Số tăng và tỉ lệ tăng trưởng giả định – lớp 9

Vốn và mô hình tăng trưởng · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-57-B1

Một số tăng thêm có đơn vị; tỉ lệ tăng là thương của số tăng với mức ban đầu. Bài này giúp em so sánh hai đại lượng mà không lẫn cơ sở tính.

Sau bài này, em có thể:

• Phân biệt số tăng, hệ số tăng và tỉ lệ tăng trên mức đầu.
• Giải bài toán ngược và bài gộp hai mức vốn trong mô hình giả định.

Cần biết trước: Mô-đun 20,55; nêu rõ kì hạn, lãi suất, phí và cách tính; không bảo đảm lợi nhuận thực.

1. Kiến thức và phương pháp

Với mức đầu $V>0$, mức cuối $F$ và không có khoản nộp hoặc rút thêm, số tăng là $D=F-V$, tỉ lệ tăng là $r=\frac{F-V}{V}$, nên $F=V(1+r)$. Tỉ lệ $5\%$ được thay vào công thức bằng $0{,}05$. Các bài ở đây là mô hình số học giả định; một kết quả tính được chỉ có ý nghĩa khi các giả thiết đã nêu được giữ.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tách số tăng và số cuối

Cơ bản

Đề bài

Mức đầu $500$ đơn vị tăng $6\%$ trong một kì, không phí. Tính số tăng và mức cuối.

Lời giải và cách suy nghĩ

$D=500\cdot0{,}06=30$ đơn vị; $F=530$ đơn vị. $30$ là số tăng, không phải số cuối.

Cách tự kiểm

$530-500=30$ và $30/500=6\%$.

Ví dụ 2. Tìm tỉ lệ từ hai mức

Cơ bản

Đề bài

Một mức từ $750$ thành $810$ sau một kì, không nộp/rút thêm. Tính tỉ lệ.

Lời giải và cách suy nghĩ

Số tăng $60$; $r=\frac{60}{750}=0{,}08=8\%$. Không chia cho $810$ vì đề hỏi trên mức đầu.

Cách tự kiểm

$750\cdot1{,}08=810$.

Ví dụ 3. Hai tỉ lệ bằng nhau

Vận dụng

Đề bài

Hai mức đầu $300$ và $900$ cùng tăng $4\%$. So sánh số tăng.

Lời giải và cách suy nghĩ

Số tăng là $12$ và $36$. Tỉ lệ bằng nhau nhưng số tăng thứ hai gấp ba, vì mức đầu gấp ba.

Cách tự kiểm

$36/900=12/300=4\%$.

Ví dụ 4. Số tăng bằng nhau

Vận dụng

Đề bài

A từ $400$ lên $440$; B từ $1000$ lên $1040$. So sánh tỉ lệ tăng.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cả hai tăng $40$ đơn vị, nhưng A tăng $10\%$, B tăng $4\%$. Cùng tử số, mẫu số nhỏ hơn cho tỉ lệ lớn hơn.

Cách tự kiểm

Đừng lấy hiệu $1040-440$ để so tăng trưởng.

Ví dụ 5. Phần trăm trên cơ sở khác

Vận dụng

Đề bài

Mức đầu $800$, mức cuối $1000$. Số tăng chiếm bao nhiêu phần trăm mức đầu và mức cuối?

Lời giải và cách suy nghĩ

Số tăng $200$. Trên mức đầu: $25\%$; trên mức cuối: $20\%$. Hai kết quả cùng đúng nhưng trả lời hai câu khác nhau.

Cách tự kiểm

Ghi rõ mẫu số $800$ hoặc $1000$.

Ví dụ 6. Khoản nộp thêm làm đổi cách hiểu

Nâng cao

Đề bài

Đầu kì $1000$, cuối kì $1150$, trong kì nộp thêm $100$. Có đủ kết luận tỉ lệ tăng do mô hình bằng $15\%$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Chênh lệch $150$ gồm khoản nộp. Nếu giả thiết khoản nộp chỉ xảy ra cuối kì, phần tăng của mức đầu là $50$, tương ứng $5\%$. Nếu nộp ở thời điểm khác, cần quy tắc tính cho khoản đó.

Cách tự kiểm

Không gán mọi chênh lệch cho tăng trưởng.

Ví dụ 7. Tìm mức đầu từ hiệu tỉ lệ

Nâng cao

Đề bài

Hai mô hình cùng mức đầu $V>0$, một kì không phí, tỉ lệ $7\%$ và $4\%$. Số tăng chênh nhau $45$. Tìm $V$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$0{,}07V-0{,}04V=45$, nên $V=1500$. Hai số tăng $105$ và $60$, chênh $45$.

Cách tự kiểm

Hiệu $3$ điểm phần trăm được viết thành $0{,}03$.

Ví dụ 8. Tỉ lệ gộp phụ thuộc quy mô

Thử thách

Đề bài

A có mức đầu $600$, tăng $10\%$; B có $1400$, tăng $5\%$. Tìm tỉ lệ tăng của tổng hai mức.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng mức đầu $2000$, tổng số tăng $60+70=130$. Tỉ lệ gộp $130/2000=6{,}5\%$, khác trung bình $7{,}5\%$. Phải dùng mức đầu làm trọng số.

Cách tự kiểm

$6{,}5\%$ nằm giữa $5\%$ và $10\%$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
• Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
• Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Vốn $800$ đơn vị tăng $4\%$ một kì, không phí. Tính số tăng và vốn cuối kì.

   Gợi ý bài 1

   Tính riêng phần tăng trước khi cộng vốn.

2. Vốn $600$ tăng lên $645$ đơn vị sau một kì, không nộp thêm và không rút. Tính số tăng và tỉ lệ tăng trên vốn đầu.

   Gợi ý bài 2

   Lấy hiệu hai mức và chia vốn ban đầu.

3. Hai vốn $200$ và $1000$ đều tăng $10\%$. So sánh tỉ lệ và số tăng.

   Gợi ý bài 3

   Cùng tỉ lệ nhưng mức đầu khác nhau.

4. Sửa phát biểu “vốn tăng từ $400$ lên $440$ nên tăng $40\%$”.

   Gợi ý bài 4

   Phân biệt đơn vị tiền với phần trăm.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Tăng $800\cdot0{,}04=32$; cuối kì $832$ đơn vị.

2. Tăng $45$; tỉ lệ $45/600=0{,}075=7{,}5\%$.

3. Cùng tỉ lệ $10\%$; số tăng lần lượt $20$ và $100$ đơn vị nên không bằng nhau.

4. Số tăng $40$ đơn vị, tỉ lệ $40/400=10\%$. Phần trăm phải chia cho vốn gốc.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Mức từ $240$ thành $270$; tìm số tăng và tỉ lệ trên mức đầu.

   Gợi ý bài 5

   Lấy hiệu trước, rồi chia mức đầu.

6. Cùng tăng $18$ đơn vị, hai mức đầu là $150$ và $600$. So sánh tỉ lệ.

   Gợi ý bài 6

   Cùng tử số chưa cho cùng thương.

7. Tăng $8\%$ ứng với $56$ đơn vị. Tìm mức đầu và mức cuối.

   Gợi ý bài 7

   Số $56$ là phần tăng, không phải số cuối.

8. Bạn nói từ $900$ lên $990$ là tăng $90\%$. Sửa bằng hai phép kiểm.

   Gợi ý bài 8

   Tính hiệu và thương với mức đầu.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $D=30$, $r=30/240=12{,}5\%$.

6. Tỉ lệ $12\%$ và $3\%$; tỉ lệ thứ nhất gấp bốn.

7. $V=56/0{,}08=700$, $F=756$.

8. Tăng $90$ đơn vị, tương ứng $90/900=10\%$. Kiểm $900\cdot1{,}1=990$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Hai mức đầu hơn kém nhau $500$, cùng tăng $6\%$ một kì. Số cuối hơn kém nhau bao nhiêu? Số tăng hơn kém bao nhiêu?

   Gợi ý bài 9

   Nhân hiệu mức đầu lần lượt với hệ số tăng và tỉ lệ.

10. Mức đầu $V>0$ tăng $r$; số tăng chiếm $20\%$ mức cuối. Tìm $r$.

    Gợi ý bài 10

    Viết $rV=0{,}2V(1+r)$.

11. A tăng $10\%$, B tăng $4\%$, tổng mức đầu $3000$. Tỉ lệ gộp $6\%$. Tìm hai mức đầu.

    Gợi ý bài 11

    Gọi mức A là $x$, B là $3000-x$.

12. Cho hai mức đầu dương $a,b$ với tỉ lệ $p,q$. Khi nào tỉ lệ gộp bằng trung bình $(p+q)/2$?

    Gợi ý bài 12

    Nhân chéo $\frac{ap+bq}{a+b}=\frac{p+q}{2}$.

13. Mức tăng từ $A$ lên $B>A>0$ là $20\%$. Nếu từ $B$ trở về $A$, phải giảm bao nhiêu phần trăm trên $B$?

    Gợi ý bài 13

    Đặt $B=1{,}2A$; mẫu số của mức giảm là $B$.

14. Chỉ biết số cuối $1200$ và tỉ lệ $r$ nằm trong $[4\%;6\%]$, một kì không phí. Cho khoảng mức đầu.

    Gợi ý bài 14

    $V=1200/(1+r)$ giảm khi mẫu dương tăng.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Hiệu số cuối $500\cdot1{,}06=530$; hiệu số tăng $500\cdot0{,}06=30$.

10. $r=0{,}2(1+r)$ nên $0{,}8r=0{,}2$, $r=25\%$. Điều kiện $V>0$ cho phép chia $V$.

11. $0{,}1x+0{,}04(3000-x)=180$ nên $x=1000$. B là $2000$; kiểm số tăng $100+80=180$.

12. Rút gọn được $(a-b)(p-q)=0$. Do đó đúng khi và chỉ khi $a=b$ hoặc $p=q$. Không bỏ trường hợp hai tỉ lệ bằng nhau.

13. Tỉ lệ giảm $\frac{B-A}{B}=\frac{0{,}2A}{1{,}2A}=\frac16=16\frac23\%$.

14. $\frac{1200}{1{,}06}\le V\le\frac{1200}{1{,}04}$. Không thay $r$ bằng một giá trị tùy ý rồi coi $V$ duy nhất.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tổng hai mức đầu $2000$, A tăng $12\%$, B giảm $3\%$, tổng số tăng bằng $90$. Tìm mức đầu mỗi phần và tỉ lệ gộp.

    Gợi ý bài 15

    Giảm $3\%$ dùng tỉ lệ $-0{,}03$.

16. Với cùng mức đầu $V>0$, A tăng $r>0$, B tăng $r/2$. A tăng nhiều hơn B $d>0$. Biểu diễn số cuối của mỗi mô hình theo $V,d$.

    Gợi ý bài 16

    Hiệu hai số tăng bằng $rV/2=d$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $0{,}12x-0{,}03(2000-x)=90$ nên $x=1000$, B cũng $1000$. Tỉ lệ gộp $90/2000=4{,}5\%$. Kiểm $120-30=90$.

16. $rV=2d$. Số cuối A là $V+2d$, B là $V+d$. Nếu chỉ biết $d$ thì chưa tìm riêng $V$ hoặc $r$; mọi $V>0$ với $r=2d/V$ đều phù hợp.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.