Đến nội dung chính
THCSLớp 9Thống kê và xác suấtMở mô-đun

Thống kê liên môn và bảng tính · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-51-B1

Thống kê liên môn bắt đầu từ biến, đơn vị, phạm vi và quy trình đo. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

  • Phân tích dữ liệu lớp 9 trong chủ đề liên môn.
  • Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
  • Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.

Cần biết trước: Mô-đun 45–50. Bài phần mềm cần thiết bị và lưu sản phẩm thực hành.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Thống kê liên môn bắt đầu từ biến, đơn vị, phạm vi và quy trình đo. Bảng tần số chỉ mô tả dữ liệu hợp lệ đã có; không tự xác định nguyên nhân hay chứng minh kết luận cho toàn bộ quần thể.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Bảng nhiệt độ theo thời điểm

Cơ bản

Đề bài

Nhiệt độ lúc $8$ giờ trong sáu ngày là $28,29,28,30,29,28$ °C. Lập hai bảng.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tần số $28:3,29:2,30:1$; tỉ lệ $1/2,1/3,1/6$. Các số mô tả sáu lần đo vào $8$ giờ, không phải mọi thời điểm trong ngày.

Cách tự kiểm

Giữ cùng thời điểm đo, đếm mỗi nhiệt độ.

Ví dụ 2. Độ chính xác của số đo

Cơ bản

Đề bài

Thời gian rơi ghi đến $0,1$ giây là $1,2;1,3;1,2;1,4;1,3;1,2$. Vì sao nhiều kết quả ghi giống nhau không chứng minh thời gian thật bằng hệt nhau?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cùng nhãn $1,2$ giây có thể do nhiều giá trị thật khác nhau làm tròn về $1,2$. Bảng tần số giữ số ghi, độ chính xác cần nêu cùng quy trình đo.

Cách tự kiểm

Phân biệt số đo đã làm tròn và giá trị thật.

Ví dụ 3. Thiết kế khảo sát không cần tên thật

Vận dụng

Đề bài

Khảo sát số phút đọc sách một ngày của $8$ người. Thiết kế dữ liệu không cần tên thật.

Lời giải và cách suy nghĩ

Dùng mã $1$–$8$, ghi số phút đọc trong cùng ngày, quy tắc tính thời gian nhất quán; kiểm không âm, không trùng mã. Đây là kế hoạch, không phải số liệu đã thu.

Cách tự kiểm

Xác định biến, đơn vị, ngày quan sát và mã không định danh.

Ví dụ 4. Nghi vấn đơn vị nhập liệu

Vận dụng

Đề bài

Bảng chiều cao ghi bốn số $150;153;1{,}55;158$ và ghi đơn vị cm. Phát hiện nghi vấn nào? Dấu chấm phẩy ở đây tách các số đo.

Lời giải và cách suy nghĩ

$1,55$ cm không cùng cỡ với các số khác; có thể định nhập $1,55$ m tức $155$ cm. Phải hỏi hoặc kiểm phiếu gốc, không tự sửa chỉ vì đoán hợp lý.

Cách tự kiểm

Có thể một số đã nhập theo m trong cột cm.

Ví dụ 5. Thống nhất đơn vị và quy trình

Vận dụng

Đề bài

Hai nhóm đo cùng đại lượng nhưng một nhóm dùng cm, nhóm kia mm. Cần làm gì trước khi ghép bảng?

Lời giải và cách suy nghĩ

Quy về một đơn vị, đổi cả số đo và ranh giới nhóm, giữ mã nguồn nhóm. Nếu điều kiện hoặc dụng cụ khác nhau thì phải ghi rõ trước khi diễn giải khác biệt.

Cách tự kiểm

Đổi cùng đơn vị và kiểm cùng cách đo.

Ví dụ 6. Số đo thiếu và mẫu số

Nâng cao

Đề bài

Có $10$ lần thí nghiệm, hai lần thiếu kết quả. Bảng tần số của tám số đo hợp lệ có dùng mẫu số $10$ để ghi cơ cấu không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu mô tả tám số đo hợp lệ thì dùng $8$. Nếu báo trên toàn bộ mười lần, cần thêm nhóm thiếu kết quả, không gán hai ô trống bằng số đo $0$.

Cách tự kiểm

Chọn rõ phạm vi báo cáo.

Ví dụ 7. Tỉ lệ nảy mầm trên toàn mẫu

Nâng cao

Đề bài

Dữ liệu giả định số hạt nảy mầm trong bốn khay, mỗi khay $10$ hạt: $6,8,7,9$. Tính tỉ lệ nảy mầm chung.

Lời giải và cách suy nghĩ

Có $30/40=75\%$ nảy mầm. Vì mỗi khay cùng $10$ hạt, trung bình bốn tỉ lệ khay cũng bằng $75\%$.

Cách tự kiểm

Tổng số hạt nảy chia tổng số hạt đã gieo.

Ví dụ 8. Hai mẫu thí nghiệm khác quy mô

Thử thách

Đề bài

Hai mẫu cây có tỉ lệ nảy $80\%$ trên $10$ hạt và $60\%$ trên $30$ hạt. Tính tỉ lệ chung.

Lời giải và cách suy nghĩ

Số nảy $8+18=26$ trên $40$, tỉ lệ $65\%$, không phải $70\%$. Hai mẫu có số hạt khác nhau.

Cách tự kiểm

Chuyển tỉ lệ về số hạt trước.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
  • Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
  • Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Dữ liệu giả định nhiệt độ (°C) lúc $8$ giờ trong sáu ngày: $28,29,28,30,29,28$. Lập bảng tần số.

    Gợi ý bài 1

    Đếm từng nhiệt độ, tổng sáu ngày.

  2. Bảng nhiệt độ trên có tần số tương đối của $28$ °C là bao nhiêu? Có thể nói $50\%$ mọi ngày trong năm có nhiệt độ $28$ °C không?

    Gợi ý bài 2

    Tỉ lệ mô tả sáu ngày, không tự cho toàn năm.

  3. Một nhóm đo thời gian rơi (giây) của cùng một vật trong điều kiện quy định và ghi $1{,}2;1{,}3;1{,}2;1{,}4;1{,}3;1{,}2$. Phân loại dữ liệu, lập bảng tần số và nêu một giới hạn của phép đo.

    Gợi ý bài 3

    Tần số đếm các số ghi; nêu độ chính xác đo $0,1$ giây.

  4. Thiết kế một khảo sát số phút đọc sách trong một ngày của $6$ người, không ghi tên hay thông tin riêng tư. Nêu biến, đơn vị, cách thu và cách kiểm; chưa thu thì ghi rõ chưa thực hiện.

    Gợi ý bài 4

    Thiết kế biến, ngày, đơn vị, mã và phép kiểm trước khi thu.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4
  1. Tần số của $28$ °C, $29$ °C, $30$ °C lần lượt là $3,2,1$; tổng bằng $6$ ngày.

  2. Tần số tương đối là $\frac36=50\%$. Không suy được cho mọi ngày trong năm từ sáu ngày đã chọn.

  3. Dữ liệu định lượng liên tục được ghi đến $0{,}1$ giây. Các giá trị $1{,}2;1{,}3;1{,}4$ có tần số lần lượt là $3,2,1$. Kết quả phụ thuộc độ chính xác dụng cụ và điều kiện thí nghiệm; không suy rằng vật luôn rơi đúng một trong ba giá trị.

  4. Thiết kế hợp lệ: mỗi người tự ghi số phút đọc trong cùng một ngày, dùng mã từ $1$ đến $6$, đơn vị phút, nêu cách tính thời gian. Kiểm không âm, không trùng bản ghi, đủ $6$ người; nếu chưa thu thì chỉ báo kế hoạch, không bịa kết quả.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Lượng mưa giả định ba ngày là $0,12,0$ mm. Tần số giá trị $0$ là bao nhiêu và có nghĩa thiếu dữ liệu không?

    Gợi ý bài 5

    Phân biệt không mưa với chưa đo.

  2. Ba số đo $12,13,14$ cm được lặp lại hai lần mỗi số. Lập bảng tần số tương đối.

    Gợi ý bài 6

    Mỗi số có hai trên tổng sáu.

  3. Hai học sinh đo một chiều dài được $10,2$ cm và $102$ mm. Hai kết quả có mâu thuẫn không?

    Gợi ý bài 7

    Đổi cùng đơn vị.

  4. Có thể so số phút đọc sách tự khai cả tuần với thời gian đọc đo bằng đồng hồ trong một ngày không?

    Gợi ý bài 8

    Kiểm biến, khoảng thời gian và cách thu.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8
  1. Tần số $0$ là $2$. Nếu ghi đúng phép đo thì đó là hai ngày không có lượng mưa đo được, không tự coi là dữ liệu thiếu.

  2. Mỗi tỉ lệ bằng $1/3$; tổng đúng $1$ dù phần trăm làm tròn có thể là $99,9\%$.

  3. Không: $102$ mm bằng $10,2$ cm. Cần xét độ chính xác dụng cụ nếu muốn bàn sâu hơn, không dựa vào khác số ghi.

  4. Không so trực tiếp như cùng đại lượng. Phải quy về cùng phạm vi và chú thích cách thu; phép chia cho số ngày chỉ là cách quy đổi theo giả thiết, không tạo số đo thật từng ngày.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Có $12$ số đo nguyên trong $[0;5)$ và $8$ số đo nguyên trong $[5;10)$. Tổng $150$ có thể không?

    Gợi ý bài 9

    Tính tổng lớn nhất theo từng nhóm.

  2. Thí nghiệm có $40$ hạt; $12$ không nảy. Sau bổ sung $10$ hạt khác, thêm $7$ hạt nảy. Tính tỉ lệ nảy chung.

    Gợi ý bài 10

    Số nảy ban đầu $28$, tổng mẫu mới $50$.

  3. Mẫu $30$ số đo có $6$ số dưới $10$, $18$ số dưới $20$, tất cả dưới $30$ và không âm. Lập bảng nhóm tương đối.

    Gợi ý bài 11

    Lấy hiệu số đếm tích lũy trước khi chia tổng.

  4. Hai nhóm thử hai điều kiện A,B, nhưng nhóm A chọn hạt mới, nhóm B chọn hạt cũ. Tỉ lệ nảy khác có đủ chứng minh do A,B không?

    Gợi ý bài 12

    Có yếu tố nào thay đổi ngoài điều kiện đang nghiên cứu?

  5. Trong $50$ bản ghi số phút đọc sách có năm dòng lặp thừa. Sau khi bỏ đúng năm dòng ấy, mỗi mã còn lại ứng với một người khác nhau. Vì sao không dùng $50$ làm mẫu số số người?

    Gợi ý bài 13

    Tính số người phân biệt trước khi phân loại.

  6. Mẫu tự nguyện có $18/20$ người đọc sách mỗi ngày. Báo cáo “$90\%$ học sinh toàn trường đọc mỗi ngày” sai ở điểm nào?

    Gợi ý bài 14

    Tách mô tả mẫu với suy rộng.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14
  1. Tối đa $12\cdot4+8\cdot9=120$. Vì $150>120$, dữ kiện mâu thuẫn. Kiểm miền đo có thể phát hiện lỗi dù tổng tần số đúng $20$.

  2. Tỉ lệ chung $(28+7)/50=70\%$. Không cộng hai tỉ lệ vì chúng thuộc hai mẫu khác nhau.

  3. Tần số $6,12,12$, tỉ lệ $20\%,40\%,40\%$. Các số dưới $10$ đã nằm trong nhóm dưới $20$.

  4. Chưa đủ. Độ mới của hạt cũng khác nên kết quả không tách được tác động của A,B. Cần kiểm soát hoặc ghi nhận yếu tố này; bảng tỉ lệ chỉ mô tả dữ liệu hiện có.

  5. Chỉ có $45$ mã người phân biệt nếu mã đúng định danh. Cần xác định bản ghi nào giữ và quy tắc tổng hợp; $50$ là số dòng, không tự là số người.

  6. $18/20=90\%$ đúng trong mẫu hợp lệ. Nhưng chọn tự nguyện có thể thiên lệch; thiếu thiết kế chọn mẫu cho toàn trường, nên kết luận vượt phạm vi dữ liệu.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Mô hình hai khay: A có $12/15$ hạt nảy, B có $18/30$. Muốn tỉ lệ chung đạt $70\%$ bằng thêm hạt nảy vào B, cần bao nhiêu?

    Gợi ý bài 15

    Lập $(30+x)/(45+x)=0,7$ với $x$ nguyên không âm.

  2. Hai báo cáo có cùng bảng nhóm chiều cao. Hãy nêu một điều có thể so và một điều không khôi phục được.

    Gợi ý bài 16

    Bảng nhóm giữ số lượng mỗi khoảng nhưng mất giá trị từng người.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16
  1. $30+x=31,5+0,7x$ nên $x=5$. Sau thêm có $35/50=70\%$. Đây là bài toán dữ liệu giả định, không phải thiết kế chọn lọc kết quả thật.

  2. Có thể so tỉ lệ thuộc từng khoảng nếu ranh giới, đơn vị và phạm vi giống nhau. Không khôi phục chiều cao chính xác từng người hoặc mọi đặc trưng của dữ liệu gốc từ bảng ấy.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.