Tự luyện lớp 9 · Ôn tập Chương V · Đường tròn

Gợi ý. Vì $O,A,I$ thẳng hàng, tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn thứ nhất cũng tiếp xúc với đường tròn thứ hai. Ghép các đoạn tiếp tuyến theo điểm $M$.

Lời giải. Đường qua $A$ vuông góc với $OI$ là tiếp tuyến của cả hai đường tròn. Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến từ $M$ lần lượt cho hai đường tròn, ta có $MB=MA$ và $MC=MA$. Vì $B,C$ phân biệt, $M$ thuộc đường thẳng $BC$ và $MB=MC$, nên $M$ là trung điểm của $BC$. Ba điểm $A,B,C$ cùng nằm trên đường tròn tâm $M$ có đường kính $BC$. Suy ra $\angle BAC=90^\circ$.

Tự kiểm. Em đã chứng minh tiếp tuyến tại $A$ dùng được với cả hai đường tròn chưa? Vì sao đường tròn tâm $M$ có đường kính $BC$?

Gợi ý. Hai đoạn $OI$ và $O^\prime K$ đi qua trung điểm của hai dây. Tìm phương của chúng trước, rồi dùng thứ tự $E,I,A,K,F$.

Lời giải. Vì $I$ là trung điểm dây $EA$, $OI\perp d$. Tương tự $O^\prime K\perp d$. Do đó $OI\parallel O^\prime K$, và các góc tại $I,K$ đều vuông. Vì $A$ nằm giữa $I,K$, ta có $$IK=IA+AK=\frac{EA+AF}{2}=\frac{EF}{2}.$$ Tứ giác đã có một cặp cạnh đối song song và hai góc vuông. Nó là hình chữ nhật khi và chỉ khi cặp cạnh đối còn lại cũng song song, tức $OO^\prime\parallel IK$. Do $IK$ nằm trên $d$, điều kiện là $OO^\prime\parallel d$.

Tự kiểm. Em có giải thích vì sao $I$ và $K$ khác nhau không? Nếu $d$ đi qua một tâm thì tứ giác có thể suy biến, nên giả thiết này cần được kiểm.