Xác định bán kính nội tiếp bằng khoảng cách đến cạnh
Đường tròn nội tiếp tam giác · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-33-B3
Bán kính nội tiếp là một khoảng cách vuông góc. Khi ghép ba tam giác có chung chiều cao ấy, ta có thêm công cụ tính bán kính từ diện tích.
Sau bài này, em có thể:
- Xác định bán kính nội tiếp bằng khoảng cách đến cạnh
- Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.
Cần biết trước: Mô-đun 29,32; phân giác góc và khoảng cách đến cạnh lớp 7.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Gọi $a,b,c$ là ba cạnh, $s=(a+b+c)/2$ và $S$ là diện tích. Nối tâm nội tiếp $I$ với ba đỉnh. Ba tam giác nhỏ có cùng chiều cao $r$, nên
Chỉ dùng khi các độ dài cùng đơn vị và tam giác không suy biến.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Bán kính từ khoảng cách
Làm quen
Đề bài
Tâm nội tiếp cách cạnh $BC$ vuông góc $3{,}2$ cm. Tính $r$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$r=3{,}2$ cm; các khoảng cách vuông góc tới hai cạnh còn lại cũng bằng $3{,}2$ cm.
Cách tự kiểm
Cần khoảng cách vuông góc, không phải một đoạn xiên.
Ví dụ 2. Diện tích từ ba cạnh
Làm quen
Đề bài
Tam giác có cạnh $5,12,13$ cm. Tính bán kính nội tiếp.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tam giác vuông vì $5^2+12^2=13^2$, nên $S=30$ cm$^2$. Nửa chu vi $s=15$ cm, do đó $r=S/s=2$ cm.
Cách tự kiểm
$rs=2\cdot15=30$ khôi phục diện tích.
Ví dụ 3. Bán kính từ diện tích và chu vi
Vận dụng
Đề bài
Tam giác có diện tích $28$ cm$^2$, chu vi $28$ cm. Tính $r$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$s=14$ cm, nên $r=28/14=2$ cm.
Cách tự kiểm
Chia diện tích cho nửa chu vi, không phải cả chu vi.
Ví dụ 4. Chứng minh công thức diện tích
Vận dụng
Đề bài
Vì sao $S=rs$?
Lời giải và cách suy nghĩ
Nối $I$ với ba đỉnh. Vì $I$ ở trong, ba tam giác nhỏ ghép đúng tam giác lớn, không chồng miền trong. Mỗi tam giác có chiều cao $r$ tới cạnh tương ứng, nên tổng diện tích bằng $r(a+b+c)/2=rs$.
Cách tự kiểm
Vị trí tâm trong bảo đảm được cộng ba diện tích.
Ví dụ 5. Suy công thức cho tam giác vuông
Nâng cao
Đề bài
Tam giác vuông có hai cạnh vuông $a,b$ và huyền $c$. Chứng minh $r=(a+b-c)/2$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$r=ab/(a+b+c)$. Vì $c^2=a^2+b^2$, ta có $(a+b-c)(a+b+c)=2ab$. Chia cho $2(a+b+c)>0$ được công thức.
Cách tự kiểm
Cần Pythagore để biến đổi biểu thức.
Ví dụ 6. Từ đoạn tới đỉnh
Nâng cao
Đề bài
$I$ nội tiếp, chân vuông góc $F\in AB$, $IA=5$ cm, $AF=4$ cm. Tính $r$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tam giác $AIF$ vuông tại $F$, nên $r=IF=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm.
Cách tự kiểm
Đoạn $IA$ là huyền trong tam giác phụ, không là bán kính.
Ví dụ 7. Tính chu vi từ diện tích
Thử thách
Đề bài
Tam giác có $S=54$ cm$^2$, $r=3$ cm. Tính chu vi.
Lời giải và cách suy nghĩ
$s=S/r=18$ cm, nên chu vi bằng $36$ cm.
Cách tự kiểm
Đơn vị $\text{cm}^2/\text{cm}$ trở thành cm.
Ví dụ 8. Kiểm một bán kính sai
Thử thách
Đề bài
Tam giác cạnh $9,12,15$ cm, bạn tính $r=6$ cm. Kiểm bằng diện tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tam giác vuông có $S=54$ cm$^2$, $s=18$ cm. Nếu $r=6$ thì $rs=108\ne54$, nên sai; giá trị đúng $r=3$ cm.
Cách tự kiểm
Đối chiếu cả diện tích và nửa chu vi.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
- Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Tâm nội tiếp $I$ có khoảng cách vuông góc đến $BC$ bằng $2{,}4$ cm. Tính bán kính.
Gợi ý bài 1
Khoảng cách vuông góc từ tâm đến cạnh chính là bán kính.
-
$I$ là tâm nội tiếp, $IA=5$ cm và $ID=2$ cm với $D$ là chân vuông góc trên $BC$. Bán kính là $2$ hay $5$ cm? Giải thích.
Gợi ý bài 2
Phân biệt đoạn tới đỉnh với đoạn vuông góc tới cạnh.
-
Giải thích tại sao phải kiểm chân vuông góc nằm trên cạnh, không chỉ trên đường thẳng chứa cạnh.
Gợi ý bài 3
Nội tiếp tiếp xúc các đoạn cạnh, không chỉ phần kéo dài.
-
Dựng đường tròn nội tiếp sau khi đã có tâm $I$. Ghi phép dựng và cách kiểm.
Gợi ý bài 4
Hạ vuông góc từ $I$ tới một cạnh rồi lấy độ dài ấy làm bán kính.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$r=2{,}4$ cm; các khoảng cách đến hai cạnh còn lại cũng bằng $2{,}4$ cm.
-
Là $2$ cm. $IA$ đến đỉnh, còn $ID$ là khoảng cách vuông góc đến cạnh và là bán kính tới tiếp điểm.
-
Định nghĩa nội tiếp yêu cầu chạm các đoạn cạnh. Tâm là giao phân giác trong bảo đảm tiếp điểm trên cạnh; tiếp xúc phần kéo dài có thể thuộc đường tròn bàng tiếp.
-
Hạ $ID\perp BC$, lấy bán kính $r=ID$ rồi vẽ $(I;r)$. Kiểm tương tự khoảng cách tới $AB,AC$ bằng $r$, các tiếp điểm nằm trên ba cạnh.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
$I$ nội tiếp, khoảng cách đến $CA$ là $4{,}6$ cm. Tìm khoảng cách đến $AB$.
Gợi ý bài 5
Ba khoảng cách tới cạnh, không phải tới đỉnh, bằng nhau.
-
Tam giác có chu vi $40$ cm, $r=2{,}5$ cm. Tính diện tích.
Gợi ý bài 6
Lấy nửa chu vi trước khi nhân.
-
Tam giác cạnh $8,15,17$ cm. Tính $r$.
Gợi ý bài 7
Có thể kiểm $r=(8+15-17)/2=3$.
-
$I$ nội tiếp, $P\in BC$ không là tiếp điểm và $IP=5$ cm. Có đủ suy $r=5$ cm không?
Gợi ý bài 8
Đường vuông góc ngắn nhất trong các đoạn từ điểm tới đường thẳng.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Khoảng cách đến $AB$ cũng bằng $4{,}6$ cm, là bán kính nội tiếp.
-
$s=20$ cm và $S=rs=50$ cm$^2$.
-
$S=8\cdot15/2=60$, $s=20$, nên $r=3$ cm.
-
Không. Khoảng cách vuông góc từ $I$ tới $BC$ không lớn hơn $IP$, và chỉ bằng nếu $IP\perp BC$. Thiếu góc vuông nên chưa xác định $r$.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
$I$ là tâm nội tiếp, $AB:BC:CA=3:4:5$. Tìm tỉ lệ $S_{IAB}:S_{IBC}:S_{ICA}$.
Gợi ý bài 9
Không dùng các đoạn $IA,IB,IC$ làm chiều cao.
-
Tam giác có tâm nội tiếp $I$, $S=54$ cm$^2$, chu vi $36$ cm và $AB=10$ cm. Tính $S_{IAB}$.
Gợi ý bài 10
Phần diện tích ứng với cạnh $AB$ bằng $AB/(2s)$ của toàn bộ.
-
$I$ nội tiếp với $r=3$ cm và $S_{IBC}=18$ cm$^2$. Tính $BC$.
Gợi ý bài 11
Chiều cao từ $I$ tới $BC$ bằng $r$.
-
Tam giác có $S=0{,}12$ m$^2$, chu vi $180$ cm. Tính $r$ theo cm.
Gợi ý bài 12
$1$ m$^2=10000$ cm$^2$.
-
Hai tam giác đồng dạng với tỉ lệ cạnh $3:2$. Chứng minh bán kính nội tiếp cùng tỉ lệ.
Gợi ý bài 13
Có thể nhìn khoảng cách vuông góc cũng nhân theo tỉ lệ đồng dạng.
-
Chỉ biết diện tích tam giác bằng $24$ cm$^2$. Có xác định $r$ không?
Gợi ý bài 14
Hai ví dụ phải giữ cùng diện tích nhưng khác nửa chu vi.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Ba tam giác có cùng chiều cao $r$ tới các cạnh tương ứng, nên diện tích tỉ lệ với đáy: $3:4:5$.
-
$r=54/18=3$ cm, nên $S_{IAB}=AB\cdot r/2=15$ cm$^2$.
-
$18=BC\cdot3/2$, nên $BC=12$ cm.
-
$S=1200$ cm$^2$, $s=90$ cm, nên $r=1200/90=40/3$ cm.
-
Diện tích tỉ lệ $9:4$ và nửa chu vi tỉ lệ $3:2$. Từ $r=S/s$, tỉ lệ bán kính bằng $(9/4)/(3/2)=3/2$.
-
Không. Tam giác vuông $6,8,10$ có $r=2$; tam giác vuông có hai cạnh $4,12$ cũng có diện tích $24$, nhưng $r=(16-4\sqrt{10})/2=8-2\sqrt{10}\ne2$.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Tam giác vuông có cạnh góc vuông $6$ cm và $r=2$ cm. Tìm cạnh góc vuông kia.
Gợi ý bài 15
Kiểm huyền $10$ cm và công thức bán kính.
-
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a\le b$. Chứng minh $r<a/2$.
Gợi ý bài 16
Bất đẳng thức nghiêm do tam giác không suy biến.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Gọi cạnh kia $b>0$, huyền $c$. Từ $2=(6+b-c)/2$ được $c=b+2$. Pythagore cho $36+b^2=(b+2)^2$, nên $b=8$ cm.
-
$r=(a+b-\sqrt{a^2+b^2})/2$. Vì $\sqrt{a^2+b^2}>b$ khi $a>0$, tử số nhỏ hơn $a$, nên $r<a/2$.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.