Tạo hình trụ từ hình chữ nhật và hai đáy
Tạo lập mô hình trụ, nón và cầu · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-43-B1
Bài này tập trung vào tạo hình trụ từ hình chữ nhật và hai đáy. Em kiểm điều kiện và đối tượng trước khi tính; phần nâng cao yêu cầu giải thích, suy ngược hoặc xét những dữ kiện chưa đủ.
Sau bài này, em có thể:
- Tạo hình trụ từ hình chữ nhật và hai đáy.
- Chọn đúng điều kiện, đơn vị và cách kiểm kết quả.
- Giải bài suy ngược hoặc phân biệt kết luận duy nhất với dữ kiện chưa đủ.
Cần biết trước: Mô-đun 41–42; thao tác với giấy hoặc vật liệu mềm phù hợp.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Mặt quanh trụ khai triển thành chữ nhật có hai cạnh $2\pi r,h$; trụ kín cần thêm hai đĩa. Mép dán, độ dày và phần hao hụt được ghi riêng.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Khai triển
Cơ bản
Đề bài
Trụ $r=2,h=5$ cm cần những mảnh nào, bỏ mép dán?
Lời giải và cách suy nghĩ
Một chữ nhật $4\pi\times5$ cm và hai đĩa bán kính $2$ cm. Cạnh cuộn dài đúng chu vi đáy.
Cách tự kiểm
Chu vi đáy là $2\pi r$.
Ví dụ 2. Chọn hướng cuộn
Cơ bản
Đề bài
Giấy $12\times8$ cm cuộn cạnh $12$ thành chu vi. Tìm $r,h$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$r=6/\pi$ cm, $h=8$ cm; cạnh còn lại là chiều cao.
Cách tự kiểm
Phân biệt cạnh cuộn và chiều cao.
Ví dụ 3. Mép dán
Cơ bản
Đề bài
Muốn chu vi trụ $18$ cm, mép chồng $1$ cm thì cắt chiều dài bao nhiêu?
Lời giải và cách suy nghĩ
Cắt $19$ cm; phần hữu ích $19-1=18$ cm, nên $r=9/\pi$ cm.
Cách tự kiểm
Mép chồng không tạo thêm chu vi.
Ví dụ 4. Một đáy
Vận dụng
Đề bài
Hộp trụ mở trên, $r=3,h=4$ cm. Nêu các mảnh và tổng diện tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
Một chữ nhật $6\pi\times4$ và một đĩa $r=3$; tổng $24\pi+9\pi=33\pi$ cm².
Cách tự kiểm
Chỉ đếm đáy có thật.
Ví dụ 5. Đổi hướng
Vận dụng
Đề bài
Giấy $a\times b$ với $a,b>0$ cuộn cạnh $a$ thành chu vi. Viết thể tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
$r=a/(2\pi),h=b$, nên $V=a^2b/(4\pi)$. Giả sử không mất giấy ở chỗ dán.
Cách tự kiểm
Thay bán kính vào công thức trụ.
Ví dụ 6. So hai cách cuộn
Nâng cao
Đề bài
Giấy $12\times8$ cuộn theo hai hướng, so thể tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
$V_1=288/\pi,V_2=192/\pi$ cm³, tỉ số $3/2$. Diện tích quanh bằng nhau không buộc thể tích bằng nhau.
Cách tự kiểm
Dùng kết quả $a^2b/(4\pi)$.
Ví dụ 7. Suy ngược
Nâng cao
Đề bài
Trụ có chu vi đáy $10\pi$ cm và diện tích quanh $70\pi$ cm². Thiết kế các mảnh.
Lời giải và cách suy nghĩ
$r=5,h=7$ cm. Chữ nhật $10\pi\times7$ và hai đĩa bán kính $5$ nếu kín.
Cách tự kiểm
Diện tích chữ nhật là chu vi nhân chiều cao.
Ví dụ 8. Điều kiện ghép
Thử thách
Đề bài
Giấy quanh dài $L$, mép chồng $s$, đáy bán kính $r>0$. Điều kiện ghép vừa là gì?
Lời giải và cách suy nghĩ
$L-s=2\pi r$ với $0\le s<L$. Nếu dài ngắn khác nhau mà không cắt/chỉnh thì không ghép vừa trong mô hình.
Cách tự kiểm
So chiều dài hữu ích với chu vi.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
- Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
- Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Thiết kế trụ $r=3$ cm, $h=8$ cm. Nêu kích thước chữ nhật xung quanh và hai đáy, bỏ mép dán.
Gợi ý bài 1
Cạnh cuộn bằng chu vi đáy, cạnh còn lại bằng chiều cao.
-
Dùng giấy tạo trụ cao $6$ cm, chu vi đáy $12$ cm. Ghi kích thước cắt và trạng thái thực hiện.
Gợi ý bài 2
Ghi kích thước hữu ích và tách trạng thái chưa làm với sản phẩm thật.
-
Giấy $20\times7$ cm cuộn cạnh $20$ thành chu vi đáy. Tính bán kính và chiều cao trụ lí tưởng.
Gợi ý bài 3
Cạnh 20 là chu vi, không phải đường kính.
-
Hai đáy bán kính $4$ cm, tờ quanh dài $20$ cm. Có ghép kín vừa không?
Gợi ý bài 4
So chiều dài giấy với $2\pi r$.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Chữ nhật $6\pi\times8$ cm và hai đĩa bán kính $3$ cm.
-
Chữ nhật $12\times6$ cm; nếu kín cần hai đáy bán kính $6/\pi$ cm. Ghi sản phẩm thật hoặc chưa tạo, không dùng đáp án tính thay bằng chứng thao tác.
-
$r=20/(2\pi)=10/\pi$ cm, $h=7$ cm.
-
Không; cần chiều dài hữu ích $8\pi\approx25{,}13$ cm, chưa kể mép dán; $20$ cm bị thiếu.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Thiết kế trụ kín $r=1,h=6$ cm, bỏ mép dán.
Gợi ý bài 5
Đánh dấu cạnh tạo chu vi rồi cộng đúng hai đáy.
-
Thiết kế trụ kín $r=2,h=7$ cm, bỏ mép dán.
Gợi ý bài 6
Đánh dấu cạnh tạo chu vi rồi cộng đúng hai đáy.
-
Thiết kế trụ kín $r=4,h=5$ cm, bỏ mép dán.
Gợi ý bài 7
Đánh dấu cạnh tạo chu vi rồi cộng đúng hai đáy.
-
Thiết kế trụ kín $r=5,h=3$ cm, bỏ mép dán.
Gợi ý bài 8
Đánh dấu cạnh tạo chu vi rồi cộng đúng hai đáy.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Chữ nhật $2\pi\times6$ cm; hai đĩa bán kính $1$ cm. Tổng vật liệu $14\pi$ cm².
-
Chữ nhật $4\pi\times7$ cm; hai đĩa bán kính $2$ cm. Tổng vật liệu $36\pi$ cm².
-
Chữ nhật $8\pi\times5$ cm; hai đĩa bán kính $4$ cm. Tổng vật liệu $72\pi$ cm².
-
Chữ nhật $10\pi\times3$ cm; hai đĩa bán kính $5$ cm. Tổng vật liệu $80\pi$ cm².
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Chỉ biết giấy quanh có diện tích $48$ cm². Có tìm duy nhất bán kính trụ không?
Gợi ý bài 9
Tìm hai phân tích cùng một tích.
-
Giấy dài $20$ cm, cao $0{,}1$ m. Viết bản cắt theo cm.
Gợi ý bài 10
Đổi cùng đơn vị trước.
-
Hai đĩa có đường kính $6$ và $6{,}2$ cm. Có là hai đáy bằng nhau của trụ lí tưởng không?
Gợi ý bài 11
Thiết kế và đo thực khác vai trò.
-
Chưa cắt giấy nhưng đã tính đủ kích thước. Ghi báo cáo thế nào?
Gợi ý bài 12
Kết quả tính không chứng minh đã làm sản phẩm.
-
Mép dán đáy thêm ra ngoài bán kính $r$ có làm dung tích thiết kế tăng không?
Gợi ý bài 13
Phân biệt vật liệu và không gian chứa.
-
Có $60\pi$ cm² giấy chỉ làm mặt quanh cho trụ $r=3,h=4$ cm. Cắt được tối đa bao nhiêu theo diện tích?
Gợi ý bài 14
Điều kiện diện tích cần nhưng chưa đủ cho xếp hình.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Không. Chữ nhật $12\times4$ cho $r=6/\pi$; $8\times6$ cho $r=4/\pi$. Cùng diện tích nhưng hai bán kính khác.
-
Đổi $0{,}1$ m thành $10$ cm: chữ nhật $20\times10$, $r=10/\pi$ cm. Không lấy $h=0{,}1$ cm.
-
Không; đường kính khác nhau. Với vật thật cần ghi sai lệch $0{,}2$ cm, không tự sửa số đo thành bằng nhau.
-
Ghi “bản thiết kế, chưa tạo”; liệt kê kích thước dự kiến, dụng cụ và phép kiểm sẽ làm. Không gọi kích thước dự kiến là số đo thực.
-
Không trong mô hình: dung tích do bán kính trong và chiều cao trong quyết định. Mép dán chỉ tăng vật liệu, cần mô tả riêng.
-
Mỗi mặt cần $24\pi$; diện tích chỉ cho cận tối đa $2$. Chưa bảo đảm bố trí cắt được hai mảnh nếu không biết hình tờ giấy.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Với giấy $a\times b$, khi nào hai hướng cuộn cho thể tích bằng nhau?
Gợi ý bài 15
Khử các thừa số dương.
-
Giấy quanh có chu vi $28$ cm, cạnh tạo chu vi trụ gấp đôi chiều cao. Tìm kích thước và bán kính.
Gợi ý bài 16
Chu vi giấy khác chu vi đáy trụ.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Hai thể tích $a^2b/(4\pi)$ và $ab^2/(4\pi)$ bằng nhau khi $ab(a-b)=0$. Do $a,b>0$, chỉ khi $a=b$.
-
Gọi chiều cao $h>0$, cạnh cuộn $2h$. $2(2h+h)=28$ nên $h=14/3$, cạnh $28/3$ cm và $r=14/(3\pi)$ cm.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.