Tính diện tích xung quanh hình nón

Hình nón và các phép tính · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-41-B2

Bài này tập trung vào tính diện tích xung quanh hình nón. Em kiểm điều kiện và đối tượng trước khi tính; phần nâng cao yêu cầu giải thích, suy ngược hoặc xét những dữ kiện chưa đủ.

Sau bài này, em có thể:

• Tính diện tích xung quanh hình nón.
• Chọn đúng điều kiện, đơn vị và cách kiểm kết quả.
• Giải bài suy ngược hoặc phân biệt kết luận duy nhất với dữ kiện chưa đủ.

Cần biết trước: Mô-đun 24,36,40; phân biệt chiều cao với đường sinh. Phần nâng cao dùng phương trình, hệ bậc nhất và điều kiện nghiệm dương.

1. Kiến thức và phương pháp

Mặt quanh nón có diện tích

Quạt khai triển có bán kính $l$, cung $2\pi r$. Nếu có một đáy, cộng $\pi r^2$. Nón không suy biến cần $l>r>0$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Từ hai độ dài

Cơ bản

Đề bài

$r=5,l=13$ cm. Tính mặt quanh.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S_{\mathrm{xq}}=\pi rl=65\pi$ cm$^2$. Không dùng chiều cao $12$ thay đường sinh.

Cách tự kiểm

Xác định đúng $r,l$.

Ví dụ 2. Đường kính

Cơ bản

Đề bài

Đường kính đáy $14$ cm, $l=15$ cm. Tính mặt quanh.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=7$ cm nên $S_{\mathrm{xq}}=105\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Chia đôi đường kính.

Ví dụ 3. Tìm đường sinh trước

Cơ bản

Đề bài

$r=8,h=15$ cm. Tính mặt quanh.

Lời giải và cách suy nghĩ

$l=17$ cm nên $S_{\mathrm{xq}}=136\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Dùng Pythagore trước.

Ví dụ 4. Có một đáy

Vận dụng

Đề bài

Nón $r=4,l=9$ cm phủ quanh và một đáy. Tính diện tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S=36\pi+16\pi=52\pi$ cm$^2$. Mặt quanh riêng chỉ là $36\pi$.

Cách tự kiểm

Tách từng mặt cần phủ.

Ví dụ 5. Giải thích công thức

Vận dụng

Đề bài

Quạt khai triển có bán kính $l$, cung $2\pi r$. Giải thích diện tích quanh.

Lời giải và cách suy nghĩ

Diện tích quạt $\frac12l(2\pi r)=\pi rl$. Bán kính quạt là đường sinh, không phải bán kính đáy.

Cách tự kiểm

Dùng nửa tích bán kính quạt và chiều dài cung.

Ví dụ 6. Suy ngược

Nâng cao

Đề bài

$S_{\mathrm{xq}}=84\pi$ cm$^2$, $l=14$ cm. Tìm $r,h$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=6$ cm; $h=\sqrt{196-36}=4\sqrt{10}$ cm. Có $0<r<l$ nên nón hợp lệ.

Cách tự kiểm

Tìm bán kính rồi kiểm điều kiện.

Ví dụ 7. Một diện tích chưa đủ

Nâng cao

Đề bài

$S_{\mathrm{xq}}=60\pi$ cm$^2$ có xác định nón duy nhất không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: $(r,l)=(5,12)$ hoặc $(6,10)$ cm đều có $rl=60$ và $l>r>0$.

Cách tự kiểm

Tìm hai tích bằng nhau.

Ví dụ 8. Khoảng bán kính

Thử thách

Đề bài

$S_{\mathrm{xq}}=K\pi$, $K>0$. Tìm mọi bán kính có thể.

Lời giải và cách suy nghĩ

$l=K/r$. Điều kiện $l>r>0$ tương đương $0<r<\sqrt K$. Mỗi giá trị trong khoảng cho chiều cao dương; biên làm $h=0$.

Cách tự kiểm

Chuyển điều kiện hình học thành bất đẳng thức.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
• Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
• Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Hình nón có $r=4$ cm, $l=10$ cm. Tính diện tích xung quanh.

   Gợi ý bài 1

   Dùng $S_{\rm xq}=\pi rl$ với hai độ dài đã cho.

2. Nón có đường kính đáy $12$ cm, $l=10$ cm. Tính diện tích xung quanh.

   Gợi ý bài 2

   Đổi đường kính thành bán kính trước.

3. Giải thích $S_{\rm xq}=\pi rl$ bằng quạt tròn có bán kính $l$ và cung dài $2\pi r$.

   Gợi ý bài 3

   Diện tích quạt bằng nửa tích bán kính quạt với độ dài cung.

4. Nón có $r=3$ cm, $l=5$ cm và được tính cả một đáy. Tính diện tích toàn bộ bề mặt.

   Gợi ý bài 4

   Cộng mặt quanh và đúng một đĩa đáy.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $S_{\rm xq}=\pi rl=40\pi$ cm².

2. $r=6$ cm, nên $S_{\rm xq}=\pi\cdot6\cdot10=60\pi$ cm².

3. Diện tích quạt bằng $\frac12 l(2\pi r)=\pi rl$; quạt là mặt xung quanh được khai triển.

4. $S=\pi rl+\pi r^2=15\pi+9\pi=24\pi$ cm².

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. $r=3,l=10$ cm. Tính quanh và diện tích kể cả một đáy.

   Gợi ý bài 5

   Cộng đúng một đĩa đáy.

6. $r=6,l=13$ cm. Tính quanh và diện tích kể cả một đáy.

   Gợi ý bài 6

   Cộng đúng một đĩa đáy.

7. $r=7,l=25$ cm. Tính quanh và diện tích kể cả một đáy.

   Gợi ý bài 7

   Cộng đúng một đĩa đáy.

8. $r=9,l=15$ cm. Tính quanh và diện tích kể cả một đáy.

   Gợi ý bài 8

   Cộng đúng một đĩa đáy.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $S_{\mathrm{xq}}=30\pi$ cm$^2$; thêm đáy được $S=39\pi$ cm$^2$.

6. $S_{\mathrm{xq}}=78\pi$ cm$^2$; thêm đáy được $S=114\pi$ cm$^2$.

7. $S_{\mathrm{xq}}=175\pi$ cm$^2$; thêm đáy được $S=224\pi$ cm$^2$.

8. $S_{\mathrm{xq}}=135\pi$ cm$^2$; thêm đáy được $S=216\pi$ cm$^2$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. $r,l$ cùng tăng $3$ lần. Mặt quanh đổi thế nào?

   Gợi ý bài 9

   Đếm số thừa số được nhân.

10. $l=8$ cm, mặt quanh $80\pi$ cm$^2$. Có nón phù hợp không?

    Gợi ý bài 10

    Giải rồi kiểm hình học.

11. Hai nón cùng $r=4$ cm, đường sinh $9,12$ cm. Tính chênh lệch mặt quanh.

    Gợi ý bài 11

    Đặt nhân tử chung.

12. $r=3$ cm, quanh cộng một đáy bằng $30\pi$ cm$^2$. Tìm $l$.

    Gợi ý bài 12

    Trừ diện tích đáy trước.

13. $l=10$ cm chính xác, $2{,}9\le r\le3{,}1$ cm. Chặn mặt quanh.

    Gợi ý bài 13

    Không nhận một giá trị chính xác từ cả khoảng.

14. Mặt quanh $48\pi$ cm$^2$, mép dán thêm $8$ cm$^2$. Bác bỏ $56\pi$.

    Gợi ý bài 14

    Giữ ý nghĩa từng số hạng.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $S_1=\pi(3r)(3l)=9S$. Hai thừa số độ dài cùng thay đổi.

10. Đại số cho $r=10$ cm nhưng $r>l$, không thể có chiều cao dương. Không tồn tại nón thỏa cả hai dữ kiện.

11. $\Delta S=\pi r(12-9)=12\pi$ cm$^2$. Không cần tìm chiều cao.

12. $3l+9=30$ nên $l=7$ cm; $h=\sqrt{40}>0$.

13. Nhân với $10\pi>0$ được $29\pi\le S_{\mathrm{xq}}\le31\pi$ cm$^2$.

14. Tổng đúng $48\pi+8$ cm$^2$. Phần $8$ đã là diện tích, không phải hệ số của $\pi$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. $r+l=18$ cm, mặt quanh $72\pi$ cm$^2$. Tìm $r,l$.

    Gợi ý bài 15

    Dùng điều kiện phân vai hai nghiệm.

16. Diện tích toàn phần $K\pi$. Chứng minh $0<r<\sqrt{K/2}$ cho nón không suy biến.

    Gợi ý bài 16

    Giữ bất đẳng thức nghiêm ngặt.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $rl=72$. Hai số có tổng $18$, tích $72$ là $6,12$. Vì $l>r$, chỉ nhận $r=6,l=12$ cm.

16. $r(l+r)=K$ nên $l=K/r-r$. Điều kiện $l>r>0$ cho $K>2r^2$. Biên làm $l=r,h=0$, bị loại.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.