Tính diện tích hình ghép từ phần hình tròn
Vành khuyên, viên phân và diện tích ghép · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-37-B4
Hình ghép được tính bằng các miền có phần trong không chồng nhau, hoặc bằng phép cộng trừ có kiểm phần giao. Bài khó cần mô tả chính xác vùng cần tìm.
Sau bài này, em có thể:
- Tính diện tích hình ghép từ phần hình tròn
- Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.
Cần biết trước: Mô-đun 24,36; phân chia hình và diện tích tam giác.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Với các miền phẳng, chỉ cộng trực tiếp khi phần trong rời nhau. Nếu hai miền chồng nhau,
Khi cắt bỏ, phải xác nhận phần bị bỏ nằm trong miền ban đầu. Với hình tròn, có thể kết hợp quạt, tam giác, viên phân và vành khuyên.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Vuông bỏ đĩa nội tiếp
Làm quen
Đề bài
Hình vuông cạnh $12$ cm bỏ đĩa nội tiếp. Tính phần còn.
Lời giải và cách suy nghĩ
Bán kính đĩa $6$ cm nên phần còn $144-36\pi$ cm$^2$.
Cách tự kiểm
Đĩa nội tiếp có đường kính bằng cạnh vuông.
Ví dụ 2. Chữ nhật ghép nửa đĩa
Làm quen
Đề bài
Chữ nhật $10\times6$ cm ghép một nửa đĩa bán kính $5$ cm dọc cạnh dài, phần trong rời nhau. Tính diện tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
$S=60+25\pi/2$ cm$^2$.
Cách tự kiểm
Đường kính $10$ khớp cạnh ghép.
Ví dụ 3. Quạt vành khuyên
Vận dụng
Đề bài
Quạt góc $90^\circ$, bán kính ngoài $8$, trong $4$ cm, đồng tâm. Tính diện tích vùng giữa.
Lời giải và cách suy nghĩ
$S=(1/4)\pi(64-16)=12\pi$ cm$^2$.
Cách tự kiểm
Chỉ lấy một phần tư diện tích cả vành khuyên.
Ví dụ 4. Hợp hai đĩa có số giao cho sẵn
Vận dụng
Đề bài
Hai đĩa mỗi đĩa diện tích $25\pi$ cm$^2$, phần giao diện tích $10$ cm$^2$. Tính diện tích hợp.
Lời giải và cách suy nghĩ
$S_{hợp}=50\pi-10$ cm$^2$.
Cách tự kiểm
Phần giao chỉ bị trừ một lần sau khi cộng hai đĩa.
Ví dụ 5. Hai đĩa tiếp xúc ngoài
Nâng cao
Đề bài
Hai đĩa bán kính $3,4$ cm tiếp xúc ngoài. Tính diện tích hợp.
Lời giải và cách suy nghĩ
Phần giao chỉ là một điểm, diện tích $0$, nên tổng diện tích $9\pi+16\pi=25\pi$ cm$^2$.
Cách tự kiểm
Tiếp xúc ngoài không tạo phần diện tích chồng dương.
Ví dụ 6. Hai đĩa chứa nhau
Nâng cao
Đề bài
Đĩa bán kính $3$ cm nằm hoàn toàn trong đĩa bán kính $7$ cm. Tính diện tích hợp và phần lớn ngoài nhỏ.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hợp chính là đĩa lớn, diện tích $49\pi$ cm$^2$. Phần lớn ngoài nhỏ $49\pi-9\pi=40\pi$ cm$^2$, dù hai tâm có thể khác.
Cách tự kiểm
Tên vành khuyên cần đồng tâm, nhưng phép trừ diện tích không cần đồng tâm nếu chứa nhau.
Ví dụ 7. Hình sân vận động
Thử thách
Đề bài
Chữ nhật dài $20$, rộng $10$ m ghép hai nửa đĩa ngoài ở hai cạnh rộng, phần trong rời nhau. Tính diện tích và chu vi.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai nửa đĩa tạo một đĩa bán kính $5$. Diện tích $200+25\pi$ m$^2$; chu vi gồm hai cạnh dài và hai nửa cung, bằng $40+10\pi$ m.
Cách tự kiểm
Hai cạnh rộng nằm bên trong chỗ ghép, không tính vào chu vi.
Ví dụ 8. Hai đĩa bằng nhau có khoảng cách tâm R
Thử thách
Đề bài
Hai đĩa cùng bán kính $R$, khoảng cách hai tâm bằng $R$. Tính diện tích giao.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tam giác nối hai tâm với một giao điểm là đều. Mỗi quạt trong phần giao có góc $120^\circ$. Giao gồm hai viên phân $120^\circ$, nên $S_{giao}=2(\pi R^2/3-\sqrt3R^2/4)=(2\pi/3-\sqrt3/2)R^2$.
Cách tự kiểm
Không dùng góc $60^\circ$ cho cả quạt; nó là nửa góc tại mỗi tâm.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
- Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Hình vuông cạnh $10$ cm bỏ hình tròn nội tiếp. Tính diện tích còn lại.
Gợi ý bài 1
Trừ diện tích đĩa nội tiếp khỏi diện tích hình vuông.
-
Một nửa đĩa bán kính $6$ cm ghép với hình chữ nhật $12\times4$ cm dọc đường kính, hai miền trong rời nhau. Tính tổng diện tích.
Gợi ý bài 2
Cộng hai miền vì đề đã cho phần trong rời nhau.
-
Quạt $120^\circ$ bán kính $9$ cm bỏ quạt đồng tâm cùng góc bán kính $3$ cm. Tính phần còn lại.
Gợi ý bài 3
Trừ hai quạt cùng góc và đồng tâm.
-
Một hình gồm hai đĩa chồng nhau. Bạn cộng hai diện tích để tính diện tích hợp. Cần sửa điều gì?
Gợi ý bài 4
Cộng hai đĩa đã đếm phần chung hai lần, nên phải trừ một lần.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$100-\pi\cdot5^2=100-25\pi$ cm$^2$.
-
Nửa đĩa có diện tích $18\pi$ cm$^2$, chữ nhật $48$ cm$^2$; tổng $48+18\pi$ cm$^2$.
-
$(1/3)\pi(81-9)=24\pi$ cm$^2$.
-
Phải trừ diện tích phần chồng đúng một lần; cộng trực tiếp đã đếm phần chung hai lần.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Hình vuông cạnh $8$ cm bỏ đĩa nội tiếp. Tính phần còn.
Gợi ý bài 5
Bán kính bằng $4$ cm.
-
Hai nửa đĩa bán kính $3$ cm ghép dọc đường kính, phần trong rời nhau. Tính diện tích hợp.
Gợi ý bài 6
Đường kính ghép không còn là biên ngoài.
-
Quạt đồng tâm góc $120^\circ$, bán kính $9,6$ cm. Tính vùng giữa.
Gợi ý bài 7
Cùng góc cho phép trừ hai quạt.
-
Hai miền diện tích $30,24$ cm$^2$, phần giao $8$ cm$^2$. Tính hợp.
Gợi ý bài 8
Hợp không thể lớn hơn tổng $54$.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$64-16\pi$ cm$^2$.
-
Tạo đĩa tròn, diện tích $9\pi$ cm$^2$.
-
$S=(1/3)\pi(81-36)=15\pi$ cm$^2$.
-
$30+24-8=46$ cm$^2$.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Biết hai đĩa bán kính $4,5$ cm nhưng chưa biết vị trí tương đối. Có xác định diện tích hợp không?
Gợi ý bài 9
Hai bán kính không xác định phần chồng.
-
Vuông cạnh $10$ cm bỏ đĩa bán kính $3$ cm ở bên trong. Bạn tính $(10-3)^2$. Sửa.
Gợi ý bài 10
Phép trừ hình không tương ứng phép trừ các độ dài tùy ý.
-
Chữ nhật $6\times4$ cm và hai nửa đĩa bán kính $2$ cm ghép ngoài dọc hai cạnh rộng. Tính diện tích.
Gợi ý bài 11
Các phần trong được cho rời nhau.
-
Tấm vuông cạnh $20$ cm bỏ hai lỗ tròn bán kính $3,4$ cm nằm trong và không chồng nhau. Tính diện tích còn.
Gợi ý bài 12
Không chồng nhau mới trừ riêng hai diện tích mà không cộng bù giao.
-
Tấm diện tích $100$ cm$^2$ bỏ hợp hai miền lỗ diện tích $20,15$ cm$^2$ và giao $5$ cm$^2$. Tính còn lại.
Gợi ý bài 13
Không trừ phần giao hai lần khỏi tấm.
-
Vành khuyên $R=10,r=6$ cm chia thành tám phần bằng góc ở tâm. Tính diện tích mỗi phần.
Gợi ý bài 14
Chia theo góc đều trên các đường tròn đồng tâm.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Không. Nếu rời nhau hợp $41\pi$; nếu đĩa nhỏ nằm trong lớn hợp $25\pi$ cm$^2$. Cần dữ kiện vị trí hoặc diện tích giao.
-
Phải trừ diện tích: $100-9\pi$ cm$^2$. Miền còn lại không là hình vuông cạnh $7$.
-
$24+4\pi$ cm$^2$. Hai nửa đĩa cộng thành một đĩa.
-
$400-9\pi-16\pi=400-25\pi$ cm$^2$.
-
Phần bỏ có diện tích $20+15-5=30$ cm$^2$, còn $70$ cm$^2$.
-
Cả vành khuyên $64\pi$ cm$^2$, mỗi phần $8\pi$ cm$^2$, góc $45^\circ$.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Hai đĩa bán kính $R$ cách tâm nhau $R$. Dùng diện tích giao $G=(2\pi/3-\sqrt3/2)R^2$, tìm tổng diện tích chỉ thuộc đúng một đĩa.
Gợi ý bài 15
“Đúng một” khác “ít nhất một”, nên trừ hai lần phần giao từ tổng.
-
Hai miền diện tích $A,B$ và giao $G$. Chứng minh $\max(A,B)\le A+B-G\le A+B$.
Gợi ý bài 16
Hợp chứa từng miền và không vượt tổng hai diện tích.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Tổng ấy bằng $2\pi R^2-2G=(2\pi/3+\sqrt3)R^2$. Mỗi điểm phần giao phải bị loại khỏi cả hai lượt đếm.
-
Vì $0\le G\le\min(A,B)$, lấy tổng trừ $G$ cho cận trên và cận dưới. Điều này kiểm nhanh một kết quả diện tích hợp.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.