Trục căn bằng liên hợp lớp 9: kiểm điểm ngoại lệ

Biến đổi căn thức và trục căn ở mẫu · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-05-B4

Tích hai biểu thức liên hợp tạo hiệu hai bình phương. Trước khi nhân với liên hợp, phải kiểm biểu thức dùng để nhân có khác không; một công thức trục căn có thể không dùng được tại một giá trị mà biểu thức ban đầu vẫn có nghĩa.

Sau bài này, em có thể:

• Trục căn bằng liên hợp với điều kiện hợp lệ.
• Xử lí điểm ngoại lệ, tổng liên tiếp và bài toán ngược.

Cần biết trước: Mô-đun 04; hằng đẳng thức và phân thức lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Hai biểu thức $u+v,u-v$ là liên hợp vì $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$. Nhân một phân thức với liên hợp chia cho chính liên hợp chỉ hợp lệ khi liên hợp khác $0$. Với mẫu $\sqrt x+c$ và $c>0$, liên hợp $\sqrt x-c$ bằng $0$ tại $x=c^2$; có thể tính giá trị gốc riêng ở điểm đó.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Mẫu căn cộng một

Cơ bản

Đề bài

Trục căn mẫu của $1/(\sqrt2+1)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân với $(\sqrt2-1)/(\sqrt2-1)$, được $(\sqrt2-1)/(2-1)=\sqrt2-1$. Liên hợp khác $0$ vì $\sqrt2>1$.

Cách tự kiểm

Nhân kết quả với mẫu gốc để kiểm bằng $1$.

Ví dụ 2. Hai căn khác nhau

Cơ bản

Đề bài

Trục căn mẫu của $1/(\sqrt6-\sqrt2)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Liên hợp $\sqrt6+\sqrt2>0$; mẫu mới $6-2=4$. Kết quả $(\sqrt6+\sqrt2)/4$.

Cách tự kiểm

Không dùng tổng các số dưới căn làm mẫu mới.

Ví dụ 3. Tử có hệ số

Cơ bản

Đề bài

Rút $3/(\sqrt{10}+1)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân liên hợp cho $3(\sqrt{10}-1)/(10-1)=(\sqrt{10}-1)/3$.

Cách tự kiểm

Rút hệ số chung sau khi nhân đủ cả tử và mẫu.

Ví dụ 4. Mẫu có biến và dấu trừ

Cơ bản

Đề bài

Trục căn mẫu của $1/(\sqrt x-2)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền $x\ge0,x\ne4$. Liên hợp $\sqrt x+2>0$, nên kết quả $(\sqrt x+2)/(x-4)$ trên miền ấy.

Cách tự kiểm

Điều kiện loại $4$ có từ mẫu gốc.

Ví dụ 5. Một điểm phải tính riêng

Nâng cao

Đề bài

Trục căn mẫu $1/(\sqrt x+2)$ và xét $x=4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Miền gốc $x\ge0$. Với $x\ne4$, nhân liên hợp được $(\sqrt x-2)/(x-4)$. Tại $4$, liên hợp bằng $0$ nên cách viết này không có nghĩa; giá trị gốc vẫn là $1/4$.

Cách tự kiểm

Không gán $0/0$ bằng giá trị rút gọn mong muốn.

Ví dụ 6. Cộng hai mẫu liên hợp

Vận dụng

Đề bài

Tính $1/(\sqrt3-1)+1/(\sqrt3+1)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai thương lần lượt $(\sqrt3+1)/2$ và $(\sqrt3-1)/2$. Tổng bằng $\sqrt3$.

Cách tự kiểm

Hai mẫu gốc đều khác $0$.

Ví dụ 7. Liên hợp cũng có thể bằng không

Nâng cao

Đề bài

Với $a,b\ge0$ không đồng thời bằng $0$, trục căn $1/(\sqrt a+\sqrt b)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu $a\ne b$, liên hợp khác $0$, được $(\sqrt a-\sqrt b)/(a-b)$. Nếu $a=b>0$, tính riêng $1/(2\sqrt a)=\sqrt a/(2a)$. Trường hợp $a=b=0$ không thuộc miền gốc.

Cách tự kiểm

Tách trường hợp trước nhân với liên hợp.

Ví dụ 8. Một tổng rút gọn liên tiếp

Nâng cao

Đề bài

Tính $1/(\sqrt2+1)+1/(\sqrt3+\sqrt2)+1/(2+\sqrt3)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trục căn từng mẫu được $\sqrt2-1$, $\sqrt3-\sqrt2$, $2-\sqrt3$. Cộng các số hạng triệt tiêu, còn $1$.

Cách tự kiểm

Mẫu mới của từng phép nhân đều là hiệu hai số nguyên liên tiếp, bằng $1$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhân với liên hợp bằng $0$.
• Làm sai dấu hiệu hai bình phương.
• Mở rộng công thức trục căn qua một điểm mới bị loại mà không tính riêng.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Trục căn mẫu của $1/(\sqrt5-2)$.

   Gợi ý bài 1

   Nhân với liên hợp $\sqrt5+2$.

2. Rút $2/(\sqrt7+\sqrt3)$ bằng liên hợp.

   Gợi ý bài 2

   Hiệu hai bình phương là $7-3$.

3. Cho $x\ge0,x\ne1$. Trục căn mẫu của $1/(\sqrt x-1)$.

   Gợi ý bài 3

   Liên hợp $\sqrt x+1$ luôn dương.

4. Cho $x\ge0$. Vì sao $1/(\sqrt x+1)=(\sqrt x-1)/(x-1)$ không dùng tại $x=1$ dù biểu thức gốc có nghĩa? Tính riêng tại $1$.

   Gợi ý bài 4

   Kiểm liên hợp tại điểm đó.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Mẫu mới $5-4=1$, kết quả $\sqrt5+2$. Mẫu gốc khác $0$ vì $\sqrt5>2$.

2. Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt7-\sqrt3\ne0$ được $2(\sqrt7-\sqrt3)/4=(\sqrt7-\sqrt3)/2$.

3. Kết quả $(\sqrt x+1)/(x-1)$; giữ $x\ge0,x\ne1$.

4. Liên hợp $\sqrt x-1$ bằng $0$ tại $1$, nên không được nhân với $0/0$. Công thức bên phải chỉ dùng khi $x\ne1$. Biểu thức gốc tại $1$ bằng $1/2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Trục căn mẫu của $1/(\sqrt3+2)$.

   Gợi ý bài 5

   Dùng liên hợp $\sqrt3-2$.

6. Trục căn mẫu của $2/(\sqrt5+1)$.

   Gợi ý bài 6

   Mẫu mới $5-1$.

7. Trục căn mẫu của $1/(\sqrt7-\sqrt5)$.

   Gợi ý bài 7

   Nhân với tổng hai căn.

8. Tính $1/(\sqrt2-1)-1/(\sqrt2+1)$.

   Gợi ý bài 8

   Trục căn từng mẫu.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Kết quả $(\sqrt3-2)/(3-4)=2-\sqrt3$.

6. Bằng $(\sqrt5-1)/2$.

7. Bằng $(\sqrt7+\sqrt5)/2$.

8. Bằng $(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=2$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Cho $x\ge0,x\ne9$. Trục căn mẫu $2/(\sqrt x-3)$.

   Gợi ý bài 9

   Liên hợp không âm hay dương?

10. Viết công thức trục căn mẫu $1/(\sqrt x+3)$ và tính riêng tại $x=9$.

    Gợi ý bài 10

    Liên hợp có thể bằng $0$.

11. Với $x>y\ge0$, chứng minh $1/(\sqrt x-\sqrt y)=(\sqrt x+\sqrt y)/(x-y)$.

    Gợi ý bài 11

    Mẫu và liên hợp đều khác $0$.

12. Vì sao không dùng $(\sqrt a-\sqrt a)/(a-a)$ để trục căn $1/(2\sqrt a)$ khi $a>0$?

    Gợi ý bài 12

    Biểu thức được dùng để nhân bằng bao nhiêu?

13. Tính $1/(\sqrt5-\sqrt2)-1/(\sqrt5+\sqrt2)$.

    Gợi ý bài 13

    Quy đồng bằng tích hai mẫu hoặc trục từng căn.

14. Tìm $x\ge0$ để $\sqrt{x+1}-\sqrt x=1$.

    Gợi ý bài 14

    Cô lập căn và kiểm dấu trước bình phương.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $\sqrt x+3>0$, nên kết quả $2(\sqrt x+3)/(x-9)$, giữ miền gốc.

10. Với $x\ge0,x\ne9$, bằng $(\sqrt x-3)/(x-9)$. Tại $9$, biểu thức gốc bằng $1/6$; công thức phân thức mới không dùng được.

11. Vì căn tăng, mẫu gốc dương; liên hợp cũng dương. Nhân cả tử và mẫu với liên hợp tạo mẫu $x-y>0$, được công thức.

12. Liên hợp bằng $0$, nên cách đó tạo $0/0$ không hợp lệ. Có thể tính trực tiếp $1/(2\sqrt a)=\sqrt a/(2a)$.

13. Hiệu bằng $[(\sqrt5+\sqrt2)-(\sqrt5-\sqrt2)]/(5-2)=2\sqrt2/3$.

14. $\sqrt{x+1}=1+\sqrt x$ cho $x+1=1+2\sqrt x+x$, nên $x=0$. Thử $1-0=1$. Cũng có thể dùng hiệu bằng $1/(\sqrt{x+1}+\sqrt x)$ rồi xét.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Giải $1/(\sqrt x+1)=\sqrt x-1$.

    Gợi ý bài 15

    Miền $x\ge0$; mẫu luôn dương.

16. Với $n$ nguyên dương, xét tổng các số $1/(\sqrt{k+1}+\sqrt k)$ từ $k=1$ đến $k=n$. Tìm $n$ để tổng bằng $4$.

    Gợi ý bài 16

    Trục căn mỗi mẫu thành một hiệu rồi viết vài số hạng đầu/cuối.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Nhân với mẫu được $1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)=x-1$, nên $x=2$. Thử hai vế bằng $\sqrt2-1$; nghiệm duy nhất.

16. Mỗi số hạng bằng $\sqrt{k+1}-\sqrt k$. Cộng liên tiếp triệt tiêu các căn trung gian, tổng là $\sqrt{n+1}-1$. Bằng $4$ cho $n+1=25$, $n=24$, hợp lệ; cách suy ra cũng chứng minh duy nhất.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.