Bài toán thực tế về nhân, chia số nguyên lớp 6

Nhân và chia hết số nguyên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-12-B5

Sau bài này, em có thể:

• Lập phép nhân hoặc chia từ mức thay đổi có dấu và số lần lặp.
• Phân biệt tổng thay đổi với giá trị cuối, giữ đúng đơn vị.
• Kiểm số lượt hợp lệ, các bước bằng nhau và điều kiện lượng thực không âm.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

“Giảm $2$ độ mỗi giờ trong $4$ giờ” có hai vai trò khác nhau: $4$ là số giờ dương; $-2$ là mức thay đổi mỗi giờ. Tích cho tổng thay đổi, chưa cho nhiệt độ cuối nếu chưa biết nhiệt độ đầu.

Các chuyện tiền trong bài là mô phỏng số học, quy ước lãi dương và lỗ âm. Số lượt, số ngày không âm; khi chia tổng cho số bước thì số bước phải dương và các bước phải có cùng mức thay đổi.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Tổng mức giảm có dấu

Cốt lõi

Em thử trước:

Nhiệt độ giảm đều $2^\circ\mathrm C$ mỗi giờ trong $4$ giờ. Tổng mức thay đổi có dấu là bao nhiêu? Đó đã là nhiệt độ cuối chưa?

Bắt đầu từ đâu?

Tách số giờ dương khỏi mức thay đổi âm mỗi giờ.

Gợi ý để em tự tìm

Mỗi giờ ghi $-2^\circ\mathrm C$, lặp $4$ lần.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số giờ là $4>0$; mức thay đổi mỗi giờ là $-2^\circ\mathrm C$. Tổng thay đổi $4\times(-2)=-8^\circ\mathrm C$.

2. Điều đó nghĩa là nhiệt độ giảm tổng cộng $8^\circ\mathrm C$. Chưa biết nhiệt độ ban đầu nên chưa xác định nhiệt độ cuối.

Tự kiểm

$(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-8$ kiểm cách hiểu lặp; không tự đặt nhiệt độ cuối là $-8^\circ\mathrm C$.

Ví dụ 2. Từ thay đổi đến giá trị cuối

Cốt lõi

Em thử trước:

Ban đầu nhiệt độ $5^\circ\mathrm C$, mỗi giờ giảm $2^\circ\mathrm C$ trong $4$ giờ. Tìm nhiệt độ cuối.

Bắt đầu từ đâu?

Tính tổng thay đổi trước, rồi cộng vào nhiệt độ đầu.

Gợi ý để em tự tìm

Phải cộng $5$ với $4\times(-2)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng thay đổi là $4\times(-2)=-8^\circ\mathrm C$.

2. Nhiệt độ cuối $5+(-8)=-3^\circ\mathrm C$.

Tự kiểm

Tính theo từng giờ: $5;3;1;-1;-3$; có bốn lần giảm và giá trị cuối $-3^\circ\mathrm C$.

Ví dụ 3. Số lần dương, kết quả mỗi lần dương

Cốt lõi

Em thử trước:

Một trò chơi mô phỏng ghi lãi dương, lỗ âm. Mỗi lượt lãi $12$ nghìn đồng, chơi $6$ lượt giống nhau. Tổng kết quả là gì?

Bắt đầu từ đâu?

Số lượt và kết quả mỗi lượt đều dương.

Gợi ý để em tự tìm

Lập $6\times12$, giữ đơn vị nghìn đồng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số lượt là $6$; kết quả mỗi lượt $+12$ nghìn đồng. Tổng $6\times12=72$ nghìn đồng.

2. Dấu dương nghĩa là tổng lãi $72$ nghìn đồng trong mô phỏng, không phải lỗ.

Tự kiểm

$72:6=12$ và $6\times12=72$ kiểm kết quả mỗi lượt.

Ví dụ 4. Chia tổng thay đổi thành các bước bằng nhau

Cốt lõi

Em thử trước:

Một lượng thay đổi tổng cộng $-45$ đơn vị qua $5$ bước bằng nhau. Mỗi bước thay đổi bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Số bước là số chia dương; tìm mức thay đổi có dấu.

Gợi ý để em tự tìm

$5q=-45$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gọi $q$ là mức thay đổi mỗi bước, tính bằng đơn vị. Năm bước bằng nhau cho $5q=-45$.

2. $q=(-45):5=-9$ vì $5\times(-9)=-45$. Mỗi bước giảm $9$ đơn vị.

Tự kiểm

Số chia $5\ne0$; cộng năm mức $-9$ cho tổng $-45$, đúng dữ kiện.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Lặp cùng mức $q$ trong $n$ lần thì tổng thay đổi là $nq$, với $n$ nguyên không âm. Nếu biết tổng $T$ và $n>0$, mức mỗi lần là $T:n$ khi có thương nguyên. Nếu tìm số lần, kiểm kết quả là số nguyên không âm và phép nhân trả đúng tổng.

Giá trị cuối bằng giá trị đầu cộng tổng thay đổi. Giữ đơn vị: số lượt nhân nghìn đồng mỗi lượt cho nghìn đồng; tổng thay đổi nhiệt độ khác với nhiệt độ cuối. Với lượng hàng thực, còn phải kiểm không xuất hiện tồn kho âm.

Ví dụ 5. Tìm số lượt từ mức lỗ

Cốt lõi

Em thử trước:

Mỗi lượt trong một mô phỏng lỗ $7$ nghìn đồng, tổng lỗ $42$ nghìn đồng. Có bao nhiêu lượt, nếu mọi lượt đều có mức lỗ đó?

Bắt đầu từ đâu?

Cả tổng kết quả và mỗi lượt mang dấu âm; số lượt phải là số đếm dương.

Gợi ý để em tự tìm

$n\times(-7)=-42$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Gọi $n$ là số lượt nguyên dương. Quy ước lỗ âm cho tổng $-42$ và mỗi lượt $-7$ nghìn đồng, nên $n(-7)=-42$.

2. $n=(-42):(-7)=6$ vì $6\times(-7)=-42$. Có $6$ lượt.

Tự kiểm

Không trả lời “$-6$ lượt”: $(-6)(-7)=42$ còn sai dấu của tổng; $6$ là số đếm hợp lệ.

Ví dụ 6. Hai ý nghĩa khác nhau của tổng không

Cốt lõi

Em thử trước:

Một mô phỏng ghi mức thay đổi $-5$ điểm mỗi lượt nhưng thực hiện $0$ lượt. Mô phỏng khác thực hiện $4$ lượt, mỗi lượt thay đổi $0$ điểm. Tính hai tổng.

Bắt đầu từ đâu?

Nhìn số lượt và mức mỗi lượt riêng; đừng suy ngược quá nhiều từ tổng bằng $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$0\times(-5)$ và $4\times0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Mô phỏng thứ nhất có tổng $0\times(-5)=0$ điểm vì không thực hiện lượt nào.

2. Mô phỏng thứ hai có tổng $4\times0=0$ điểm vì mỗi lượt không đổi. Hai tổng bằng nhau nhưng lý do và số lượt khác nhau.

Tự kiểm

Tổng bằng $0$ không tự cho biết số lượt bằng $0$ hay mức mỗi lượt bằng $0$ nếu chưa biết thừa số còn lại.

Ví dụ 7. Hai giai đoạn trái dấu

Cốt lõi

Em thử trước:

Một hoạt động mô phỏng có $3$ ngày lỗ $8$ nghìn đồng mỗi ngày, sau đó $2$ ngày lãi $15$ nghìn đồng mỗi ngày. Tổng kết quả lãi hay lỗ?

Bắt đầu từ đâu?

Tính tổng riêng từng giai đoạn rồi cộng các kết quả có dấu.

Gợi ý để em tự tìm

Giai đoạn đầu $3(-8)$, giai đoạn sau $2(15)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ba ngày đầu cho $3\times(-8)=-24$ nghìn đồng; hai ngày sau cho $2\times15=30$ nghìn đồng.

2. Tổng $-24+30=6$ nghìn đồng, nên cả hoạt động lãi $6$ nghìn đồng.

Tự kiểm

Lãi $30$ bù lỗ $24$ còn $30-24=6$; không đếm năm ngày rồi nhân với một mức chưa được cho.

Ví dụ 8. Tìm nhiệt độ đầu từ nhiệt độ cuối

Cốt lõi

Em thử trước:

Nhiệt độ giảm đều $3^\circ\mathrm C$ mỗi giờ trong $2$ giờ và cuối cùng là $-5^\circ\mathrm C$. Tìm nhiệt độ ban đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Tính tổng thay đổi rồi đi ngược từ cuối về đầu.

Gợi ý để em tự tìm

Nếu ban đầu là $t$ thì $t+(-6)=-5$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng thay đổi là $2\times(-3)=-6^\circ\mathrm C$. Gọi $t$ là nhiệt độ đầu, cần $t+(-6)=-5$.

2. Đi ngược bằng cộng $6$: $t=-5+6=1$. Ban đầu là $1^\circ\mathrm C$.

Tự kiểm

Thay vào $1+2\times(-3)=1-6=-5$, đúng nhiệt độ cuối.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm hết số giờ theo một khoảng thay đổi

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Nhiệt độ giảm đều $4^\circ\mathrm C$ mỗi giờ. Chọn số giờ nguyên $n$ từ $0$ đến $6$ để tổng thay đổi từ $-20^\circ\mathrm C$ đến $-8^\circ\mathrm C$, kể cả hai đầu. Tìm mọi $n$.

Bắt đầu từ đâu?

Lập tổng $n(-4)$, thử đủ bảy giá trị số giờ.

Gợi ý để em tự tìm

Số giờ không âm; khoảng yêu cầu là $-20\le-4n\le-8$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tổng thay đổi là $n\times(-4)$ độ C. Cho $n$ lần lượt bằng $0;1;2;3;4;5;6$, các tổng lần lượt là $0;-4;-8;-12;-16;-20;-24$.

2. Các giá trị nằm trong khoảng đóng $[-20;-8]$ ứng với $n\in\{2;3;4;5\}$.

3. Vậy có bốn lựa chọn số giờ; không lấy $n=1$ hay $n=6$ vì tổng nằm ngoài khoảng.

Tự kiểm

$2(-4)=-8$ và $5(-4)=-20$ là hai đầu được nhận; các tổng giữa chúng cũng đúng khoảng.

Ví dụ 10. Tổng không có buộc từng bước không đổi?

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Một bạn nói “tổng thay đổi bằng $0$ thì mỗi bước đều không thay đổi”. Hãy xét hai bước giảm $3$ điểm và ba bước tăng $2$ điểm; sau đó nêu kết luận nếu mọi bước bằng nhau và số bước dương.

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt các bước không đều với trường hợp lặp cùng một mức.

Gợi ý để em tự tìm

Hai giai đoạn có tổng $2(-3)+3(2)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai bước đầu có tổng $2\times(-3)=-6$; ba bước sau có tổng $3\times2=6$. Tổng $-6+6=0$ dù mỗi bước đều khác $0$. Đây là phản ví dụ bác lời nói chung.

2. Nếu có $n>0$ bước và mỗi bước cùng mức $q$, tổng $nq=0$. Vì $n\ne0$ và tích hai số khác $0$ không thể bằng $0$, buộc $q=0$.

3. Vì vậy kết luận đúng dưới điều kiện các bước bằng nhau và số bước dương, nhưng sai khi thiếu điều kiện ấy.

Tự kiểm

Điều kiện $n>0$ cũng cần thiết: $0\times(-3)=0$ không buộc mức $-3$ bằng $0$.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Một hoạt động mô phỏng lỗ $15$ nghìn đồng mỗi ngày trong $6$ ngày. Quy ước lãi dương, lỗ âm. Tổng kết quả là bao nhiêu nghìn đồng?

Gợi ý bài 1

Số ngày là $6>0$, mỗi ngày ghi $-15$ nghìn đồng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Quy ước lỗ âm cho kết quả mỗi ngày $-15$ nghìn đồng. Tổng sáu ngày là $6\times(-15)$.

2. $6\times15=90$, hai thừa số khác dấu nên tổng $-90$ nghìn đồng, tức lỗ $90$ nghìn đồng.

Tự kiểm

$(-90):6=-15$ và $6(-15)=-90$ kiểm lại mức mỗi ngày.

Bài 2

Cốt lõi

Nhiệt độ giảm đều $3^\circ\mathrm C$ mỗi giờ trong $4$ giờ. Tổng mức thay đổi có dấu là bao nhiêu?

Gợi ý bài 2

Giảm được ghi bằng mức âm; số giờ dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Mỗi giờ thay đổi $-3^\circ\mathrm C$, nên tổng $4\times(-3)$.

2. $4\times3=12$, vì khác dấu nên tổng thay đổi $-12^\circ\mathrm C$, tức giảm $12^\circ\mathrm C$.

Tự kiểm

Cộng $-3$ bốn lần được $-12$. Không có nhiệt độ đầu nên chưa kết luận nhiệt độ cuối.

Bài 3

Cốt lõi

Tổng mức thay đổi của một lượng là $-36$ đơn vị qua $3$ bước bằng nhau. Mỗi bước thay đổi bao nhiêu đơn vị?

Gợi ý bài 3

Tìm mức $q$ thỏa $3q=-36$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Gọi $q$ là mức thay đổi mỗi bước, tính bằng đơn vị. Ba bước bằng nhau cho $3q=-36$.

2. $q=(-36):3=-12$ vì $3\times(-12)=-36$. Mỗi bước giảm $12$ đơn vị.

Tự kiểm

Số chia $3\ne0$; ba mức $-12$ cộng lại đúng $-36$.

Bài 4

Cốt lõi

Một bạn lấy “lỗ $8$ nghìn đồng mỗi lượt, $5$ lượt” thành $(-8)\times(-5)$. Giải thích dấu của số lượt và sửa kết quả.

Gợi ý bài 4

Có phải số lượt được ghi âm theo quy ước lỗ không?

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Số lượt là số đếm $5>0$; chỉ kết quả mỗi lượt là $-8$ nghìn đồng do quy ước lỗ âm. Không đổi số lượt thành $-5$.

2. Kết quả đúng $5\times(-8)=-40$ nghìn đồng, tức lỗ $40$ nghìn đồng. Phép $(-8)\times(-5)=40$ không mô tả dữ kiện.

Tự kiểm

$(-40):5=-8$ nghìn đồng mỗi lượt; dấu và đơn vị khớp mô hình.

Bài 5

Cốt lõi

Ban đầu nhiệt độ $-6^\circ\mathrm C$, mỗi giờ tăng $3^\circ\mathrm C$ trong $2$ giờ. Tìm nhiệt độ cuối.

Gợi ý bài 5

Tính tổng tăng rồi cộng vào giá trị âm ban đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Tổng thay đổi $2\times3=6^\circ\mathrm C$.

2. Nhiệt độ cuối $-6+6=0^\circ\mathrm C$.

Tự kiểm

Sau giờ thứ nhất là $-3^\circ\mathrm C$, sau giờ thứ hai là $0^\circ\mathrm C$; không phải $6^\circ\mathrm C$.

Bài 6

Cốt lõi

Một mô phỏng có $4$ lượt, mỗi lượt lỗ $9$ nghìn đồng. Quy ước lỗ âm. Tính tổng kết quả.

Gợi ý bài 6

Giữ số lượt dương, dùng mức lỗ âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Mỗi lượt ghi $-9$ nghìn đồng, số lượt $4$; lập $4\times(-9)$.

2. $4\times9=36$ nên tổng $-36$ nghìn đồng, tức lỗ $36$ nghìn đồng.

Tự kiểm

$(-36):4=-9$ và $4(-9)=-36$ kiểm ngược.

Bài 7

Cốt lõi

Một lượng giảm tổng cộng $56$ đơn vị qua $8$ bước bằng nhau. Tìm mức thay đổi có dấu mỗi bước.

Gợi ý bài 7

Tổng giảm được ghi $-56$, không phải $56$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Gọi $q$ là mức thay đổi mỗi bước. Có $8q=-56$ và $8\ne0$.

2. $q=(-56):8=-7$ vì $8\times(-7)=-56$. Mỗi bước giảm $7$ đơn vị.

Tự kiểm

$8\times7=56$ là độ lớn tổng giảm; dấu âm giữ ý nghĩa giảm.

Bài 8

Cốt lõi

Mỗi lượt mô phỏng lãi $7$ nghìn đồng, tổng lãi $42$ nghìn đồng. Có bao nhiêu lượt giống nhau?

Gợi ý bài 8

Số lượt là thương giữa tổng và kết quả mỗi lượt.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Gọi $n$ là số lượt nguyên dương. Quy ước lãi dương cho $7n=42$.

2. $n=42:7=6$ vì $7\times6=42$. Có $6$ lượt.

Tự kiểm

$6>0$ và tổng $6\times7=42$ nghìn đồng, đúng cả giá trị và đơn vị.

Bài 9

Cốt lõi

Ban đầu kho mô phỏng có $20$ sản phẩm. Trong $5$ lần liên tiếp, mỗi lần lấy ra $3$ sản phẩm và không nhập thêm. Tìm tổng thay đổi có dấu và số sản phẩm cuối.

Gợi ý bài 9

Lấy ra là thay đổi âm; số lượng tồn kho cuối là giá trị đầu cộng tổng thay đổi.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Tổng thay đổi $5\times(-3)=-15$ sản phẩm.

2. Số sản phẩm cuối $20+(-15)=5$. Các lượng sau từng lần là $17;14;11;8;5$, đều không âm nên mô hình lấy hàng thực hiện được.

Tự kiểm

$5\times3+5=20$ cho số đã lấy cộng số còn lại đúng lượng đầu.

Bài 10

Cốt lõi

Không thực hiện lượt nào, tổng thay đổi là $0$. Có thể dùng $0:0$ để suy ra mỗi lượt thay đổi $0$ không?

Gợi ý bài 10

Phân biệt tổng quan sát được với mức mỗi lượt chưa được xác định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Số lượt $0$ cho tổng $0\times q=0$ với mọi mức $q$, chẳng hạn $q=0$ hay $q=-4$.

2. $0:0$ không xác định, nên không suy ra mức mỗi lượt. Dữ kiện không có lượt nào không đủ xác định $q$.

Tự kiểm

Hai mức khác nhau $0;-4$ đều cho cùng tổng khi số lượt bằng $0$; cần thêm thông tin.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Kho mô phỏng có $18$ sản phẩm, mỗi lượt lấy $5$ sản phẩm, không nhập thêm và không cho tồn kho âm. Chọn số lượt nguyên $n$ từ $0$ đến $6$. Tìm mọi lựa chọn thực hiện được.

Gợi ý bài 11

Lượng cuối là $18-5n$; kiểm không âm và các lượt trước đó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Cho $n$ lần lượt bằng $0;1;2;3;4;5;6$, lượng cuối $18+n(-5)$ lần lượt là $18;13;8;3;-2;-7;-12$.

2. Chỉ $n\in\{0;1;2;3\}$ cho lượng cuối không âm. Trong các lựa chọn ấy lượng kho giảm dần qua $18;13;8;3$, nên mọi lượt trung gian cũng không âm.

3. Vậy thực hiện được $0;1;2$ hoặc $3$ lượt; $4$ lượt đã cần lấy $4\times5=20>18$ sản phẩm.

Tự kiểm

Lựa chọn $3$ lấy $15$ còn $3$; lựa chọn kế tiếp lấy $20$ thiếu $2$. Điều kiện tồn kho được kiểm, không chỉ dấu phép nhân.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Trong $5$ bước, mỗi bước hoặc giảm $4$ điểm hoặc tăng $6$ điểm. Tổng thay đổi bằng $0$. Tìm số bước mỗi loại và giải thích vì sao duy nhất.

Gợi ý bài 12

Liệt kê số bước giảm từ $0$ đến $5$, số bước tăng là phần còn lại.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Gọi $n$ là số bước giảm, $m$ là số bước tăng. Có $n,m$ nguyên không âm và $n+m=5$; tổng là $-4n+6m$.

2. Cho $n$ lần lượt bằng $0;1;2;3;4;5$ và số bước tăng tương ứng $m$ lần lượt bằng $5;4;3;2;1;0$, tổng lần lượt là $30;20;10;0;-10;-20$.

3. Chỉ $n=3,m=2$ cho tổng $0$. Có $3$ bước giảm và $2$ bước tăng; đã xét hết sáu phân bố nên kết quả duy nhất.

Tự kiểm

$3+2=5$ và $3(-4)+2(6)=-12+12=0$ kiểm cả số bước lẫn tổng thay đổi.

6. Tự kiểm sau khi học

Củng cố tính chất phép nhân và phối hợp với cộng trừ, đặc biệt khi có nhiều giai đoạn hoặc nhiều điều kiện.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Nhân và chia hết số nguyên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.