Điều kiện tồn tại hai số thực biết tổng và tích lớp 9

Tổng tích hai số và ứng dụng Viète · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-20-B2

Không phải mọi tổng và tích đều tạo được hai số thực. Bình phương hiệu cho điều kiện cần, còn công thức nghiệm chứng minh điều kiện ấy đủ.

Sau bài này, em có thể:

• Kiểm tồn tại hai số thực.
• Xét dấu, phân biệt và miền nguyên.

Cần biết trước: Mô-đun 18–19; không dùng hệ thức Viète để giả định nghiệm chưa tồn tại.

1. Kiến thức và phương pháp

Hai số thực kể cả lặp có tổng $S$, tích $P$ tồn tại khi và chỉ khi $S^2-4P\ge0$. Dấu bằng cho cặp trùng $S/2$; dấu dương cho hai giá trị phân biệt. Với tổng cố định, tích không vượt $S^2/4$, nhưng có thể âm tùy ý nếu không yêu cầu hai số dương.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dữ kiện không thể

Cơ bản

Đề bài

Có hai số thực tổng $4$, tích $7$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

$S^2-4P=16-28=-12<0$, không có cặp thực.

Cách tự kiểm

Không vẫn ghi hai biểu thức căn âm trong số thực.

Ví dụ 2. Tích lớn nhất

Cơ bản

Đề bài

Hai số thực tổng $10$. Tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải và cách suy nghĩ

$(u-v)^2=100-4P\ge0$ nên $P\le25$. Đạt tại $u=v=5$.

Cách tự kiểm

Chứng minh chặn và điểm đạt.

Ví dụ 3. Hai số phân biệt

Cơ bản

Đề bài

Tổng $6$, tích $P$. Khi nào hai số thực phân biệt tồn tại?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần và đủ $36-4P>0$, tức $P<9$. Nếu $P=9$, cặp $3$ và $3$ trùng.

Cách tự kiểm

Dấu nghiêm theo yêu cầu phân biệt.

Ví dụ 4. Tích âm luôn khả thi

Cơ bản

Đề bài

Với tổng $S$ tùy ý và tích $-2$, có luôn cặp thực không?

Lời giải và cách suy nghĩ

$S^2+8>0$ nên luôn có hai số thực phân biệt; tích âm cho hai số trái dấu.

Cách tự kiểm

Không cần tổng dương.

Ví dụ 5. Điều kiện hai số dương

Nâng cao

Đề bài

Có hai số dương tổng $S$, tích $P$ khi nào?

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần và đủ $S>0,P>0,S^2\ge4P$. Điều kiện biệt thức cho nghiệm thực; tích dương cho cùng dấu, tổng dương buộc cả hai dương.

Cách tự kiểm

Ba điều kiện có nhiệm vụ khác nhau.

Ví dụ 6. Điều kiện số nguyên

Nâng cao

Đề bài

Tổng $5$, tích $1$ thỏa điều kiện thực. Có cặp số nguyên không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Biệt thức $21>0$ nhưng không là bình phương nguyên, nghiệm $(5\pm\sqrt{21})/2$ không nguyên. Có cặp thực, không có cặp nguyên.

Cách tự kiểm

Tồn tại trên thực chưa đủ miền đếm.

Ví dụ 7. Tham số cả tổng và tích

Nâng cao

Đề bài

Tổng $2m$, tích $m+2$. Tìm $m$ để có cặp thực.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $4m^2-4m-8\ge0$, tức $(m-2)(m+1)\ge0$. Hai thừa số cùng không âm khi $m\ge2$, hoặc cùng không dương khi $m\le-1$; giữa hai mốc tích âm. Vậy $m\le-1$ hoặc $m\ge2$.

Cách tự kiểm

Tại hai biên là cặp trùng.

Ví dụ 8. Chứng minh đủ

Thử thách

Đề bài

Từ $S^2\ge4P$, tự xây dựng hai số thực có tổng $S$, tích $P$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt $u=(S+\sqrt{S^2-4P})/2$, $v=(S-\sqrt{S^2-4P})/2$. Căn thực; cộng cho $S$, nhân cho $(S^2-(S^2-4P))/4=P$.

Cách tự kiểm

Xây dựng cụ thể chứng minh chiều đủ, không chỉ viện điều kiện cần.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ kiểm tổng/tích mà bỏ tồn tại.
• Nhầm điều kiện thực với điều kiện nguyên.
• Giả định tích có cận dưới khi tổng cố định.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Có hai số thực tổng $2$, tích $5$ không? Tính $\Delta$ để kết luận.

   Gợi ý bài 1

   Kiểm biệt thức trước tính căn.

2. Với tổng $6$, tích $P$ có thể lớn nhất bao nhiêu để còn hai số thực? Khi nào hai số bằng nhau?

   Gợi ý bài 2

   Dấu bằng ứng với hai số bằng nhau.

3. Nếu tích $-7$ và tổng $0$, hai số là gì? Điều kiện $\Delta$ có thỏa không?

   Gợi ý bài 3

   Tích âm cho biệt thức dương.

4. Giải thích điều kiện $S^2-4P\ge0$ trực tiếp từ $(u-v)^2$ khi $u,v$ thực.

   Gợi ý bài 4

   Chứng minh cả điều kiện cần và đủ.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $\Delta=2^2-4\cdot5=-16<0$ nên không có cặp số thực như vậy.

2. Cần $36-4P\ge0$, nên $P\le9$. Khi $P=9$, hai số cùng $3$; đó là giá trị tích lớn nhất.

3. $t^2-7=0$ nên $t=\pm\sqrt7$. $\Delta=0-4(-7)=28>0$, hai số thực phân biệt trái dấu.

4. $(u-v)^2=(u+v)^2-4uv=S^2-4P\ge0$. Ngược lại, nếu $S^2-4P\ge0$ thì công thức $t=(S\pm\sqrt{S^2-4P})/2$ tạo hai số thực có tổng $S$, tích $P$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Có hai số thực tổng $3$, tích $4$ không?

   Gợi ý bài 5

   $9-16<0$.

6. Tổng $8$, tích lớn nhất?

   Gợi ý bài 6

   $P\le S^2/4$.

7. Tổng $-6$, tích $9$. Tìm cặp.

   Gợi ý bài 7

   Biệt thức bằng $0$.

8. Tổng $0$, tích $-4$. Có cặp phân biệt không?

   Gợi ý bài 8

   $\Delta=16>0$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Không có cặp thực.

6. Lớn nhất $16$, đạt tại $4$ và $4$.

7. Cặp $-3$ và $-3$.

8. Có, $2$ và $-2$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Với tổng $4$, tìm mọi tích $P$ để có cặp thực phân biệt.

   Gợi ý bài 9

   $16-4P>0$.

10. Với tổng $4$, tìm mọi $P$ để có hai số dương kể cả lặp.

    Gợi ý bài 10

    Tích dương và biệt thức không âm.

11. Với tổng $-4$, tìm mọi $P$ để có hai số âm kể cả lặp.

    Gợi ý bài 11

    Tổng âm, tích dương.

12. Tổng $S$ tùy ý, tích $P<0$. Chứng minh có hai số thực trái dấu.

    Gợi ý bài 12

    $S^2-4P>0$.

13. Tổng $1$, tích $-1$. Có cặp nguyên không?

    Gợi ý bài 13

    Nghiệm $(1\pm\sqrt5)/2$.

14. Tổng $2m$, tích $m^2+1$. Có $m$ nào tạo cặp thực?

    Gợi ý bài 14

    Biệt thức triệt tiêu phần $m^2$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $P<4$.

10. $0<P\le4$.

11. $0<P\le4$.

12. Có hai nghiệm thực phân biệt nhờ biệt thức dương; tích âm buộc trái dấu.

13. Không có cặp nguyên; có hai số thực vô tỉ.

14. $4m^2-4(m^2+1)=-4<0$, nên không có $m$ thực nào.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tổng $2m$, tích $m^2-4$. Khi nào có hai số dương phân biệt?

    Gợi ý bài 15

    Nghiệm là $m\pm2$.

16. Chứng minh với tổng thực cố định $S$, tích có thể âm tùy ý nhỏ nếu không hạn chế dấu hai số.

    Gợi ý bài 16

    Đặt $u=S/2+t,v=S/2-t$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Cần và đủ $m-2>0$, tức $m>2$. Hai nghiệm luôn phân biệt vì cách nhau $4$; $m=2$ có một số bằng 0 nên bị loại.

16. Tổng luôn $S$, tích $S^2/4-t^2$. Khi chọn $|t|$ lớn, tích nhỏ hơn bất cứ chặn âm cho trước. Do đó có cận trên $S^2/4$ nhưng không có cận dưới hữu hạn.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.