Tính vật liệu và dung tích đồ vật dạng hình trụ

Ứng dụng và kiểm tính hợp lí hình khối · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-44-B1

Bài này tập trung vào tính vật liệu và dung tích đồ vật dạng hình trụ. Em kiểm điều kiện và đối tượng trước khi tính; phần nâng cao yêu cầu giải thích, suy ngược hoặc xét những dữ kiện chưa đủ.

Sau bài này, em có thể:

• Tính vật liệu và dung tích đồ vật dạng hình trụ.
• Chọn đúng điều kiện, đơn vị và cách kiểm kết quả.
• Giải bài suy ngược hoặc phân biệt kết luận duy nhất với dữ kiện chưa đủ.

Cần biết trước: Mô-đun 40–43; đổi đơn vị diện tích, thể tích và dung tích.

1. Kiến thức và phương pháp

Dung tích trụ dùng kích thước trong: $V=\pi r^2h$. Vật liệu dùng những mặt thực có: quanh $2\pi rh$ và $0,1,2$ đĩa tùy cấu tạo; mép dán và độ dày cần mô hình riêng.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dung tích

Cơ bản

Đề bài

Bể trụ bán kính trong $2$ m, nước cao $1$ m. Tính lượng nước.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=\pi2^2\cdot1=4\pi$ m³ $=4000\pi$ lít. Dùng chiều cao nước, không tự dùng chiều cao bể.

Cách tự kiểm

Đổi m³ sang lít sau khi tính.

Ví dụ 2. Mở trên

Cơ bản

Đề bài

Hộp trụ $r=3,h=10$ cm mở trên, có đáy. Tính vật liệu lí tưởng.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S=2\pi rh+\pi r^2=69\pi$ cm²; bỏ độ dày và mép ghép.

Cách tự kiểm

Đếm mặt thực có.

Ví dụ 3. Kín hai đáy

Cơ bản

Đề bài

Trụ $r=2,h=7$ cm có hai nắp phẳng. Tính diện tích và dung tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S=28\pi+8\pi=36\pi$ cm²; $V=28\pi$ cm³. Diện tích và thể tích khác đơn vị.

Cách tự kiểm

Ghi cả đơn vị.

Ví dụ 4. Bên trong

Vận dụng

Đề bài

Bình có bán kính ngoài $6$ cm, thành dày $1$ cm; chiều cao trong $10$ cm. Tính dung tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bán kính trong $5$ cm nên $V=250\pi$ mL. Bán kính ngoài không dùng cho dung tích.

Cách tự kiểm

Trừ bề dày theo bán kính.

Ví dụ 5. Chừa khoảng

Vận dụng

Đề bài

Bình trụ dung tích $200\pi$ mL chỉ rót $90\%$. Tính lượng rót.

Lời giải và cách suy nghĩ

$0{,}9\cdot200\pi=180\pi$ mL; khoảng trống $20\pi$ mL.

Cách tự kiểm

Tỉ lệ tính trên dung tích.

Ví dụ 6. Suy chiều cao

Nâng cao

Đề bài

Bể $r=1$ m chứa $750\pi$ lít. Tìm chiều cao nước.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=0{,}75\pi$ m³; $h=V/(\pi r^2)=0{,}75$ m.

Cách tự kiểm

Quy đổi thể tích trước.

Ví dụ 7. Suy hai kích thước

Nâng cao

Đề bài

Trụ kín $h=2r$, diện tích toàn phần $54\pi$ cm². Tìm dung tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

$6\pi r^2=54\pi$ nên $r=3,h=6$; $V=54\pi$ cm³. Bỏ nghiệm bán kính âm.

Cách tự kiểm

Dùng quan hệ hình học để còn một ẩn.

Ví dụ 8. Chưa xác định

Thử thách

Đề bài

Chỉ biết diện tích quanh $60\pi$ cm². Có biết dung tích không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không: $r=3,h=10$ cho $90\pi$; $r=5,h=6$ cho $150\pi$ cm³. Cùng $rh$ nhưng $r^2h$ khác.

Cách tự kiểm

Tìm phản ví dụ.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
• Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
• Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Bể trụ bán kính trong $1$ m, nước cao $1{,}5$ m. Tính thể tích theo m³ và lít.

   Gợi ý bài 1

   Thể tích dùng bán kính trong và chiều cao nước; đổi m³sang lít.

2. Hộp trụ $r=4,h=12$ cm, mở trên và có đáy dưới. Tính vật liệu, bỏ độ dày.

   Gợi ý bài 2

   Hộp mở trên chỉ có một đáy.

3. Bình trụ $r=5,h=20$ cm. Tính dung tích tối đa theo mL trong mô hình.

   Gợi ý bài 3

   $1$ cm$^3$ bằng $1$ mL.

4. Hộp trụ mở trên nhưng bạn cộng hai đáy để tính vật liệu. Sửa biểu thức.

   Gợi ý bài 4

   Liệt kê những mặt thực sự có trước khi cộng diện tích.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $V=1{,}5\pi$ m³ $=1500\pi$ lít.

2. $S=2\pi rh+\pi r^2=96\pi+16\pi=112\pi$ cm².

3. $V=\pi\cdot25\cdot20=500\pi$ cm³ $=500\pi$ mL.

4. Chỉ cộng đáy thực có: $S=2\pi rh+\pi r^2$, không phải $2\pi rh+2\pi r^2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Hộp trụ mở trên $r=2,h=4$ cm. Tính diện tích vật liệu và dung tích.

   Gợi ý bài 5

   Viết hai công thức riêng.

6. Hộp trụ mở trên $r=3,h=5$ cm. Tính diện tích vật liệu và dung tích.

   Gợi ý bài 6

   Viết hai công thức riêng.

7. Hộp trụ mở trên $r=4,h=6$ cm. Tính diện tích vật liệu và dung tích.

   Gợi ý bài 7

   Viết hai công thức riêng.

8. Hộp trụ mở trên $r=5,h=8$ cm. Tính diện tích vật liệu và dung tích.

   Gợi ý bài 8

   Viết hai công thức riêng.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $S=20\pi$ cm²; $V=16\pi$ mL. Có đúng một đáy.

6. $S=39\pi$ cm²; $V=45\pi$ mL. Có đúng một đáy.

7. $S=64\pi$ cm²; $V=96\pi$ mL. Có đúng một đáy.

8. $S=105\pi$ cm²; $V=200\pi$ mL. Có đúng một đáy.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Hai trụ cùng chiều cao, bán kính tỉ lệ $2:3$. So dung tích.

   Gợi ý bài 9

   Không dùng tỉ số bán kính trực tiếp.

10. Rót hết nước từ trụ $r=3,h=8$ cm vào trụ $r=6$ cm. Mực nước mới?

    Gợi ý bài 10

    Bảo toàn thể tích.

11. $r\in[4{,}9;5{,}1]$ cm và $h=10$ cm. Khoảng dung tích?

    Gợi ý bài 11

    Tính tại hai đầu mút.

12. Có diện tích giấy đúng bằng diện tích trụ. Có bảo đảm cắt ghép được không?

    Gợi ý bài 12

    Không thay bài xếp hình bằng chỉ một tổng.

13. Bình $r=2$ cm cao $10$ cm. Mỗi lần rót $15$ mL, tối đa bao nhiêu lần đầy mà không tràn?

    Gợi ý bài 13

    Số lần là số nguyên.

14. Bạn lấy đường kính $10$ làm bán kính khi tính thể tích. Kết quả gấp đúng bao nhiêu?

    Gợi ý bài 14

    Phân tích hệ số sai.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Dung tích tỉ lệ $4:9$, do cùng $h$ và bán kính được bình phương.

10. $9\cdot8=36h$ nên $h=2$ cm, nếu bình đích đủ cao và không thất thoát.

11. $240{,}1\pi\le V\le260{,}1\pi$ mL. Cả hai cận đến từ bình phương bán kính dương.

12. Chưa; hình tờ giấy, cách xếp mảnh, mép dán và hao hụt còn ảnh hưởng. Diện tích là điều kiện cần, chưa đủ.

13. $15n\le40\pi$ nên $n\le8{,}37\ldots$; tối đa $8$ lần. Lần thứ $9$ vượt dung tích.

14. Gấp $4$ vì bán kính dùng gấp $2$ và thể tích chứa bình phương bán kính; chiều cao giữ nguyên.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Hai trụ cùng bán kính, chiều cao tổng $15$ cm và chênh $3$ cm. Tổng thể tích $60\pi$ cm³. Tìm kích thước.

    Gợi ý bài 15

    Giải tổng–hiệu rồi suy bán kính.

16. Trụ có bán kính, chiều cao nguyên dương theo cm và $V=36\pi$ cm³. Liệt kê.

    Gợi ý bài 16

    Liệt kê ước chính phương.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Hai chiều cao $9,6$ cm. $15r^2=60$ nên $r=2$ cm. Các nghiệm đều dương và khớp hai thể tích $36\pi,24\pi$.

16. $r^2h=36$. $r^2$ là ước chính phương của $36$: $1,4,9,36$. Các cặp $(r,h)=(1,36),(2,9),(3,4),(6,1)$, danh sách đủ.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.