Chia hết hai số nguyên với số chia khác 0 lớp 6

Nhân và chia hết số nguyên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-12-B4

Sau bài này, em có thể:

• Tính thương nguyên đúng dấu khi số chia khác $0$ và phép chia hết.
• Nhân ngược để kiểm, sửa thương và tìm số chia.
• Phân biệt không có thương nguyên với phép chia cho $0$ không xác định.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Điền ô trống $6\times\square=-24$. Ô cần điền là số âm hay dương? Phép chia $(-24):6$ chính là tìm số nguyên trong ô ấy.

Với $a,b,q$ là số nguyên và $b\ne0$, viết $a:b=q$ khi $a=bq$. Nếu không tìm được thương nguyên thì đó không phải phép chia hết trong các số nguyên. Điều này khác với phép chia cho $0$, vốn không xác định.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Tìm số còn thiếu trong phép nhân

Cốt lõi

Em thử trước:

Điền số nguyên $q$ vào $6q=-24$. Từ đó tính $(-24):6$.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm số có độ lớn $4$, rồi kiểm dấu qua phép nhân.

Gợi ý để em tự tìm

$6\times4=24$ nhưng muốn được $-24$ thì thương phải âm.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $6\times(-4)=-24$, nên số cần điền là $q=-4$.

2. Theo định nghĩa phép chia hết, $(-24):6=-4$ vì số chia $6\ne0$ và $6(-4)=-24$.

Tự kiểm

Thử $q=4$ cho $24$ chứ không phải $-24$; phép nhân ngược kiểm được dấu thương.

Ví dụ 2. Số chia âm, số bị chia dương

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(45):(-9)$ và nhân để kiểm. Em dự đoán dấu thương thế nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm số chia khác $0$ rồi hỏi nó nhân với số nào cho số bị chia.

Gợi ý để em tự tìm

Nhân thương dự đoán với số chia phải trả đúng số bị chia.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số chia $-9\ne0$. Tìm độ lớn thương bằng $45:9=5$; hai số khác dấu nên thương âm.

2. Vậy $(45):(-9)=-5$. Nhân ngược: $(-9)\times(-5)=45$, đúng số bị chia.

Tự kiểm

Điều kiện xác định $-9\ne0$ và đẳng thức $(-9)\times(-5)=45$ đều được kiểm; thương $-5$ là số nguyên.

Ví dụ 3. Hai số âm có thương dương

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(-56):(-7)$ và nhân để kiểm. Em dự đoán dấu thương thế nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm số chia khác $0$ rồi hỏi nó nhân với số nào cho số bị chia.

Gợi ý để em tự tìm

Nhân thương dự đoán với số chia phải trả đúng số bị chia.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số chia $-7\ne0$. Tìm độ lớn thương bằng $56:7=8$; hai số cùng dấu nên thương dương.

2. Vậy $(-56):(-7)=8$. Nhân ngược: $(-7)\times(8)=-56$, đúng số bị chia.

Tự kiểm

Điều kiện xác định $-7\ne0$ và đẳng thức $(-7)\times(8)=-56$ đều được kiểm; thương $8$ là số nguyên.

Ví dụ 4. Số bị chia bằng không

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(0):(-8)$ và nhân để kiểm. Em dự đoán dấu thương thế nào?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm số chia khác $0$ rồi hỏi nó nhân với số nào cho số bị chia.

Gợi ý để em tự tìm

Nhân thương dự đoán với số chia phải trả đúng số bị chia.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số chia $-8\ne0$. Tìm độ lớn thương bằng $0:8=0$; vì số bị chia bằng $0$, thương là $0$.

2. Vậy $(0):(-8)=0$. Nhân ngược: $(-8)\times(0)=0$, đúng số bị chia.

Tự kiểm

Điều kiện xác định $-8\ne0$ và đẳng thức $(-8)\times(0)=0$ đều được kiểm; thương $0$ là số nguyên.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Khi $a,b$ khác $0$ và $a$ chia hết cho $b$, chia hai độ lớn để tìm độ lớn thương. Hai số cùng dấu cho thương dương, khác dấu cho thương âm. Sau đó kiểm $b\times q=a$.

Với $b\ne0$, $0:b=0$. Không chia cho $0$, kể cả $0:0$. Nếu tìm số chia, luôn giữ điều kiện số chia khác $0$ và viết lại phương trình nhân đúng vai trò.

Ví dụ 5. Không có thương nguyên khác với không xác định

Cốt lõi

Em thử trước:

Phân biệt $11:3$ và $11:0$: phép nào không có thương nguyên, phép nào không xác định?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng điều kiện số chia và phương trình nhân ngược.

Gợi ý để em tự tìm

$3\times3=9$, $3\times4=12$, còn $0q=0$ với mọi số nguyên $q$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $3\ne0$, nhưng không có số nguyên $q$ thỏa $3q=11$: $q\le3$ cho $3q\le9$, còn $q\ge4$ cho $3q\ge12$. Vì vậy $11:3$ không phải phép chia hết có thương nguyên.

2. $11:0$ không xác định do số chia bằng $0$. Không có $q$ nào thỏa $0q=11$, vì mọi tích $0q$ đều là $0$.

Tự kiểm

Không gộp hai lý do thành “đều chia cho $0$”: số chia thứ nhất là $3$, không phải $0$.

Ví dụ 6. Thương với âm một

Cốt lõi

Em thử trước:

Tính $(-17):(-1)$ và $17:(-1)$.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm số mà nhân với $-1$ cho số bị chia.

Gợi ý để em tự tìm

Nhân với $-1$ lấy số đối.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $(-1)\times17=-17$ nên $(-17):(-1)=17$.

2. $(-1)\times(-17)=17$ nên $17:(-1)=-17$.

Tự kiểm

Cả hai số chia đều khác $0$; hai phép nhân ngược đã kiểm cả độ lớn và dấu.

Ví dụ 7. Phát hiện thương sai bằng nhân ngược

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn ghi $(-32):4=8$. Hãy dùng phép nhân để bác và sửa, không chỉ đọc quy tắc dấu.

Bắt đầu từ đâu?

Nhân số chia $4$ với thương bạn đã viết.

Gợi ý để em tự tìm

$4\times8=32$ có đúng số bị chia không?

Lời giải và cách tự kiểm

1. $4\times8=32\ne-32$ nên thương $8$ sai.

2. $4\times(-8)=-32$ và $4\ne0$, nên thương đúng là $(-32):4=-8$.

Tự kiểm

Thương sửa xong có dấu âm vì số bị chia âm, số chia dương.

Ví dụ 8. Tìm số chia chưa biết

Cốt lõi

Em thử trước:

Tìm số nguyên $b\ne0$ biết $(-30):b=5$.

Bắt đầu từ đâu?

Viết lại thành một phép nhân có số chia là thừa số.

Gợi ý để em tự tìm

$b\times5=-30$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Theo định nghĩa chia hết, $(-30):b=5$ nghĩa là $b\times5=-30$ với $b\ne0$.

2. $(-6)\times5=-30$ nên $b=-6$.

Tự kiểm

$-6\ne0$ và $(-30):(-6)=5$; không nhầm $b$ với thương $5$.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm đủ số chia trong đoạn

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm mọi số nguyên $b$ với $-5\le b\le5$ để $(-12):b$ là số nguyên dương nhỏ hơn $6$.

Bắt đầu từ đâu?

Loại $0$, nhận ra dấu của $b$, rồi xét các ước độ lớn của $12$.

Gợi ý để em tự tìm

Các độ lớn là ước của $12$ và nằm trong đoạn cần xét chỉ có $1;2;3;4$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $b=0$ bị loại. Thương dương với số bị chia $-12<0$ buộc $b<0$. Trong đoạn, các số âm mà độ lớn là ước của $12$ là $-1;-2;-3;-4$; $-5$ không được vì $12$ không chia hết cho $5$.

2. Các thương tương ứng là $12;6;4;3$. Điều kiện nhỏ hơn $6$ chỉ nhận $4;3$.

3. Vậy $b=-3$ hoặc $b=-4$.

Tự kiểm

$(-3)\times4=-12$ và $(-4)\times3=-12$. Thương $6$ bị loại do dấu $<$, không phải $\le$.

Ví dụ 10. Vì sao không chia cho không kể cả không chia không?

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bạn cho rằng $0:0=0$ vì $0\times0=0$. Hãy xét phương trình $0q=0$ để giải thích vì sao phép chia này vẫn không xác định.

Bắt đầu từ đâu?

Một thương phải được xác định duy nhất; kiểm xem chỉ $q=0$ làm được hay còn số khác.

Gợi ý để em tự tìm

$0\times1=0$ và $0\times(-2)=0$ cũng đúng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Phương trình $0q=0$ đúng với mọi số nguyên $q$, chẳng hạn $q=0$, $q=1$ hay $q=-2$; nó không chọn ra duy nhất một thương.

2. Vì vậy không được đặt $0:0$ bằng một số cụ thể. Quy tắc chia yêu cầu số chia khác $0$, kể cả khi số bị chia cũng là $0$.

Tự kiểm

$0:(-3)=0$ lại hợp lệ: số chia $-3\ne0$, và $(-3)q=0$ chỉ có $q=0$ vì tích hai số khác $0$ không thể bằng $0$.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Tính $(-42):(7)$ và nhân để kiểm.

Gợi ý bài 1

Số chia nhân thương phải bằng số bị chia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Số chia $7\ne0$. Tìm độ lớn thương bằng $42:7=6$; hai số khác dấu nên thương âm.

2. Vậy $(-42):(7)=-6$. Nhân ngược: $(7)\times(-6)=-42$, đúng số bị chia.

Tự kiểm

Điều kiện xác định $7\ne0$ và đẳng thức $(7)\times(-6)=-42$ đều được kiểm; thương $-6$ là số nguyên.

Bài 2

Cốt lõi

Tính $48:(-8)$ và $(-48):(-8)$.

Gợi ý bài 2

Cùng độ lớn thương nhưng dấu phụ thuộc cả hai số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $48:(-8)=-6$ vì $(-8)\times(-6)=48$.

2. $(-48):(-8)=6$ vì $(-8)\times6=-48$. Trong cả hai phép, số chia $-8\ne0$.

Tự kiểm

Thương thứ nhất âm do khác dấu; thương thứ hai dương do cùng dấu.

Bài 3

Cốt lõi

Trong các phép $0:(-5)$; $7:2$; $(-9):0$, phép nào là phép chia hết có thương nguyên?

Gợi ý bài 3

Kiểm số chia khác $0$, sau đó mới xét thương nguyên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $0:(-5)=0$ là phép chia hết có thương nguyên vì $-5\ne0$ và $(-5)\times0=0$.

2. $7:2$ không có thương nguyên: $2\times3=6<7<8=2\times4$. Phép $(-9):0$ không xác định vì số chia $0$.

3. Vì thế chỉ $0:(-5)$ đáp ứng yêu cầu.

Tự kiểm

Ba trường hợp được phân biệt bằng hai kiểm tra khác nhau, không chỉ nhìn dấu số bị chia.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn ghi $(-35):(-5)=-7$. Dùng phép nhân để sửa.

Gợi ý bài 4

Nhân số chia với cả thương sai và thương sửa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $(-5)\times(-7)=35\ne-35$, nên thương $-7$ không đúng.

2. $(-5)\times7=-35$ và $-5\ne0$, nên $(-35):(-5)=7$.

Tự kiểm

Thương đúng dương vì số bị chia và số chia cùng âm.

Bài 5

Cốt lõi

Tính $(-63):(9)$ và nhân để kiểm.

Gợi ý bài 5

Số chia nhân thương phải bằng số bị chia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Số chia $9\ne0$. Tìm độ lớn thương bằng $63:9=7$; hai số khác dấu nên thương âm.

2. Vậy $(-63):(9)=-7$. Nhân ngược: $(9)\times(-7)=-63$, đúng số bị chia.

Tự kiểm

Điều kiện xác định $9\ne0$ và đẳng thức $(9)\times(-7)=-63$ đều được kiểm; thương $-7$ là số nguyên.

Bài 6

Cốt lõi

Tính $(72):(-6)$ và nhân để kiểm.

Gợi ý bài 6

Số chia nhân thương phải bằng số bị chia.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Số chia $-6\ne0$. Tìm độ lớn thương bằng $72:6=12$; hai số khác dấu nên thương âm.

2. Vậy $(72):(-6)=-12$. Nhân ngược: $(-6)\times(-12)=72$, đúng số bị chia.

Tự kiểm

Điều kiện xác định $-6\ne0$ và đẳng thức $(-6)\times(-12)=72$ đều được kiểm; thương $-12$ là số nguyên.

Bài 7

Cốt lõi

Tính $0:7$ và $(-19):1$ rồi giải thích vai trò số chia.

Gợi ý bài 7

Cả $7$ và $1$ đều khác $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $0:7=0$ vì $7\times0=0$.

2. $(-19):1=-19$ vì $1\times(-19)=-19$. Chia cho $1$ giữ nguyên số bị chia.

Tự kiểm

Số bị chia được bằng $0$; điều cấm là số chia bằng $0$.

Bài 8

Cốt lõi

Tìm số nguyên $q$ thỏa $(-6)q=42$, rồi viết phép chia tương ứng.

Gợi ý bài 8

Tích dương với thừa số âm buộc $q$ âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $(-6)\times(-7)=42$ vì $6\times7=42$, nên $q=-7$.

2. Với số chia $-6\ne0$, phép chia tương ứng là $42:(-6)=-7$.

Tự kiểm

Không viết nhầm $(-6):42=-7$; trong phép chia đúng, số bị chia là tích $42$.

Bài 9

Cốt lõi

Tìm số nguyên $b\ne0$ biết $40:b=-8$.

Gợi ý bài 9

Số chia $b$ nhân thương $-8$ bằng $40$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Viết $b\times(-8)=40$. Vì tích dương và $-8<0$, $b<0$.

2. $(-5)\times(-8)=40$, nên $b=-5$.

Tự kiểm

$-5\ne0$ và $40:(-5)=-8$; kiểm đúng vai trò của $b$.

Bài 10

Cốt lõi

Phép $(-14):4$ có thương nguyên không? Nêu lý do bằng phép nhân.

Gợi ý bài 10

Độ lớn thương nguyên nếu có phải nằm giữa những số nào?

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nếu thương nguyên âm là $-n$ với $n$ tự nhiên dương thì cần $4n=14$.

2. $4\times3=12<14<16=4\times4$, nên không có $n$ nguyên dương thỏa. Do đó $(-14):4$ không phải phép chia hết có thương nguyên.

Tự kiểm

Số chia $4\ne0$, nên lý do không phải “chia cho $0$”; ở đây thiếu thương nguyên.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số nguyên $x$ trong đoạn $-5\le x\le5$ sao cho $x:(-2)$ là số nguyên dương.

Gợi ý bài 11

Thương dương buộc $x$ âm; độ lớn $x$ phải chia hết cho $2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Số chia $-2\ne0$. Muốn thương dương thì $x<0$, nên xét $-5;-4;-3;-2;-1$.

2. Trong các số đó chỉ $-4;-2$ chia hết cho $-2$, có thương lần lượt $2;1$. Vậy $x=-4$ hoặc $x=-2$.

Tự kiểm

$(-2)\times2=-4$, $(-2)\times1=-2$. Số $x=0$ có thương $0$, không dương.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Có hai số nguyên $a,b$ nào để $a:b=0$ và đồng thời $b:a$ xác định không?

Gợi ý bài 12

Phép chia thứ nhất buộc $b\ne0$; thương $0$ quyết định $a$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. $a:b=0$ nghĩa là $b\ne0$ và $a=b\times0=0$.

2. Nhưng $b:a=b:0$ không xác định. Vì vậy không có cặp nào đáp ứng đồng thời hai yêu cầu.

Tự kiểm

Chẳng hạn $a=0,b=5$ thỏa phép chia đầu, nhưng phép chia sau $5:0$ vẫn không xác định.

6. Tự kiểm sau khi học

Đưa phép nhân và chia vào bài toán có đơn vị; số lượt, số giờ là số đếm không âm, còn mức thay đổi có thể âm.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Nhân và chia hết số nguyên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.