Viết tập hợp bằng tính chất đặc trưng lớp 6

Tập hợp và tập hợp số tự nhiên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-01-B4

Sau bài này, em có thể:

• Đọc và viết tập hợp bằng miền chọn và điều kiện.
• Đổi giữa tính chất và danh sách, kiểm mốc và tập hợp rỗng.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Muốn chọn số tự nhiên lớn hơn $1$ nhưng nhỏ hơn $5$, em sẽ thử những số nào? Cách viết $A=\{x\in\mathbb N\mid1<x<5\}$ đọc là “tập hợp các số tự nhiên $x$ sao cho $1<x<5$”. Bên trái dấu $\mid$ nói miền số được xét; bên phải nói điều kiện. Dấu này đọc là “sao cho”, không phải phép chia.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Đọc từng phần của cách viết

Cốt lõi

Em thử trước:

Đọc $A=\{x\in\mathbb N\mid1<x<5\}$ rồi dự đoán có nhận 1 và 5 không.

Bắt đầu từ đâu?

Tách miền chọn và hai điều kiện ở mốc.

Gợi ý để em tự tìm

Dấu nhỏ hơn không nhận trường hợp bằng.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Miền chọn là các số tự nhiên; điều kiện là lớn hơn 1 đồng thời nhỏ hơn 5.

2. Những số thỏa là $2,3,4$, nên $A=\{2;3;4\}$. Hai số 1 và 5 bị loại.

Tự kiểm

Số 0 thuộc miền số tự nhiên nhưng không thỏa điều kiện lớn hơn 1.

Ví dụ 2. Hai đầu đều được lấy

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê $B=\{x\in\mathbb N\mid2\le x\le5\}$. Có giống ví dụ trước không?

Bắt đầu từ đâu?

Chú ý dấu có gạch bằng.

Gợi ý để em tự tìm

$x=2$ và $x=5$ đều thỏa.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các số tự nhiên từ 2 đến 5, nhận hai đầu, là $2,3,4,5$.

2. Vậy $B=\{2;3;4;5\}$, khác tập hợp ở ví dụ trước vì có thêm 5.

Tự kiểm

Không đọc dấu ≤ thành dấu <.

Ví dụ 3. Từ danh sách sang tính chất

Cốt lõi

Em thử trước:

Viết $\{0;1;2\}$ bằng một tính chất của số tự nhiên.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm hai mốc hoặc một mốc đủ chọn đúng danh sách.

Gợi ý để em tự tìm

Trong miền số tự nhiên, điều kiện $x<3$ đã giữ cả 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Có thể viết $\{x\in\mathbb N\mid x<3\}$.

2. Liệt kê lại cho đúng $0,1,2$; số 3 và mọi số lớn hơn đều bị loại.

Tự kiểm

Không viết $x\le 3$ vì sẽ thêm số 3 ngoài danh sách.

Ví dụ 4. Chỉ một dấu thay đổi

Cốt lõi

Em thử trước:

Hai tập hợp $\{x\in\mathbb N\mid x<4\}$ và $\{x\in\mathbb N\mid x\le4\}$ có bằng nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

Thử số đúng tại mốc 4.

Gợi ý để em tự tìm

Số khác nhau cần tìm là 4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Tập hợp thứ nhất là $\{0;1;2;3\}$; thứ hai là $\{0;1;2;3;4\}$.

2. Vì 4 chỉ thuộc tập hợp thứ hai nên hai tập hợp không bằng nhau.

Tự kiểm

Một phần tử chứng minh được hai tập hợp khác nhau.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Muốn liệt kê, giữ đúng miền $x\in\mathbb N$ và kiểm mọi điều kiện sau dấu $\mid$. Muốn viết tính chất từ một danh sách hữu hạn, nêu miền và một điều kiện chọn đúng, đủ các số trong danh sách. Có thể có nhiều tính chất mô tả cùng một tập hợp; phải kiểm cả số được nhận và số bị loại.

Ví dụ 5. Miền chọn là điều kiện thật

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong $A=\{x\in\mathbb N\mid2<x<4\}$, có lấy $2{,}5$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm miền trước kiểm bất đẳng thức.

Gợi ý để em tự tìm

2,5 nằm giữa 2 và 4 nhưng không phải số tự nhiên.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $2{,}5$ thỏa điều kiện về mốc, nhưng không thuộc miền $\mathbb N$.

2. Chỉ có số tự nhiên 3 thỏa, nên $A=\{3\}$ và không lấy $2{,}5$.

Tự kiểm

Một số phải thỏa cả miền và điều kiện, không chỉ một phần.

Ví dụ 6. Không có nghiệm trong miền

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê $C=\{x\in\mathbb N\mid5<x<6\}$; so với $\{0\}$.

Bắt đầu từ đâu?

Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên khác.

Gợi ý để em tự tìm

Kiểm xem 0 có thỏa $5<x$ hay không.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Không có số tự nhiên nào giữa 5 và 6, nên $C=\varnothing$.

2. $\{0\}$ có một phần tử, còn $C$ không có phần tử, nên không bằng nhau.

Tự kiểm

Số thập phân 5,5 không được nhận vì miền chỉ là số tự nhiên.

Ví dụ 7. Có nhiều cách viết đúng

Cốt lõi

Em thử trước:

Hai tính chất $0<x<4$ và $1\le x\le3$ trong miền số tự nhiên có cho cùng tập hợp không?

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê lại cả hai bên, không so hình thức ký hiệu.

Gợi ý để em tự tìm

Số tự nhiên dương nhỏ hơn 4 bắt đầu từ 1.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Điều kiện $0<x<4$ chọn $1,2,3$.

2. Điều kiện $1\le x\le3$ cũng chọn $1,2,3$, nên hai cách viết xác định cùng tập hợp.

Tự kiểm

Điều này dùng miền số tự nhiên; không tự thay miền bằng mọi số thập phân.

Ví dụ 8. Đồng thời không phải tùy chọn

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê $A=\{x\in\mathbb N\mid x\le6\ \text{và }x\text{ là số lẻ}\}$. Có lấy 8 vì nó là số tự nhiên không?

Bắt đầu từ đâu?

Một phần tử phải thỏa cả hai điều kiện sau dấu sao cho.

Gợi ý để em tự tìm

Trong 0 đến 6, tìm các số lẻ.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các số tự nhiên không vượt 6 là $0,1,2,3,4,5,6$.

2. Lọc số lẻ còn $1,3,5$, nên $A=\{1;3;5\}$. Số 8 còn vi phạm $x\le 6$.

Tự kiểm

Không nhận 2 chỉ vì $2\le 6$; còn phải kiểm điều kiện lẻ.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Kiểm một mô tả quá rộng

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Bạn viết $\{1;3;5\}=\{x\in\mathbb N\mid x<6\}$. Tìm các phần tử chứng minh sai rồi sửa tính chất.

Bắt đầu từ đâu?

So danh sách nhận được ở vế phải với vế trái.

Gợi ý để em tự tìm

Vế phải còn nhận 0,2,4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Điều kiện $x<6$ trong miền tự nhiên cho $0,1,2,3,4,5$, nên nhận thừa 0,2,4.

2. Có thể sửa thành $\{x\in\mathbb N\mid x<6\ \text{và }x\text{ lẻ}\}$, đúng danh sách $1,3,5$.

Tự kiểm

Không chỉ thêm $x>0$ vì như vậy vẫn còn nhận 2 và 4.

Ví dụ 10. Không suy duy nhất từ vài phần tử

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Biết $A$ chứa 1,2,3 và không chứa 0. Có chắc $A=\{x\in\mathbb N\mid0<x<4\}$ không? Hãy xét $A$ chỉ gồm số tự nhiên.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm một tập hợp khác vẫn thỏa thông tin đã biết.

Gợi ý để em tự tìm

Thông tin chưa cấm số 4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\{1;2;3\}$ thỏa thông tin; $\{1;2;3;4\}$ cũng chứa 1,2,3 và không chứa 0.

2. Vì khả năng thứ hai không thỏa $x<4$ cho mọi phần tử, chưa thể khẳng định cách mô tả đã nêu.

Tự kiểm

Phải biết đủ điều kiện chọn; vài câu thuộc và không thuộc chưa mô tả hết tập hợp.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Liệt kê $B=\{x\in\mathbb N\mid x<4\}$.

Gợi ý bài 1

Giữ cả số 0 của miền tự nhiên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Các số tự nhiên nhỏ hơn 4 là $0,1,2,3$.

2. Vậy $B=\{0;1;2;3\}$, không có số 4.

Tự kiểm

Mỗi số trong ngoặc đều vừa thuộc miền vừa nhỏ hơn 4.

Bài 2

Cốt lõi

Liệt kê $C=\{x\in\mathbb N\mid3\le x\le6\}$.

Gợi ý bài 2

Hai dấu ≤ đều cho phép bằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Bắt đầu ở 3, lần lượt lấy $3,4,5,6$.

2. Vậy $C=\{3;4;5;6\}$; 2 và 7 bị hai mốc loại.

Tự kiểm

Không bỏ 3 hoặc 6 vì đã có dấu bằng.

Bài 3

Cốt lõi

Viết tập hợp $\{1;2;3;4\}$ bằng một tính chất đặc trưng của số tự nhiên.

Gợi ý bài 3

Đặt một mốc dưới và một mốc trên phù hợp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Có thể viết $\{x\in\mathbb N\mid1\le x\le4\}$.

2. Liệt kê lại thu được đúng $1,2,3,4$. Cách $\{x\in\mathbb N\mid0<x<5\}$ cũng đúng.

Tự kiểm

Điều kiện $x<5$ riêng lẻ sẽ nhận thêm 0 nên chưa đủ.

Bài 4

Cốt lõi

Hai tập hợp $\{x\in\mathbb N\mid2<x<3\}$ và $\{0\}$ có bằng nhau không? Giải thích.

Gợi ý bài 4

Kiểm có số tự nhiên nào nằm giữa 2 và 3.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Không có số tự nhiên nào thỏa $2<x<3$, nên tập hợp thứ nhất là $\varnothing$.

2. $\{0\}$ có một phần tử, còn tập hợp thứ nhất không có; hai tập hợp không bằng nhau.

Tự kiểm

Không dùng 2,5 vì không thuộc miền số tự nhiên.

Bài 5

Cốt lõi

Liệt kê $T=\{x\in\mathbb N\mid4<x\le8\}$.

Gợi ý bài 5

Loại 4 và nhận 8.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Các số thỏa bắt đầu từ 5, kết thúc ở 8.

2. $T=\{5;6;7;8\}$.

Tự kiểm

Cả 5 và 8 đều thỏa hai điều kiện.

Bài 6

Cốt lõi

Viết $\{2;3;4;5\}$ bằng tính chất đặc trưng, rồi kiểm số 1 và 6 không bị nhận thêm.

Gợi ý bài 6

Dùng hai đầu nhỏ nhất, lớn nhất có dấu bằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Viết $\{x\in\mathbb N\mid2\le x\le5\}$.

2. Số 1 không đạt mốc dưới; số 6 vượt mốc trên, nên không được nhận.

Tự kiểm

Liệt kê lại vẫn đúng bốn số đã cho.

Bài 7

Cốt lõi

Với $A=\{x\in\mathbb N\mid x\le3\}$, kiểm $0\in A$, $3\in A$, $4\notin A$.

Gợi ý bài 7

Thử ba số tại đầu nhỏ nhất và hai phía của mốc.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. 0 và 3 đều thuộc miền và không vượt 3 nên $0\in A$, $3\in A$.

2. 4 vượt 3 nên $4\notin A$. Cả ba câu đã cho đều đúng.

Tự kiểm

Phần tử bằng mốc được nhận vì dấu ≤.

Bài 8

Cốt lõi

Liệt kê $D=\{x\in\mathbb N\mid x<8\ \text{và }x\text{ chẵn}\}$.

Gợi ý bài 8

Lọc số chẵn trong miền từ 0 đến trước 8.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Các số chẵn thỏa là $0,2,4,6$.

2. Vậy $D=\{0;2;4;6\}$; không nhận 8 dù 8 chẵn vì không thỏa $x<8$.

Tự kiểm

Phải kiểm cả điều kiện chẵn và điều kiện mốc.

Bài 9

Cốt lõi

$A=\{x\in\mathbb N\mid6\le x\le6\}$. Tập hợp có rỗng không?

Gợi ý bài 9

Hai mốc trùng nhau nhưng đều có dấu bằng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Số 6 thỏa cả $6\le6$ và $6\le6$.

2. Không số nào khác thỏa; $A=\{6\}$ có một phần tử, không rỗng.

Tự kiểm

Mốc trùng không tự làm tập hợp rỗng; còn phải đọc dấu.

Bài 10

Cốt lõi

Bạn dùng $\{x\in\mathbb N\mid x>2\}$ để mô tả $\{3;4;5\}$. Nêu một phần tử được nhận thừa và sửa.

Gợi ý bài 10

Điều kiện $x>2$ chưa có giới hạn trên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Số 6 thỏa $x>2$ nhưng không nằm trong danh sách đã cho, nên mô tả nhận thừa.

2. Sửa thành $\{x\in\mathbb N\mid2<x<6\}$; liệt kê lại được $3,4,5$.

Tự kiểm

Không chọn một số ngoài miền tự nhiên làm phản ví dụ.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Trong miền $\mathbb N$, hai điều kiện $x<3$ và $x\le2$ có cùng tập hợp nghiệm không? Giải thích vì sao lập luận không được tự áp sang miền số thập phân.

Gợi ý bài 11

Liệt kê ở miền đã cho, rồi thử số 2,5 ở miền rộng hơn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Trong miền số tự nhiên, cả hai đều chọn $0,1,2$, nên cùng tập hợp.

2. Nếu xét số thập phân, $2{,}5<3$ nhưng $2{,}5>2$; vì vậy không được bỏ qua vai trò của miền.

Tự kiểm

Số 2,5 dùng để kiểm giới hạn của nhận xét, không phải phần tử được nhận trong miền tự nhiên.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Chỉ xét $x\in\{0;1;2;3;4;5\}$. So sánh tập hợp thỏa “$x<2$ và $x>3$” với tập hợp thỏa “$x<2$ hoặc $x>3$”.

Gợi ý bài 12

“Và” cần cả hai; “hoặc” chỉ cần ít nhất một điều kiện.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Không số nào vừa nhỏ hơn 2 vừa lớn hơn 3, nên tập hợp theo “và” là $\varnothing$.

2. Nhỏ hơn 2 chọn $0,1$; lớn hơn 3 chọn $4,5$. Theo “hoặc”, tập hợp là $\{0;1;4;5\}$.

Tự kiểm

Đã xét đúng miền sáu số và phân biệt hai cách nối điều kiện.

6. Tự kiểm sau khi học

Khi đổi giữa hai cách viết, luôn liệt kê lại để kiểm. Phân biệt rõ miền số tự nhiên có 0 và miền số tự nhiên khác 0 ở bài tiếp theo.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tập hợp và tập hợp số tự nhiên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.