Nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn
Tứ giác nội tiếp và tổng góc đối · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-34-B1
Bốn đỉnh phải cùng nằm trên một đường tròn và được nối theo thứ tự quanh nó. Ta nhận diện chính xác tứ giác nội tiếp trước khi dùng các hệ thức góc.
Sau bài này, em có thể:
- Nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn
- Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.
Cần biết trước: Mô-đun 31; tứ giác đơn có các đỉnh theo thứ tự trên đường tròn.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Trong bài, $ABCD$ là tứ giác lồi với bốn đỉnh phân biệt được ghi theo thứ tự quanh biên. Tứ giác nội tiếp khi bốn đỉnh thuộc cùng một đường tròn. Đường tròn ấy ngoại tiếp tứ giác. Các cặp góc đối là $(A,C)$ và $(B,D)$; hình tự cắt không thuộc quy ước này.
Bốn đỉnh $A,B,C,D$ được đặt theo thứ tự quanh đường tròn, tạo một tứ giác nội tiếp.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Đúng bốn đỉnh
Làm quen
Đề bài
$OA=OB=OC=OD=5$ cm; bốn điểm phân biệt theo thứ tự quanh $O$. Kết luận về $ABCD$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Bốn đỉnh cùng thuộc đường tròn $(O;5)$ nên $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.
Cách tự kiểm
Nêu chung một tâm và chung một bán kính.
Ví dụ 2. Một đỉnh ở trong
Làm quen
Đề bài
$OA=OB=OC=6$, $OD=4$ cm chính xác. $ABCD$ có nội tiếp $(O;6)$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không vì $D$ nằm trong hình tròn chứ không trên đường tròn. Kết luận chỉ loại đường tròn đã cho; chưa tự loại mọi đường tròn khác nếu chưa xét ba đỉnh còn lại không thẳng hàng.
Cách tự kiểm
Phân biệt “nội tiếp đường tròn đã cho” với một kết luận tổng quát.
Ví dụ 3. Ba đỉnh xác định đường tròn
Vận dụng
Đề bài
$A,B,C$ không thẳng hàng thuộc $(O)$, $D\notin(O)$. Có đường tròn khác qua đủ $A,B,C,D$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Đường tròn qua ba điểm không thẳng hàng là duy nhất, chính là $(O)$; nó không chứa $D$.
Cách tự kiểm
Dùng tính duy nhất đã học ở đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ví dụ 4. Nối sai thứ tự
Vận dụng
Đề bài
Bốn điểm $A,B,C,D$ theo thứ tự trên đường tròn. Vì sao nối $A,C,B,D,A$ không cho tứ giác lồi $ACBD$?
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai đoạn $AC,BD$ là các đường chéo của cấu hình ban đầu và cắt nhau. Đường gấp khúc mới tự cắt; không áp dụng nguyên phát biểu về góc trong tứ giác lồi.
Cách tự kiểm
Đọc thứ tự nối, không chỉ tập hợp bốn điểm.
Ví dụ 5. Hình chữ nhật
Nâng cao
Đề bài
Giải thích hình chữ nhật nội tiếp bằng giao hai đường chéo.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai đường chéo bằng nhau và cắt đôi nhau tại $O$, nên $OA=OB=OC=OD$. Đường tròn tâm $O$ qua bốn đỉnh chứng minh nội tiếp.
Cách tự kiểm
Không cần dùng định lí đảo về góc đối.
Ví dụ 6. Chỉ ba khoảng cách bằng nhau
Nâng cao
Đề bài
$P$ thỏa $PA=PB=PC$; có đủ xác nhận $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $P$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Chưa. Phải kiểm thêm $PD=PA$. Nếu $D$ không trên đường tròn ấy thì không đủ bốn đỉnh.
Cách tự kiểm
Đỉnh thứ tư là điều kiện mới của tứ giác.
Ví dụ 7. Tính duy nhất tâm
Thử thách
Đề bài
Tứ giác lồi nội tiếp có thể có hai tâm ngoại tiếp khác nhau không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Chọn ba đỉnh bất kì không thẳng hàng; tâm đường tròn qua ba điểm ấy là duy nhất. Tâm của cả tứ giác cũng phải là tâm đó.
Cách tự kiểm
Tứ giác lồi không có ba đỉnh thẳng hàng.
Ví dụ 8. Bán kính và cạnh
Thử thách
Đề bài
Tứ giác nội tiếp bán kính $R=4$ cm. Có thể có cạnh $9$ cm không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Mọi cạnh là dây, dài không quá $2R=8$ cm.
Cách tự kiểm
Dùng cận dây dài nhất.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
- Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Bốn đỉnh $A,B,C,D$ của tứ giác đơn cùng thuộc $(O)$. Tên quan hệ là gì?
Gợi ý bài 1
Cùng một đường tròn qua đủ bốn đỉnh.
-
Ba đỉnh $A,B,C$ thuộc $(O)$, $D$ ở trong hình tròn nhưng không trên đường tròn. $ABCD$ có nội tiếp $(O)$ không?
Gợi ý bài 2
Điểm trong hình tròn chưa phải điểm trên đường tròn.
-
Vì sao cần ghi thứ tự các đỉnh quanh đường tròn khi dùng tổng góc đối?
Gợi ý bài 3
Thứ tự đỉnh quyết định góc đối và tứ giác đơn.
-
Vẽ bốn điểm trên một đường tròn rồi nối theo thứ tự. Cần dữ kiện gì để xác nhận nội tiếp ngoài hình vẽ?
Gợi ý bài 4
Cần dữ kiện thuộc đường tròn hoặc phép dựng chính xác.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$; $(O)$ ngoại tiếp tứ giác.
-
Không; $D$ phải nằm trên đường tròn.
-
Để xác định tứ giác đơn, lồi và đúng các cặp góc đối; nối thứ tự chéo có thể tạo hình tự cắt không thuộc phát biểu.
-
Phải biết cả bốn điểm được dựng hoặc được cho thuộc cùng đường tròn; nhìn gần đúng chưa đủ.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
$ABCD$ nội tiếp $(O)$. $(O)$ được gọi là đường tròn gì của tứ giác?
Gợi ý bài 5
Chủ ngữ quyết định dùng nội tiếp hay ngoại tiếp.
-
Đã biết tứ giác nội tiếp. Dựng tâm chỉ bằng $A,B,C$ có đủ không?
Gợi ý bài 6
Điều kiện tứ giác đã nội tiếp bảo đảm đỉnh thứ tư thuộc cùng đường tròn.
-
$A,B,C$ là ba điểm không thẳng hàng thuộc đường tròn tâm $O$, bán kính $3$ cm; còn $OD=5$ cm. $D$ ở đâu so với đường tròn?
Gợi ý bài 7
Không nhầm khoảng cách lớn hơn với nằm trong.
-
Trong tứ giác lồi $PQRS$, góc đối với góc $P$ là góc nào?
Gợi ý bài 8
Góc đối có một đỉnh nằm giữa theo thứ tự quanh biên.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$. Hai cách nói mô tả cùng một quan hệ giữa bốn đỉnh và đường tròn.
-
Đủ. Giao trung trực $AB,AC$ là tâm đường tròn qua ba đỉnh, và do tính duy nhất cũng là tâm đường tròn qua bốn đỉnh.
-
$D$ ở ngoài vì $OD>3$ cm; do đó không thể cùng ba đỉnh kia nội tiếp đường tròn ấy.
-
Là góc $R$; hai góc còn lại $Q,S$ là một cặp đối khác.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Vì sao không cho $D=A$ trong định nghĩa tứ giác nội tiếp?
Gợi ý bài 9
Quan hệ thuộc đường tròn không thay điều kiện là tứ giác.
-
Một ảnh chụp cho bốn góc khung có vẻ nằm trên một hình tròn. Muốn kết luận toán học cần gì?
Gợi ý bài 10
Phân biệt mô hình lý tưởng với đồ vật hoặc ảnh thực.
-
Một tứ giác đều có nội tiếp không? Giải thích bằng một tính chất đã biết.
Gợi ý bài 11
Không chỉ nói “đều nên nội tiếp” nếu chưa nêu căn cứ.
-
$ABCD$ nội tiếp và $AC$ là đường kính. Tính góc $ABC,ADC$.
Gợi ý bài 12
Hai đỉnh $B,D$ nằm ở hai cung khác nhau nhưng cả hai cung đều $180^\circ$.
-
Dựng đường tròn tâm $O$, chọn bốn điểm phân biệt trên nó và nối theo thứ tự. Cần đo góc để xác nhận nội tiếp không?
Gợi ý bài 13
Không thay chứng cứ dựng chính xác bằng phép đo gần đúng.
-
$A,C$ đối diện qua tâm và $B,D$ cũng đối diện trên cùng đường tròn. Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.
Gợi ý bài 14
Các điểm cần được nối theo thứ tự quanh đường tròn.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Khi đó chỉ còn ba đỉnh phân biệt và một cạnh có độ dài $0$; không còn tứ giác không suy biến như đang xét.
-
Cần dữ kiện thiết kế hoặc chứng minh bốn khoảng cách tới một tâm bằng nhau. Ảnh phối cảnh và sai số pixel không xác nhận đẳng thức.
-
Tứ giác đều là hình vuông, cũng là hình chữ nhật. Giao hai đường chéo cách đều bốn đỉnh nên có đường tròn ngoại tiếp.
-
Mỗi góc chắn một nửa đường tròn $AC$, nên đều bằng $90^\circ$.
-
Không. Quan hệ dựng đã bảo đảm bốn đỉnh thuộc cùng đường tròn. Đo góc chỉ là kiểm bổ sung.
-
$AC,BD$ là hai đường kính. Các góc tại $A,C$ chắn đường kính $BD$, các góc tại $B,D$ chắn đường kính $AC$, nên cả bốn góc vuông.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
$P$ thỏa $PA^2=PB^2=PC^2=PD^2=49$, các đỉnh tạo tứ giác lồi. Chứng minh nội tiếp.
Gợi ý bài 15
Bình phương bằng nhau cho khoảng cách bằng nhau vì không âm.
-
Ba đỉnh liên tiếp $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng. Có thể cùng $D$ tạo tứ giác nội tiếp không suy biến không?
Gợi ý bài 16
Nêu cản trở từ đường tròn, không chỉ từ hình vẽ.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Khoảng cách không âm nên $PA=PB=PC=PD=7$. Đường tròn $(P;7)$ qua bốn đỉnh.
-
Không. Đường thẳng chứa $A,B,C$ sẽ cắt đường tròn tại ít nhất ba điểm, điều không thể. Đồng thời cấu hình không phải tứ giác lồi theo quy ước.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.