Phân biệt giả thiết và kết luận khi dùng tiếp tuyến

Hai dấu vuông góc tại điểm thuộc đường tròn cho $PA,PB$ là tiếp tuyến. Hai tam giác vuông có cạnh huyền $OP$ chung và $OA=OB$, nên $PA=PB$.

Không. Với $O(0;0)$, bán kính $1$, $A(0;1),B(0;-1),P(2;0)$, có $PA=PB=\sqrt5$, nhưng $OA$ không vuông góc $PA$. Vì thế $PA$ không tiếp xúc tại $A$; tương tự $PB$.

Không. Cần chứng minh $PB$ cũng tiếp xúc hoặc có dữ kiện khác đủ suy ra điều ấy; $B$ thuộc đường tròn riêng lẻ chưa đủ.

Hai góc tại tiếp điểm vuông; $OP$ chung, $OA=OB$; hai tam giác vuông bằng nhau; hai góc tại $P$ bằng nhau; tia $PO$ nằm trong góc nên là phân giác.

Không cần. Hai dữ kiện tại $A$ đủ xác nhận $PA$ là tiếp tuyến, độc lập điểm $B$.

Không. Định lý đòi cả hai tiếp tuyến đến cùng đường tròn. Đẳng thức có thể do một dữ kiện khác, nhưng không suy từ định lý ấy.

Là hệ quả cả hai đều là bán kính của cùng đường tròn, không cần thêm như giả thiết độc lập.

$A$ nằm trong, không thuộc đường tròn. Khoảng cách từ tâm đến $PA$ bằng $OA<R$, nên đó là cát tuyến.

Có. $OP^2=R^2+PA^2=OB^2+PB^2$. Pythagore đảo cho $\angle OBP=90^\circ$, nên $PB$ tiếp xúc tại $B$.

Không. Ví dụ $O(0;0),A(0;1),B(0;-1),P(2;0)$ cho hai tam giác bằng nhau nhưng góc $OAP$ không vuông. Cần một góc vuông hoặc hệ thức Pythagore để xác nhận.

Có thể nếu đẳng thức đã được chứng minh độc lập từ định lý trước. Sẽ vòng quanh nếu trong chính chứng minh đầu tiên của $PA=PB$ lại dùng nó làm giả thiết. Cần phân biệt viện dẫn kết quả có trước với giả sử kết luận đang chứng minh.

Chỉ có tiếp tuyến tại $P$, không có hai tiếp điểm phân biệt tạo hai đoạn dương. Tính chất hai tiếp tuyến từ điểm ngoài không áp dụng cho trường hợp biên này.

Với tâm $O(0;0)$, bán kính $1$, $A(0;1),B(0;-1),P(2;0)$, đường $PO$ ngang vuông góc $AB$ dọc. Nhưng $PA$ không vuông góc $OA$, nên không tiếp xúc. Tính vuông góc hai đường chéo không phải dấu hiệu tiếp tuyến.

Có $OA^2+PA^2=R^2+(OP^2-R^2)=OP^2$, nên tam giác $OAP$ vuông tại $A$ theo Pythagore đảo. Tương tự tại $B$. Vì hai điểm thuộc đường tròn, cả hai đường là tiếp tuyến.

Thuận: $OA=OB$ và $PA=PB$, nên $O,P$ cùng thuộc trung trực $AB$ và $O\ne P$, do đó $OP$ chính là trung trực. Đảo không đủ: với đường kính $AB$ và $P$ ngoài trên trung trực, quan hệ vẫn đúng nhưng hai đường $PA,PB$ không vuông góc các bán kính. Ví dụ tọa độ $O(0;0),A(0;1),B(0;-1),P(2;0)$ xác nhận.

Từ $OA=OB$, $PA=PB$, suy $OP$ là trung trực $AB$, nên $AH\perp OP$. Có $AH^2=R^2-h^2$ và $PH=p-h$. Vì vậy $PA^2=(p-h)^2+AH^2=p^2-2ph+R^2$. Dữ kiện $ph=R^2$ cho $PA^2=p^2-R^2$, nên $OA^2+PA^2=OP^2$ và $PA$ tiếp xúc theo Pythagore đảo. Với $PB=PA$, lập luận tương tự cho $PB$. Điều kiện vị trí $H$ giúp dùng đúng $PH=p-h$.