Nhận biết đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-33-B1
Một đường tròn nằm trong tam giác chưa chắc là đường tròn nội tiếp. Ta kiểm ba tiếp xúc với ba đoạn cạnh và phân biệt khoảng cách đến cạnh với khoảng cách đến đỉnh.
Sau bài này, em có thể:
- Nhận biết đường tròn nội tiếp tam giác
- Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.
Cần biết trước: Mô-đun 29,32; phân giác góc và khoảng cách đến cạnh lớp 7.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc cả ba cạnh và nằm trong tam giác. Nếu tâm là $I$, các chân vuông góc $D,E,F$ trên $BC,CA,AB$ là tiếp điểm và $ID=IE=IF=r$. Các điểm ở trên cạnh, không chỉ trên đường thẳng chứa cạnh. Tâm nội tiếp cách đều các cạnh; tâm ngoại tiếp cách đều các đỉnh.
Tâm nội tiếp $I$ là giao các đường phân giác trong; $ID\perp BC$, nên $ID$ là bán kính nội tiếp.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Đủ ba tiếp xúc
Làm quen
Đề bài
Đường tròn nằm trong $ABC$ và tiếp xúc $AB,BC,CA$. Gọi tên và xác định bán kính từ tâm $I$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đó là đường tròn nội tiếp. Bán kính là khoảng cách vuông góc từ $I$ tới bất kì cạnh nào, vì mỗi cạnh là tiếp tuyến.
Cách tự kiểm
Không dùng $IA$ làm bán kính nếu $A$ là đỉnh.
Ví dụ 2. Chỉ chạm hai cạnh
Làm quen
Đề bài
Đường tròn nằm trong tam giác, chạm $AB,AC$ nhưng chưa chạm $BC$. Có nội tiếp không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Định nghĩa đòi tiếp xúc cả ba đoạn cạnh; hai tiếp xúc chỉ bảo đảm tâm cách đều hai đường thẳng $AB,AC$.
Cách tự kiểm
Không suy đủ ba tiếp xúc từ tính đối xứng nhìn thấy.
Ví dụ 3. Bán kính vuông góc
Vận dụng
Đề bài
Đường tròn nội tiếp tâm $I$ chạm $BC$ tại $D$. Chứng minh $ID\perp BC$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$BC$ là tiếp tuyến tại $D$; bán kính nối tâm với tiếp điểm vuông góc tiếp tuyến nên $ID\perp BC$.
Cách tự kiểm
Đây là khoảng cách tới cạnh, không phải đoạn xiên.
Ví dụ 4. Ngoại tiếp khác nội tiếp
Vận dụng
Đề bài
Đường tròn đi qua ba đỉnh và có tâm trong tam giác. Có thể gọi nó là nội tiếp không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Đi qua đỉnh mô tả đường tròn ngoại tiếp. Vị trí tâm bên trong không thay quan hệ tiếp xúc ba cạnh mà nội tiếp yêu cầu.
Cách tự kiểm
Xét quan hệ đường tròn với cạnh hoặc đỉnh, không chỉ vị trí tâm.
Ví dụ 5. Đường kéo dài của cạnh
Nâng cao
Đề bài
Đường tròn tiếp xúc ba đường thẳng chứa cạnh nhưng tâm ở ngoài tam giác. Có là nội tiếp không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Nó có thể là một đường tròn bàng tiếp; nội tiếp cần tâm và đường tròn ở trong, với các tiếp điểm trên ba đoạn cạnh.
Cách tự kiểm
“Đường thẳng chứa cạnh” rộng hơn “đoạn cạnh”.
Ví dụ 6. Cùng khoảng cách nhưng khác vị trí
Nâng cao
Đề bài
$P$ cách đều ba đường thẳng chứa cạnh. Điều kiện này đã đủ gọi $P$ là tâm nội tiếp chưa?
Lời giải và cách suy nghĩ
Chưa; cần thêm $P$ nằm trong tam giác. Giao các phân giác ngoài cũng có thể cách đều ba đường thẳng nhưng nằm ngoài.
Cách tự kiểm
Không bỏ điều kiện nằm trong khi dùng dấu hiệu.
Ví dụ 7. Tiếp tuyến từ một đỉnh
Thử thách
Đề bài
Đường tròn nội tiếp chạm $AB,AC$ lần lượt tại $F,E$. Chứng minh $AF=AE$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai đoạn $AF,AE$ là hai tiếp tuyến từ cùng điểm $A$ tới một đường tròn, nên bằng nhau.
Cách tự kiểm
Các tiếp điểm thuộc đúng hai cạnh xuất phát từ $A$.
Ví dụ 8. Dựng độ dài tiếp xúc
Thử thách
Đề bài
Tam giác có $AB=13,AC=14,BC=15$ cm. Tìm hai đoạn tiếp tuyến từ $A$ tới đường tròn nội tiếp.
Lời giải và cách suy nghĩ
Đặt các đoạn tiếp tuyến từ $A,B,C$ là $x,y,z$. Có $x+y=13,x+z=14,y+z=15$, nên $2x=12$ và $x=6$ cm.
Cách tự kiểm
Ba đoạn $x,y,z$ lần lượt là $6,7,8$ và cộng lại đúng ba cạnh.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
- Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Một đường tròn tiếp xúc cả ba cạnh tam giác và nằm trong tam giác. Tên gọi của nó là gì?
Gợi ý bài 1
Đối chiếu cả ba cạnh và vị trí bên trong.
-
Một đường tròn nằm trong tam giác nhưng chỉ chạm hai cạnh. Có đủ gọi là nội tiếp không?
Gợi ý bài 2
Đếm số cạnh tiếp xúc, không chỉ kiểm nằm trong.
-
Nêu khác biệt giữa nội tiếp và ngoại tiếp tam giác bằng điểm tiếp xúc hoặc đỉnh.
Gợi ý bài 3
Nội tiếp liên quan cạnh; ngoại tiếp liên quan đỉnh.
-
Tại tiếp điểm $D$ trên cạnh $BC$ của đường tròn nội tiếp tâm $I$, đoạn $ID$ có quan hệ gì với $BC$?
Gợi ý bài 4
Bán kính đến tiếp điểm vuông góc tiếp tuyến.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Đường tròn nội tiếp tam giác.
-
Không; phải tiếp xúc cả ba cạnh.
-
Nội tiếp chạm ba cạnh; ngoại tiếp đi qua ba đỉnh. Tâm và bán kính của hai đường tròn thường khác nhau.
-
$ID\perp BC$, vì bán kính đến tiếp điểm vuông góc tiếp tuyến.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Đường tròn không qua đỉnh nào, nhưng chạm cả ba cạnh ở bên trong. Nó có thể nội tiếp không?
Gợi ý bài 5
Đừng đưa điều kiện của ngoại tiếp vào định nghĩa nội tiếp.
-
Tâm nội tiếp $I$, $ID\perp BC$ tại tiếp điểm $D$ và $ID=3$ cm. Tìm bán kính.
Gợi ý bài 6
Chân vuông góc là tiếp điểm.
-
$P$ trong tam giác có khoảng cách tới ba cạnh lần lượt $2,2,3$ cm. Có là tâm nội tiếp không?
Gợi ý bài 7
Một cặp bằng nhau chỉ đủ đặt $P$ trên một phân giác.
-
$I$ là tâm nội tiếp, $IA=6$ cm và khoảng cách đến $AB$ là $2$ cm. Bán kính bằng bao nhiêu?
Gợi ý bài 8
Nhận diện đích của đoạn thẳng.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Có; đi qua đỉnh không phải yêu cầu của nội tiếp. Ba tiếp xúc và vị trí bên trong là các điều kiện đúng.
-
$r=ID=3$ cm.
-
Không, vì ba khoảng cách không bằng nhau.
-
Bán kính bằng $2$ cm; $IA$ là khoảng cách tới đỉnh, không phải tới tiếp điểm.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
$P$ ở trong góc $A$ và cách đều hai cạnh của góc. $P$ thuộc đường nào?
Gợi ý bài 9
Điều kiện trong góc chọn phân giác trong.
-
Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $AB,BC,CA$ tại $F,D,E$. Biết $IE=1{,}7$ cm. Tìm $ID,IF$.
Gợi ý bài 10
Không so với $IA,IB,IC$.
-
Bạn nói chỉ tam giác đều mới có đường tròn nội tiếp. Sửa nhận định.
Gợi ý bài 11
Phân biệt tồn tại với công thức tính thuận tiện.
-
Đường tròn nội tiếp một tam giác không suy biến có tiếp điểm tại một đỉnh không?
Gợi ý bài 12
Một đường tròn bán kính dương có đúng một tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó.
-
Các đoạn tiếp tuyến xuất phát từ ba đỉnh dài $4,5,6$ cm. Tính ba cạnh và chu vi.
Gợi ý bài 13
Mỗi đoạn tiếp tuyến được tính hai lần trong chu vi.
-
Tam giác có $AB=4,AC=5,BC=10$ cm. Có thể có đường tròn nội tiếp với các tiếp điểm trên cạnh không?
Gợi ý bài 14
Kiểm bất đẳng thức tam giác trước mọi phép dựng.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Theo tính chất đảo của phân giác, $P$ thuộc phân giác trong của góc $A$.
-
$ID=IF=IE=1{,}7$ cm vì là ba bán kính cùng đường tròn.
-
Mọi tam giác không suy biến có giao các phân giác trong; điểm ấy cách đều ba cạnh nên xác định đường tròn nội tiếp. Tam giác đều chỉ là trường hợp có công thức bán kính đặc biệt.
-
Không. Nếu tiếp xúc hai cạnh tạo góc tại cùng đỉnh, một đường tròn sẽ có hai tiếp tuyến khác nhau tại cùng một điểm, trái tính duy nhất của tiếp tuyến tại điểm trên đường tròn.
-
Các cạnh bằng $4+5=9$, $5+6=11$, $6+4=10$ cm; chu vi bằng $30$ cm.
-
Không có tam giác vì $4+5<10$. Từ hệ đoạn tiếp tuyến còn cho đoạn từ $A$ bằng $(4+5-10)/2=-0{,}5$ cm, cũng không hợp lệ.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Hai đường tròn cùng nội tiếp một tam giác có thể cùng tâm nhưng khác bán kính không?
Gợi ý bài 15
Cần giải thích vì sao bán kính bị xác định, không chỉ viện hình vẽ.
-
Đặt $a=BC,b=CA,c=AB$ và $s=(a+b+c)/2$. Chứng minh đoạn tiếp tuyến từ $A$ bằng $s-a$.
Gợi ý bài 16
Bất đẳng thức tam giác bảo đảm $s-a>0$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Không. Với tâm cố định, bán kính phải bằng khoảng cách vuông góc tới một cạnh cố định; khoảng cách này duy nhất.
-
Gọi ba độ dài từ các đỉnh là $x,y,z$. Từ $x+y=c,x+z=b,y+z=a$ suy ra $2x=b+c-a$, nên $x=(b+c-a)/2=s-a$.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.