Nhận biết căn bậc ba của số thực

Căn bậc ba và máy tính căn thức · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-03-B1

Căn bậc ba thực tồn tại cả với số âm và chỉ có một giá trị. Lập phương giữ dấu, nên không dùng quy tắc hai dấu của phương trình bình phương để trả lời một bài căn bậc ba.

Sau bài này, em có thể:

• Nhận biết căn bậc ba duy nhất và giữ đúng dấu.
• Chứng minh tính chất bằng lập phương và tính duy nhất.

Cần biết trước: Mô-đun 01–02; lũy thừa bậc ba và số đối.

1. Kiến thức và phương pháp

$\sqrt[3]a$ là số thực duy nhất $u$ thỏa $u^3=a$. Có $\sqrt[3]0=0$, căn bậc ba của số dương dương, của số âm âm. Với mọi $x$ thực, $\sqrt[3]{x^3}=x$; không cần giá trị tuyệt đối. Nếu $u^3=v^3$, thì $(u-v)(u^2+uv+v^2)=0$; thừa số thứ hai dương khi $u,v$ không đồng thời bằng $0$, nên $u=v$. Đây cũng giải thích tính duy nhất.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Một số dương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt[3]{125}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$5^3=125$, nên $\sqrt[3]{125}=5$. Số $-5$ lập phương bằng $-125$, không phải một căn khác của $125$.

Cách tự kiểm

Căn bậc ba có một giá trị.

Ví dụ 2. Một số âm

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt[3]{-216}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(-6)^3=-216$, nên căn bằng $-6$. Không cần hạn chế số dưới căn không âm.

Cách tự kiểm

Dùng lập phương để kiểm.

Ví dụ 3. Số không

Cơ bản

Đề bài

Vì sao căn bậc ba của $0$ chỉ là $0$?

Lời giải và cách suy nghĩ

$u^3=0$ là tích $u\cdot u\cdot u=0$, buộc $u=0$. Ngược lại $0^3=0$.

Cách tự kiểm

$+0,-0$ không là hai số khác nhau.

Ví dụ 4. Căn của phân số

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt[3]{-8/125}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\left(-\frac25\right)^3=-8/125$, nên căn bằng $-2/5$.

Cách tự kiểm

Lập phương cả tử và mẫu, giữ dấu âm.

Ví dụ 5. Đối chiếu hai loại căn

Vận dụng

Đề bài

Tính $\sqrt[3]{(-3)^3}$ và $\sqrt{(-3)^2}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Căn bậc ba bằng $-3$; căn bậc hai số học bằng $|-3|=3$. Hai phép căn khác nhau về dấu.

Cách tự kiểm

Không dùng chung công thức “bỏ căn” cho hai loại.

Ví dụ 6. Tìm số dưới căn

Vận dụng

Đề bài

Tìm $a$ nếu $\sqrt[3]a=-2{,}5$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$a=(-2{,}5)^3=-15{,}625$. Thử lập phương cho đúng số này, nên căn thực là $-2{,}5$.

Cách tự kiểm

Số dưới căn có thể âm.

Ví dụ 7. Phương trình có một căn bậc ba

Nâng cao

Đề bài

Giải $\sqrt[3]{2x-1}=-3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Lập phương hai vế cho $2x-1=-27$, nên $x=-13$. Thử $\sqrt[3]{-27}=-3$; phép lập phương không tạo thêm nhánh dấu.

Cách tự kiểm

Không viết $2x-1=\pm27$.

Ví dụ 8. Căn bậc ba tăng theo số dưới căn

Nâng cao

Đề bài

Giải thích vì sao $a<b$ suy ra $\sqrt[3]a<\sqrt[3]b$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt $u=\sqrt[3]a,v=\sqrt[3]b$. Ta có $v^3-u^3=b-a>0$. Mà $v^2+uv+u^2=(u+v/2)^2+3v^2/4>0$ trong trường hợp $a\ne b$, nên $v-u>0$.

Cách tự kiểm

Lập luận áp dụng cả khi một hoặc hai số âm.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Dùng hai dấu cho căn bậc ba.
• Buộc số dưới căn bậc ba không âm.
• Kiểm căn bậc ba bằng bình phương.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Từ $4^3=64$, hãy tính $\sqrt[3]{64}$ và $\sqrt[3]{-64}$.

   Gợi ý bài 1

   Lập phương của số đối có dấu gì?

2. Giải thích vì sao $\sqrt[3]0=0$ và số $0$ chỉ có một căn bậc ba thực.

   Gợi ý bài 2

   Giải $u^3=0$.

3. Điền đúng hoặc sai, kèm lí do: $\sqrt[3]{125}=\pm5$; $\sqrt{25}=5$; $\sqrt[3]{-8}=-2$.

   Gợi ý bài 3

   Kiểm từng phát biểu bằng định nghĩa.

4. So sánh cách giải $u^2=16$ với $u^3=64$ trong $\mathbb R$.

   Gợi ý bài 4

   Kiểm cả $4$ và $-4$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $\sqrt[3]{64}=4$; $\sqrt[3]{-64}=-4$ vì $(-4)^3=-64$.

2. $0^3=0$; nếu $u^3=0$ thì $u=0$. Vì vậy không có một căn thực khác.

3. Phát biểu đầu sai: căn bậc ba duy nhất của $125$ là $5$, vì $(-5)^3=-125$. Hai phát biểu sau đúng: căn số học của $25$ là $5$ và $(-2)^3=-8$.

4. $u^2=16$ có hai nghiệm $\pm4$. $u^3=64$ chỉ có $u=4$; $(-4)^3=-64$ không thỏa.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Tính $\sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{-27}$.

   Gợi ý bài 5

   Dùng $3^3=27$.

6. Tính $\sqrt[3]{1/8}$.

   Gợi ý bài 6

   Lập phương một phân số.

7. $\sqrt[3]{-1}$ có cần đặt dấu $\pm$ không?

   Gợi ý bài 7

   Kiểm số $1$ và $-1$.

8. Tìm $a$ biết $\sqrt[3]a=4$.

   Gợi ý bài 8

   Lập phương hai vế.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Hai giá trị lần lượt $3,-3$.

6. Bằng $1/2$ vì $(1/2)^3=1/8$.

7. Không; căn bằng $-1$ duy nhất vì $(-1)^3=-1$, còn $1^3=1$.

8. $a=64$; thay vào được $\sqrt[3]{64}=4$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Chứng minh $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]a$ với mọi $a$ thực.

   Gợi ý bài 9

   Lập phương số ở vế phải.

10. Giải $\sqrt[3]{x+5}=2$.

    Gợi ý bài 10

    Lập phương là phép biến đổi tương đương trên số thực.

11. Nếu $\sqrt[3]a=\sqrt[3]b$, có suy ra $a=b$ không?

    Gợi ý bài 11

    Lập phương hai vế.

12. Phân loại dấu của $\sqrt[3]{m-2}$ theo $m$.

    Gợi ý bài 12

    Dấu căn bậc ba cùng dấu số dưới căn.

13. Chứng minh $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]a\sqrt[3]b$ với $a,b$ thực.

    Gợi ý bài 13

    Lập phương tích hai căn.

14. So sánh $\sqrt[3]{-10}$ và $-2$ không dùng máy.

    Gợi ý bài 14

    So sánh các lập phương.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Đặt $u=\sqrt[3]a$. Khi đó $(-u)^3=-a$, nên theo tính duy nhất $\sqrt[3]{-a}=-u$.

10. $x+5=8$, nên $x=3$; thử lại $\sqrt[3]8=2$.

11. Có: $a=(\sqrt[3]a)^3=(\sqrt[3]b)^3=b$.

12. Âm khi $m<2$, bằng $0$ khi $m=2$, dương khi $m>2$; căn tồn tại với mọi $m$.

13. Tích $u=\sqrt[3]a\sqrt[3]b$ có $u^3=ab$. Tính duy nhất của căn bậc ba suy ra công thức; không cần điều kiện không âm như căn bậc hai.

14. $-10<-8=(-2)^3$; căn bậc ba tăng nên $\sqrt[3]{-10}<-2$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tìm mọi $x$ thực thỏa $\sqrt[3]{x^3}=\sqrt{x^2}$.

    Gợi ý bài 15

    Rút mỗi vế theo đúng loại căn.

16. Với $a,b$ thực, xác định khi nào $\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]a+\sqrt[3]b$.

    Gợi ý bài 16

    Đặt $u=\sqrt[3]a,v=\sqrt[3]b$ rồi lập phương.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Đẳng thức thành $x=|x|$, đúng khi và chỉ khi $x\ge0$.

16. Điều kiện tương đương $u^3+v^3=(u+v)^3$, tức $3uv(u+v)=0$. Vậy $a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $u=-v$, trường hợp cuối tương đương $a+b=0$. Ngược lại từng trường hợp ấy đều thỏa; đây là toàn bộ khả năng.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.