So sánh vốn và thời gian trong cùng mô hình
Vốn và mô hình tăng trưởng · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-57-B4
Muốn so sánh hai kết quả, trước hết phải biết ta đang giữ chung mức đầu, số kì hay quy tắc tính. Một tỉ lệ cao hơn không tự giải quyết mọi cách so sánh.
Sau bài này, em có thể:
- So sánh số cuối, số tăng và số kì trong cùng mô hình.
- Tìm ngưỡng đổi thứ tự và chỉ rõ điều kiện của kết luận.
Cần biết trước: Mô-đun 20,55; nêu rõ kì hạn, lãi suất, phí và cách tính; không bảo đảm lợi nhuận thực.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với cùng hệ số dương $k$, hiệu hai mức cuối là $k(V_2-V_1)$. Qua $n$ kì cùng tỉ lệ $r$, không phí, $F_n=V(1+r)^n$. Nếu $r>0$ và $V>0$, dãy tăng theo số kì; nếu $-1<r<0$, dãy giảm. Việc so hai mô hình phải cùng đơn vị và cùng mốc thời gian.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hiệu hai số cuối
Cơ bản
Đề bài
Hai mức đầu $500,800$, cùng tăng $4\%$ một kì. Tính hiệu hai số cuối.
Lời giải và cách suy nghĩ
Các số cuối $520,832$, hiệu $312=300\cdot1{,}04$.
Cách tự kiểm
Hiệu tăng thêm $12$ so với hiệu mức đầu.
Ví dụ 2. Bảng ba kì
Vận dụng
Đề bài
Đầu $200$, tăng $10\%$ ghép mỗi kì, không phí. Tính ba số cuối liên tiếp.
Lời giải và cách suy nghĩ
$220,242,266{,}2$. Số tăng từng kì là $20,22,24{,}2$, không cố định.
Cách tự kiểm
Tỉ số hai số cuối liên tiếp đều $1{,}1$.
Ví dụ 3. Nhiều vốn nhưng tỉ lệ thấp
Vận dụng
Đề bài
A có $2000$ tăng $3\%$, B có $500$ tăng $8\%$, một kì không phí. So số tăng và số cuối.
Lời giải và cách suy nghĩ
A tăng $60$, cuối $2060$; B tăng $40$, cuối $540$. B có tỉ lệ cao hơn nhưng tăng ít đơn vị hơn.
Cách tự kiểm
Ba tiêu chí cần ba kết quả riêng.
Ví dụ 4. Cùng số cuối
Vận dụng
Đề bài
A có $1000$, tăng $10\%$ một kì. B có $800$, tăng tỉ lệ $r$. Tìm $r$ để hai số cuối bằng nhau.
Lời giải và cách suy nghĩ
$800(1+r)=1100$, nên $r=0{,}375=37{,}5\%$.
Cách tự kiểm
Không dùng hiệu $10\%-r$ khi mức đầu khác nhau.
Ví dụ 5. Một kì và hai kì
Vận dụng
Đề bài
Đầu $1000$: A tăng $21\%$ trong một kì; B tăng $10\%$ mỗi kì trong hai kì. Khi cùng thời điểm kết thúc giả định, số cuối có bằng nhau không?
Lời giải và cách suy nghĩ
A được $1210$; B được $1000\cdot1{,}1^2=1210$. Cần quy định một kì của A dài bằng cả hai kì của B để so thời gian ngang nhau.
Cách tự kiểm
Kết quả số bằng nhau chưa xác định kì hạn thực.
Ví dụ 6. Tìm số kì bằng bảng
Nâng cao
Đề bài
Đầu $1000$, mỗi kì tăng $10\%$ ghép. Ít nhất bao nhiêu kì để đạt $1300$?
Lời giải và cách suy nghĩ
Sau các kì $1,2,3$: $1100,1210,1331$. Do dãy tăng, kì nhỏ nhất là $3$; kì hai chưa đủ.
Cách tự kiểm
Chứng minh tính tăng và kiểm kì ngay trước.
Ví dụ 7. Thứ tự đổi theo vốn
Nâng cao
Đề bài
A tăng $5\%$, phí $5$; B tăng $4\%$, không phí. Cùng mức đầu dương, so số tăng ròng.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hiệu A trừ B là $0{,}01V-5$. A cao hơn khi $V>500$, bằng khi $V=500$, thấp hơn khi $0<V<500$.
Cách tự kiểm
Phí cố định tạo một ngưỡng vốn.
Ví dụ 8. So sánh theo tỉ số
Thử thách
Đề bài
Không phí: A có mức đầu gấp đôi B nhưng hệ số mỗi kì lần lượt $1{,}02$ và $1{,}1$. Viết tỉ số số cuối sau $n$ kì và giải thích xu hướng.
Lời giải và cách suy nghĩ
$F_A/F_B=2(1{,}02/1{,}1)^n=2(51/55)^n$. Vì $0<51/55<1$, tỉ số giảm theo $n$. Không được từ vốn đầu lớn hơn suy A luôn lớn hơn ở mọi thời điểm.
Cách tự kiểm
Chưa cần tính số kì vượt nhau để chứng minh tỉ số giảm.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
- Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
- Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Vốn $400$ và $700$, cùng tăng $3\%$ một kì, không phí. Tính cuối kì và hiệu giữa hai số cuối.
Gợi ý bài 1
Cùng hệ số nên có thể tính trực tiếp từ hiệu.
-
Vốn $1000$, cùng mô hình $10\%$ ghép mỗi kì. Tính sau một, hai và ba kì.
Gợi ý bài 2
Lần lượt nhân $1,1$.
-
A: vốn $1000$ tăng $4\%$ một kì; B: vốn $800$ tăng $6\%$ một kì, đều không phí. So sánh số tăng và tỉ lệ, rồi giải thích vì sao hai cách xếp có thể khác nhau.
Gợi ý bài 3
Tách tỉ lệ, số tăng và mức đầu.
-
Sửa ví dụ để phương án có tỉ lệ cao hơn lại tăng ít đơn vị hơn; giữ một kì, không phí, và kiểm bằng phép tính.
Gợi ý bài 4
Tự chọn hai mức đầu và kiểm hai tích.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$412$ và $721$; hiệu $309$ đơn vị, bằng $300\cdot1{,}03$.
-
$1100;1210;1331$ đơn vị. Mỗi lần nhân $1{,}1$ với số cuối kì trước.
-
A tăng $40$, tỉ lệ $4\%$; B tăng $48$, tỉ lệ $6\%$. Trong dữ kiện này B cao hơn cả hai, nhưng số tăng còn phụ thuộc vốn; không thể chỉ nhìn tỉ lệ cho các vốn bất kì.
-
Ví dụ A: vốn $1000$, tăng $4\%$ được $40$; B: vốn $100$, tăng $6\%$ được $6$. B có tỉ lệ cao hơn nhưng số tăng thấp hơn.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Các mức đầu $250,600$ cùng tăng $8\%$. Tính hiệu số cuối.
Gợi ý bài 5
Nhân hiệu mức đầu với $1{,}08$.
-
Đầu $400$, tăng $5\%$ hai kì ghép, không phí. So số tăng kì một và hai.
Gợi ý bài 6
Cơ sở kì hai là $420$.
-
A có $1200$ tăng $5\%$; B có $800$ tăng $8\%$, một kì. So riêng số tăng.
Gợi ý bài 7
Tính hai tích $Vr$.
-
A có $600$, cuối $660$; B có $1000$, cuối $1060$. So tỉ lệ.
Gợi ý bài 8
Cùng tăng $60$ nhưng mẫu số khác.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Hiệu $350\cdot1{,}08=378$.
-
Kì một tăng $20$, kì hai tăng $21$. Số cuối $441$.
-
A tăng $60$, B tăng $64$. B có mức đầu nhỏ hơn nhưng tăng nhiều hơn $4$.
-
A $10\%$, B $6\%$.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Đầu $1000$, tăng $5\%$ mỗi kì ghép. Tìm số kì nhỏ nhất để đạt $1150$ bằng cách lập bảng.
Gợi ý bài 9
Tính đến lần đầu đạt mục tiêu và kiểm kì trước.
-
Cùng mức đầu $V>0$, A tăng $10\%$ trong hai kì ghép; B tăng đơn $11\%$ mỗi kì trong hai kì. So số cuối.
Gợi ý bài 10
A có hệ số $1{,}21$, B có hệ số $1{,}22$.
-
A tăng $6\%$, phí $12$; B tăng $4\%$, phí $2$, cùng một kì và mức đầu $V$. Tìm ngưỡng so sánh.
Gợi ý bài 11
Hiệu hai số tăng ròng là $0{,}02V-10$.
-
Hai mức đầu dương khác nhau cùng tăng $r>0$ qua hai kì ghép, không phí. Chứng minh tỉ số hai mức không đổi và độ lớn hiệu tăng lên.
Gợi ý bài 12
Viết cả hai số cuối với cùng hệ số $(1+r)^2$.
-
Một mức đầu $1000$ giảm $10\%$ mỗi kì. Sau hai kì có $810$. Có phải giảm chung $20\%$ không?
Gợi ý bài 13
Chia $1000-810$ cho $1000$.
-
Cùng mức đầu, A hai kì tăng $5\%$, B một kì tăng $s$. Tìm $s$ tương đương và nêu điều kiện so thời gian.
Gợi ý bài 14
$1+s=1{,}05^2$.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
$1050;1102{,}5;1157{,}625$. Kì nhỏ nhất $3$ vì dãy tăng và kì hai dưới $1150$.
-
B lớn hơn $0{,}01V$. Từ “ghép” không tự làm kết quả lớn hơn khi tỉ lệ khác nhau.
-
Bằng tại $V=500$. A lớn hơn nếu $V>500$; B lớn hơn nếu $0<V<500$.
-
Tỉ số giữ nguyên do triệt tiêu cùng hệ số $(1+r)^2$. Gọi hai mức đầu $0<a<b$. Độ lớn hiệu cuối là $(b-a)(1+r)^2>b-a$. Không lẫn bảo toàn tỉ số với bảo toàn hiệu.
-
Giảm chung $19\%$. Hệ số $0{,}9^2=0{,}81$.
-
$s=10{,}25\%$. Một kì B phải tương ứng toàn bộ hai kì A nếu so cùng khoảng thời gian.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Đầu $1000$, hai kì ghép $10\%$. Muốn số cuối bằng mô hình vốn $x$, một kì $5\%$. Tìm $x$ chính xác.
Gợi ý bài 15
Giải $1{,}05x=1210$.
-
A đầu $1100$, tăng $5\%$ mỗi kì; B đầu $1000$, tăng $10\%$ mỗi kì. Không phí. Tìm kì nguyên nhỏ nhất khi B không thấp hơn A bằng bảng ngắn.
Gợi ý bài 16
So cả hai sau mỗi kì, không chỉ so phần tăng.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$x=1210/1{,}05=24200/21$ đơn vị. Kết quả là số hữu tỉ; nếu chỉ cho mức nguyên thì không có nghiệm bằng chính xác, cần đổi yêu cầu.
-
Kì một: A $1155$, B $1100$; kì hai: A $1212{,}75$, B $1210$; kì ba: A $1273{,}3875$, B $1331$. B đầu thấp hơn, nên kì nhỏ nhất là $3$.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.