy mô hình. Nếu góc thực là $30^\circ$ thì $AB\approx8\cdot0{,}57735\approx4{,}62$ cm. Phải ghi góc đã đo và sai lệch; không điền $30^\circ$ nếu chưa đo.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Vuông tại $A$, $AC=11$ cm, góc $C=45^\circ$. Tính $AB$.
Gợi ý bài 5
Xác định cạnh đối/kề của góc $C$.
-
Vuông tại $A$, $AC=4$ cm, góc $C=60^\circ$. Tính $AB$ chính xác.
Gợi ý bài 6
$\tan60^\circ=\sqrt3$.
-
Vuông tại $A$, $AB=5$, $AC=5\sqrt3$. Tìm góc nhọn $C$.
Gợi ý bài 7
Tính $AB/AC$.
-
Lập bản ghi bốn dòng cho phương án dùng $AB=AC\tan C$, chưa thực hiện đo.
Gợi ý bài 8
Ghi giả thiết, dữ kiện, công thức và trạng thái.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$AB=11$ cm.
-
$AB=4\sqrt3$ cm.
-
$\tan C=1/\sqrt3$, nên $C=30^\circ$.
-
Một phương án: xác minh $AB\perp AC$; dự định đo $AC$ và góc $C$; dùng $AB=AC\tan C$ với cùng đơn vị; ghi đây là kế hoạch chưa có số đo thực.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Tam giác vuông tại $A$ có $AB=AC$. Chứng minh góc nhìn $C=45^\circ$.
Gợi ý bài 9
Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng nhau.
-
Giữ góc $C=30^\circ$ nhưng tăng $AC$ thêm $6$ cm. $AB$ tăng bao nhiêu?
Gợi ý bài 10
Hiệu $AB$ bằng hiệu $AC$ nhân cùng hệ số tang.
-
Giữ $AC>0$. So $AB$ khi góc $C$ lần lượt $30^\circ,45^\circ,60^\circ$.
Gợi ý bài 11
Ba hệ số $1/\sqrt3,1,\sqrt3$.
-
Có $AB=10$ cm, muốn góc nhìn $C\le45^\circ$ trong tam giác vuông tại $A$. Tìm điều kiện $AC$.
Gợi ý bài 12
Tang tăng trên miền góc nhọn.
-
Từ hai điểm $C,D$ trên cùng tia từ $A$, $AC=8$, $AD=16$. Một bạn ghi cả hai góc nhìn bằng $45^\circ$. Vì sao không thể cùng đo một $B$ với $AB>0$, $AB\perp AD$?
Gợi ý bài 13
Tính $AB$ từ mỗi góc.
-
$A,C,D$ theo thứ tự, $CD=5$, $AB\perp AD$. Góc $C=60^\circ$, góc $D=45^\circ$. Tìm $AC,AB$.
Gợi ý bài 14
Đặt $AC=x$, có $x\sqrt3=x+5$.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Hai góc nhọn có tổng $90^\circ$ và bằng nhau, nên mỗi góc $45^\circ$. Cũng có thể dùng $\tan C=1$.
-
Tăng $6/\sqrt3=2\sqrt3$ cm. Không tăng $6$ trừ khi góc $45^\circ$.
-
Các độ dài lần lượt $AC/\sqrt3$, $AC$, $AC\sqrt3$, tăng theo thứ tự góc.
-
$AB/AC\le1$, nên $AC\ge10$ cm. Cần giữ $AC>0$.
-
Điểm $C$ cho $AB=8$, điểm $D$ cho $AB=16$, mâu thuẫn. Cần kiểm số đo hoặc cấu hình.
-
$x=5/(\sqrt3-1)=5(\sqrt3+1)/2$. $AB=x+5=5(3+\sqrt3)/2$. Đơn vị cùng với $CD$.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Cho độ dài chuẩn $AC=a>0$ và đo góc nhọn $C$ với sai số $\pm\varepsilon$, sao cho cả hai đầu mút còn nhọn. Nêu một khoảng chứa $AB$ và những sai số chưa được tính.
Gợi ý bài 15
Dùng tính tăng của tang trên khoảng góc nhọn.
-
$A,C,D$ theo thứ tự, $CD=d>0$, $AB\perp AD$. Đặt $u=\tan\angle ACB$, $v=\tan\angle ADB$ với $u>v>0$. Tìm $AB$ theo $d,u,v$.
Gợi ý bài 16
Đặt $AC=x$: $xu=(x+d)v$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$a\tan(C-\varepsilon)\le AB\le a\tan(C+\varepsilon)$. Khoảng mới xét sai số góc; chưa gồm sai số $a$, độ vuông góc hoặc việc mô hình không khớp thực tế.
-
$x=dv/(u-v)>0$ và $AB=xu=duv/(u-v)$. Nếu $u\le v$ thì với thứ tự điểm và $d>0$ không có mô hình dương như giả thiết. Điều kiện mẫu khác $0$ là thiết yếu.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.