Suy ra công thức nghiệm bậc hai bằng hoàn thành bình phương – lớp 9

Nhân với $4a\ne0$: $4a^2x^2+4abx+4ac=0$. Chuyển $4ac$ rồi cộng $b^2$: $4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$; vế trái là $(2ax+b)^2$. Mọi bước tương đương.

$2ax+b=\sqrt\Delta$ hoặc $-\sqrt\Delta$, nên $x=(-b+\sqrt\Delta)/(2a)$ hoặc $x=(-b-\sqrt\Delta)/(2a)$. Vì $\sqrt\Delta>0$ và $2a\ne0$, hai giá trị khác nhau. Không cần giả sử $a$ dương.

$\Delta=0$ cho $x=-b/(2a)$, một giá trị (nghiệm kép). $\Delta<0$ không thể là bình phương số thực nên không có nghiệm thực.

$a=2,b=3,c=-2$, $\Delta=9+16=25$. $(4x+3)^2=25$ nên $4x+3=\pm5$, cho $x=1/2$ hoặc $x=-2$.

$\Delta=4$, nên $(2x-4)^2=4$.

$\Delta=9$, $(4x+1)^2=9$.

$x=1/2$ hoặc $x=-1$.

$x=1/3$, một giá trị nghiệm.

$(-4x+5)^2=9$, nên $x=1/2$ hoặc $x=2$.

Nếu $U=V$, nhân cùng mọi hằng cho đẳng thức; với hằng khác 0 còn chia ngược được. Quy tắc đổi chiều áp dụng cho bất đẳng thức, không áp cho dấu bằng.

Khi $\Delta>0$ sẽ mất nghiệm từ $2ax+b=-\sqrt\Delta$; hai nghiệm phân biệt. Nếu $\Delta=0$, hai nhánh trùng, nên không mất giá trị.

Với $x=(-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)$, ta có $2ax+b=\pm\sqrt\Delta$, nên bình phương bằng $\Delta$. Chuỗi biến đổi tương đương suy phương trình gốc bằng 0.

Không. Với $a<0,\Delta>0$, hiệu âm nên nhánh cộng nhỏ hơn; ví dụ $-x^2+3x-2=0$ cho nhánh cộng $1$, nhánh trừ $2$.

Không. $(2ax+b)^2=\Delta$ tương đương đề; thay bằng $|\Delta|$ tạo phương trình khác. Ví dụ $x^2+1=0$ không có nghiệm thực, không được biến thành $x^2=1$.

Vế phải $4a^2x^2+4abx+b^2-(b^2-4ac)=4a(ax^2+bx+c)$. Vì vậy $\Delta$ phải là $b^2-4ac$, không phải cộng.

Khoảng cách bằng trị tuyệt đối của hiệu: $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta/|a|$. Nếu viết $\sqrt\Delta/a$ với $a<0$ sẽ âm, không là khoảng cách.