Tính giá trị căn thức và giữ điều kiện ban đầu

Căn thức đại số và điều kiện xác định · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-04-B5

Một công thức rút gọn chỉ được dùng trên miền ban đầu. Tính giá trị, giải phương trình hoặc so sánh hai biểu thức đều cần mang theo những giá trị đã bị loại bởi căn và mẫu.

Sau bài này, em có thể:

• Giữ miền ban đầu khi rút gọn, thay số và giải phương trình.
• Phân biệt nghiệm đại số, nghiệm hợp lệ và các trường hợp tham số.

Cần biết trước: Mô-đun 02–03; biểu thức đại số và bất đẳng thức đơn giản.

1. Kiến thức và phương pháp

Quy trình: ghi miền ban đầu, biến đổi trên miền ấy, rồi thử giá trị hoặc nghiệm ứng viên vào biểu thức gốc. Công thức rút gọn có thể có miền tự nhiên rộng hơn, nhưng không vì thế mà biểu thức ban đầu được bổ sung giá trị. Phân biệt $\sqrt{u^2}=|u|$ với $\sqrt[3]{u^3}=u$; khi bình phương phương trình có căn bậc hai, phải giữ điều kiện dấu và thử lại.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Căn ở tử, mẫu tuyến tính

Cơ bản

Đề bài

Cho $A=\sqrt{x-4}/(x-5)$. Tìm miền và tính tại $x=8$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $x\ge4$ và $x\ne5$. Tại $8$, $A=2/3$. Điều kiện mẫu không mất chỉ vì căn tử có nghĩa.

Cách tự kiểm

Ghi hai yêu cầu trước thay số.

Ví dụ 2. Một thương chỉ nhận hai giá trị

Cơ bản

Đề bài

Rút gọn $B=\sqrt{(2x-1)^2}/(2x-1)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ne1/2$. Tử là $|2x-1|$, nên $B=1$ khi $x>1/2$ và $B=-1$ khi $x<1/2$.

Cách tự kiểm

Không gán giá trị ở điểm mẫu bằng $0$.

Ví dụ 3. Căn bậc ba sau rút gọn

Cơ bản

Đề bài

Rút gọn $C=\sqrt[3]{(x+3)^3}/(x+3)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ne-3$. Trên miền ấy tử bằng $x+3$, nên $C=1$. Tại $x=-3$, biểu thức gốc không xác định.

Cách tự kiểm

Đẳng thức $C=1$ phải đi kèm miền.

Ví dụ 4. Ứng viên do bình phương

Cơ bản

Đề bài

Giải $\sqrt{x+4}=-1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế căn không âm, vế phải âm nên vô nghiệm. Bình phương cho $x=-3$ nhưng thử lại căn bằng $1$, không phải $-1$.

Cách tự kiểm

Không nhận ứng viên chỉ vì nó thỏa phương trình đã bình phương.

Ví dụ 5. Căn bị bình phương ở tử

Vận dụng

Đề bài

Rút gọn $D=(\sqrt{x-2})^2/(x-2)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Ban đầu cần $x\ge2$ và $x\ne2$, tức $x>2$. Trên miền ấy tử $x-2$, nên $D=1$. Không mở rộng sang $x<2$ sau rút gọn.

Cách tự kiểm

Miền còn bị giới hạn bởi căn gốc.

Ví dụ 6. Giá trị một công thức gọn

Vận dụng

Đề bài

Cho $E=\sqrt{x^2}/x$. Một bạn dùng $E=1$ tại $x=-5$. Sửa.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ne0$, $E=|x|/x$. Với $x=-5$, được $5/(-5)=-1$. Công thức $1$ chỉ đúng ở nhánh $x>0$.

Cách tự kiểm

Kiểm dấu trước khử $x$.

Ví dụ 7. Hai biểu thức gọn giống nhau nhưng miền khác

Nâng cao

Đề bài

So sánh $\sqrt[3]{(x-2)^3}/(x-2)$ và số $1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Biểu thức đầu bằng $1$ trên $x\ne2$, còn công thức số $1$ có nghĩa với mọi $x$. Cùng giá trị trên miền chung không làm hai miền tự nhiên trở thành giống nhau.

Cách tự kiểm

Không gán giá trị $0/0$ bằng $1$.

Ví dụ 8. Một phương trình có nghiệm bị loại

Nâng cao

Đề bài

Giải $(x-1)\sqrt{x+2}=0$ và kiểm miền.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ge-2$. Tích bằng $0$ cho $x=1$ hoặc $\sqrt{x+2}=0$, tức $x=-2$. Cả hai thuộc miền và thỏa đề; không bỏ nghiệm ở biên căn bằng $0$.

Cách tự kiểm

Loại giá trị không hợp lệ nhưng giữ các đầu mút hợp lệ.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bổ sung điểm bị loại sau rút gọn.
• Quên giá trị tuyệt đối trong tử.
• Nhận nghiệm từ phương trình bình phương mà không thử lại.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Cho $A=\sqrt{x-2}/(x-3)$. Tìm miền xác định và tính $A$ tại $x=6$.

   Gợi ý bài 1

   Kiểm căn và mẫu riêng.

2. Cho $B=\sqrt{(x+2)^2}/(x+2)$. Rút gọn và nêu đủ điều kiện.

   Gợi ý bài 2

   Tử là $|x+2|$.

3. Cho $C=\sqrt[3]{(x-5)^3}/(x-5)$. Một bạn nói $C=1$ với mọi $x$. Sửa kết luận.

   Gợi ý bài 3

   Mẫu ban đầu loại giá trị nào?

4. Tìm $x$ để $\sqrt{x+1}=-2$. Bình phương hai vế cho $x=3$; đó có phải nghiệm không?

   Gợi ý bài 4

   Kiểm dấu và thử vào đề gốc.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Miền $x\ge2,x\ne3$. Tại $6$, $A=\sqrt4/3=2/3$.

2. Miền $x\ne-2$. Nếu $x>-2$, $B=1$; nếu $x<-2$, $B=-1$.

3. Cần $x\ne5$. Trên miền đó tử bằng $x-5$, nên $C=1$. Tại $5$, biểu thức gốc không xác định, không được bổ sung giá trị.

4. Không có nghiệm vì căn không âm còn $-2$ âm. Ứng viên $3$ không thỏa: $\sqrt4=2\ne-2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Tìm miền và tính $\sqrt{x+5}/(x-2)$ tại $x=4$.

   Gợi ý bài 5

   Giữ điều kiện của mẫu.

6. Rút gọn $\sqrt[3]{(x-1)^3}/(x-1)$ và giữ miền.

   Gợi ý bài 6

   Đừng bổ sung điểm mẫu bằng $0$.

7. Tính $\sqrt{(x-3)^2}/(x-3)$ tại $x=1$.

   Gợi ý bài 7

   Tử là độ lớn.

8. Giải $\sqrt{x+6}=0$.

   Gợi ý bài 8

   Căn bằng $0$ khi số dưới căn bằng $0$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Miền $x\ge-5,x\ne2$; tại $4$ giá trị $3/2$.

6. Bằng $1$ với $x\ne1$; không xác định tại $1$.

7. Giá trị $|-2|/(-2)=-1$; miền gốc $x\ne3$.

8. $x=-6$, là đầu mút hợp lệ của miền $x\ge-6$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Rút $(\sqrt{x+1})^2/(x+1)$ và so miền với công thức $1$.

   Gợi ý bài 9

   Căn cần không âm, mẫu cần khác $0$.

10. Giải $\sqrt{x+5}=x-1$.

    Gợi ý bài 10

    Vế phải không âm nên $x\ge1$, rồi mới bình phương.

11. Cho $x<0$. Rút $\sqrt{16x^2}/x$ và giải thích vì sao mẫu không cần thêm điều kiện mới.

    Gợi ý bài 11

    $|x|=-x$.

12. Tìm $x$ để $\sqrt{x^2}=2x$.

    Gợi ý bài 12

    Hai miền dấu của $x$ cho hai công thức.

13. Giải $\sqrt{x-1}/(x-4)=0$.

    Gợi ý bài 13

    Tử bằng $0$ và mẫu vẫn khác $0$.

14. Bạn rút $\sqrt{(x-2)^2}$ thành $x-2$ rồi tính tại $x=0$. Chỉ rõ bước cần sửa.

    Gợi ý bài 14

    Giữ độ lớn trước khi thay số.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Miền $x>-1$, trên đó bằng $1$. Công thức $1$ có miền rộng hơn; không vì vậy nhận thêm $x\le-1$ cho biểu thức đầu.

10. Cần $x\ge1$. Bình phương cho $x+5=(x-1)^2$, tức $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)=0$. Ứng viên $4,-1$; chỉ $4$ thỏa miền và đề gốc.

11. Tử $4|x|=-4x$, nên thương $-4$. Điều kiện $x<0$ đã bảo đảm $x\ne0$.

12. Với $x\ge0$, $x=2x$ cho $0$. Với $x<0$, $-x=2x$ cũng chỉ cho $0$, không thuộc miền này. Vậy chỉ $x=0$, thử lại đúng.

13. Miền $x\ge1,x\ne4$. Tử bằng $0$ khi $x=1$, mẫu $-3\ne0$, nên nghiệm duy nhất $1$.

14. Phải viết $|x-2|$. Tại $0$ giá trị $2$, không phải $-2$. Căn gốc có nghĩa ở $0$, lỗi nằm ở bỏ dấu giá trị tuyệt đối chứ không ở điều kiện xác định.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Cho $a<b$. Tìm $x$ để $\sqrt{(x-a)^2}/(x-a)=\sqrt{(x-b)^2}/(x-b)$.

    Gợi ý bài 15

    Mỗi thương là dấu của hiệu tương ứng, với hai điểm bị loại.

16. Giải theo tham số $m$: $\sqrt{x^2-4x+4}/(x-2)=m$.

    Gợi ý bài 16

    Nhận ra bình phương và giữ mẫu khác $0$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Miền $x\ne a,b$. Khi $x<a$, hai thương đều $-1$; khi $x>b$, đều $1$; khi $a<x<b$, lần lượt $1,-1$, không bằng. Tập nghiệm $x<a$ hoặc $x>b$.

16. Miền $x\ne2$; tử $|x-2|$. Nếu $m=1$, mọi $x>2$ là nghiệm; nếu $m=-1$, mọi $x<2$ là nghiệm; nếu $m$ khác $1,-1$, vô nghiệm vì thương chỉ nhận hai giá trị này.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.