Tự luyện lớp 9 · Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Gợi ý. Lấy $H$ cách $O$ đúng $4$ cm. Vẽ đường vuông góc với $OH$ tại $H$. Tìm góc bằng cosin trong tam giác vuông $OHA$.

Lời giải. Vì $4\lt8$, đường vuông góc nói trên cắt đường tròn tại hai điểm $A,B$. Khi đó $H$ là trung điểm dây và $AH=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3$ cm, nên $AB=8\sqrt3$ cm. Ta có $\cos\angle AOH=\frac48=\frac12$, nên $\angle AOH=60^\circ$ và góc ở tâm $AOB$ bằng $120^\circ$. Cung nhỏ dài $\frac{120}{180}\cdot8\pi=\frac{16\pi}{3}$ cm. Diện tích hình quạt bằng $\frac{120}{360}\cdot64\pi=\frac{64\pi}{3}$ cm².

Tự kiểm. Hãy chỉ ra vì sao đường vừa dựng cắt đường tròn, vì sao phải nhân đôi $AH$ và vì sao hai kết quả cuối dùng hai đơn vị khác nhau.

Gợi ý. Dùng $OB=OD$ và $\angle OBD=60^\circ$. Sau đó dùng tính đối xứng qua đường trung trực của $BC$.

Lời giải. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Tam giác $BOD$ cân tại $O$ có góc tại $B$ bằng $60^\circ$, nên đều. Vì vậy cung nhỏ $BD$ có số đo $60^\circ$. Qua đường trung trực của $BC$, $B$ đổi thành $C$ và $D$ đổi thành $E$, nên cung nhỏ $EC$ cũng bằng $60^\circ$. Trên nửa đường tròn các điểm theo thứ tự $B,D,E,C$, do đó cung nhỏ $DE$ có số đo $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Diện tích viên phân là diện tích quạt $BOD$ trừ diện tích tam giác đều $BOD$, bằng $6\pi-9\sqrt3$ cm².

Tự kiểm. Em đã xác định cung nào nằm trên nửa đường tròn và diện tích nào phải trừ chưa?