Lập phương trình bậc hai từ chuyển động đơn giản

$\dfrac{120}{v}-\dfrac{120}{v+20}=1$. Khử mẫu dương: $2400=v(v+20)$, nên $v^2+20v-2400=(v-40)(v+60)=0$. Nhận $v=40$ km/h; thời gian $3$ giờ và $2$ giờ, chênh $1$ giờ.

$\dfrac{30}{v}-\dfrac{30}{v+5}=1$ nên $v^2+5v-150=(v-10)(v+15)=0$. Nhận $v=10$ km/h; thời gian $3$ giờ và $2$ giờ.

$\dfrac{12}{v+2}+\dfrac{12}{v-2}=3$. Vì $v>2$, khử mẫu: $24v=3(v^2-4)$, nên $v^2-8v-4=0$. Nghiệm $4\pm2\sqrt5$; chỉ $v=4+2\sqrt5>2$ km/h phù hợp.

Vận tốc mới phải $v+5$, thời gian mới $s/(v+5)$ và nhỏ hơn $s/v$ khi $s>0,v>0$. Nếu dùng $v-5$ thì cần thêm $v>5$ và thời gian lại tăng; dấu đó trái mô tả.

$v(v+5)=50$, nghiệm 5, -10; nhận 5 km/h, thời gian 4 giờ và 2 giờ.

$(v-24)(v+36)=0$, nhận 24 km/h; thời gian 3 giờ và 2 giờ.

$(v-10)(v+8)=0$, nhận 10 km/h; mới 5 giờ, cũ 4 giờ.

Xuôi $v+3$, ngược $v-3$, miền $v>3$ để cả hai dương.

$(v-30)(v+45)=0$, nhận 30 km/h; thời gian 3 giờ và 2 giờ.

Phương trình $2v^2-15v-8=0$ có hai nghiệm $v=8$ và $v=-\frac12$; nhận vận tốc $8$ km/h. Thời gian là $3$ giờ xuôi dòng và $5$ giờ ngược dòng.

$45/60=3/4$ giờ, không phải $0{,}45$ giờ.

Mẫu khác 0 nên nhân là tương đương trên miền. Sau giải vẫn phải giữ $v>0$, không nhận nghiệm ngoài miền.

$s/v-s/(v+u)=su/[v(v+u)]>0$, nên thời gian mới nhỏ hơn.

$s/36=1$, nên 36 km; thời gian 3 giờ và 2 giờ.

Biệt thức $u^2+4su/h>u^2$, nên nghiệm $(-u+\sqrt{u^2+4su/h})/2>0$, nghiệm nhánh trừ âm. Do đó duy nhất một vận tốc dương; các mẫu của mô hình đều hợp lệ.

Tổng $T=2dv/(v^2-u^2)$. Hiệu $T-2d/v=2du^2/[v(v^2-u^2)]>0$. Dòng giúp một chiều nhưng làm hại chiều kia; hai tác động không triệt tiêu về thời gian.