Tập hợp N và N*: số tự nhiên lớp 6

Tập hợp và tập hợp số tự nhiên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-01-B5

Sau bài này, em có thể:

• Dùng đúng hai tập hợp số tự nhiên và số tự nhiên khác 0.
• Xác định số nhỏ nhất và giải thích vì sao không có số lớn nhất.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Một giá sách có thể không có cuốn nào, nên số lượng sách có thể là $0$. Nếu yêu cầu số lượng khác $0$, ta phải bắt đầu từ $1$. Trong các bài này, $\mathbb N=\{0;1;2;3;\ldots\}$ và $\mathbb N^*=\{1;2;3;\ldots\}$. Dấu sao chỉ việc loại số $0$, không phải bỏ mọi số nhỏ.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Giá sách trống

Cốt lõi

Em thử trước:

Một giá sách có 0 cuốn. Số lượng 0 thuộc $\mathbb N$ hay $\mathbb N^*$?

Bắt đầu từ đâu?

Dùng định nghĩa của hai danh sách.

Gợi ý để em tự tìm

Dấu sao loại riêng số 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $0$ là số đầu tiên trong danh sách của $\mathbb N$, nên $0\in\mathbb N$.

2. $\mathbb N^*$ bắt đầu từ 1 và không có 0, nên $0\notin\mathbb N^*$.

Tự kiểm

Không nhầm giá sách trống với việc 0 không phải số tự nhiên.

Ví dụ 2. Một số thuộc cả hai

Cốt lõi

Em thử trước:

Số 7 thuộc $\mathbb N$ và có thuộc $\mathbb N^*$ không?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm thêm điều kiện khác 0.

Gợi ý để em tự tìm

7 là số tự nhiên và 7 không bằng 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $7\in\mathbb N$ vì là số tự nhiên.

2. Vì $7\ne0$, số ấy cũng thuộc $\mathbb N^*$; hai quan hệ cùng đúng.

Tự kiểm

Hai tập hợp không tách rời hoàn toàn; chỉ khác việc có nhận 0.

Ví dụ 3. Liệt kê trước một mốc

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê các phần tử của $\mathbb N^*$ nhỏ hơn 4. Có mấy phần tử?

Bắt đầu từ đâu?

Bắt đầu từ 1 và dừng trước 4.

Gợi ý để em tự tìm

Không đưa 0 vào vì đang xét miền có dấu sao.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Các số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 4 là $1,2,3$.

2. Tập hợp cần tìm là $\{1;2;3\}$, có ba phần tử.

Tự kiểm

Không nhận 4 vì đề dùng nhỏ hơn, không phải không vượt quá.

Ví dụ 4. Tìm số nhỏ nhất

Cốt lõi

Em thử trước:

Số nhỏ nhất của $\mathbb N$ và $\mathbb N^*$ có giống nhau không?

Bắt đầu từ đâu?

Nhìn điểm bắt đầu của từng danh sách.

Gợi ý để em tự tìm

Trong số tự nhiên không có số nhỏ hơn 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $\mathbb N$ có số nhỏ nhất là 0.

2. $\mathbb N^*$ loại 0 nên có số nhỏ nhất là 1; hai số nhỏ nhất khác nhau.

Tự kiểm

Số 1 nhỏ nhất trong miền khác 0 nhưng không nhỏ nhất trong toàn bộ số tự nhiên.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Số tự nhiên gồm $0$ và các số $1,2,3,\ldots$. Tập hợp $\mathbb N^*$ gồm đúng những số của $\mathbb N$ khác $0$. Số nhỏ nhất lần lượt là $0$ và $1$. Với mỗi số tự nhiên $n$, số $n+1$ vẫn là số tự nhiên và lớn hơn $n$, nên không có số tự nhiên lớn nhất; lập luận cũng áp dụng cho số tự nhiên khác $0$.

Ví dụ 5. Cùng mốc, khác số phần tử

Cốt lõi

Em thử trước:

So các số của $\mathbb N$ nhỏ hơn 3 với các số của $\mathbb N^*$ nhỏ hơn 3.

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê riêng từng miền trước khi đếm.

Gợi ý để em tự tìm

Hai danh sách chỉ khác ở 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Trong $\mathbb N$, tập hợp là $\{0;1;2\}$, có ba phần tử.

2. Trong $\mathbb N^*$, tập hợp là $\{1;2\}$, có hai phần tử.

Tự kiểm

Không dùng cùng số lượng cho hai miền khi 0 thỏa điều kiện mốc.

Ví dụ 6. Dấu ba chấm không phải điểm dừng

Cốt lõi

Em thử trước:

Bạn đọc $\mathbb N=\{0;1;2;3;\ldots\}$ rồi nói số cuối là 3. Phản hồi thế nào?

Bắt đầu từ đâu?

Giải thích ý nghĩa các dấu chấm.

Gợi ý để em tự tìm

Sau 3 còn số liền sau 4.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Dấu $\ldots$ cho biết danh sách tiếp tục theo quy luật, không kết thúc ở 3.

2. Số $4$ cũng thuộc $\mathbb N$ và lớn hơn 3, nên 3 không là số cuối.

Tự kiểm

Có thể tiếp tục với 5,6; không có danh sách hữu hạn đầy đủ cho miền này.

Ví dụ 7. Giới hạn của bảng không là giới hạn miền

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong một bảng chỉ ghi số từ 0 đến 100. Có kết luận 100 là số tự nhiên lớn nhất không?

Bắt đầu từ đâu?

Phân biệt các số trong bảng với toàn bộ miền tự nhiên.

Gợi ý để em tự tìm

Tạo số liền sau của 100.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $101=100+1$ là số tự nhiên và lớn hơn 100.

2. Bảng có điểm dừng 100, nhưng $\mathbb N$ không kết thúc ở điểm dừng của bảng.

Tự kiểm

Không cần số 101 được in trong bảng để biết nó là số tự nhiên.

Ví dụ 8. Điều kiện làm rỗng một miền

Cốt lõi

Em thử trước:

Các số của $\mathbb N^*$ không vượt quá 0 có phần tử nào không?

Bắt đầu từ đâu?

Một số của miền dấu sao nhỏ nhất là 1.

Gợi ý để em tự tìm

Mọi phần tử của miền đều lớn hơn 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Không có số tự nhiên khác 0 nào nhỏ hơn hoặc bằng 0.

2. Tập hợp cần tìm là $\varnothing$, khác $\{0\}$ vì 0 không thuộc miền.

Tự kiểm

Nếu đổi miền thành $\mathbb N$ thì kết quả sẽ là $\{0\}$; phải đọc cả miền lẫn điều kiện.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Không có số lớn nhất: lập luận chung

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Một bạn chọn số tự nhiên $n$ bất kỳ và nhận nó là lớn nhất. Hãy dùng một công thức để bác mọi lựa chọn như vậy.

Bắt đầu từ đâu?

Tạo số liền sau, không chỉ thử một số cụ thể.

Gợi ý để em tự tìm

Xét $n+1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vì $n$ là số tự nhiên, số liền sau $n+1$ vẫn thuộc $\mathbb N$.

2. $n+1>n$, nên $n$ không thể lớn nhất. Mọi lựa chọn $n$ đều bị lập luận này bác, vì vậy không có số tự nhiên lớn nhất.

Tự kiểm

Đã dùng $n$ bất kỳ, mạnh hơn chỉ nêu một ví dụ sau 999.

Ví dụ 10. Số liền trước cần kiểm miền

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Mệnh đề “mọi phần tử của $\mathbb N^*$ đều có số liền trước trong $\mathbb N^*$” có đúng không?

Bắt đầu từ đâu?

Thử phần tử nhỏ nhất của miền.

Gợi ý để em tự tìm

Số liền trước của 1 là 0.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $1\in\mathbb N^*$ nhưng số liền trước của 1 là $0\notin\mathbb N^*$.

2. Mệnh đề sai. Với $n\ge2$, số $n-1\ge1$ vẫn thuộc $\mathbb N^*$; ngoại lệ là $n=1$.

Tự kiểm

Không nhầm việc có số liền trước trong $\mathbb N$ với có số liền trước trong miền dấu sao.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Điền $\in$ hoặc $\notin$: $0\ldots\mathbb N$; $0\ldots\mathbb N^*$; $15\ldots\mathbb N^*$.

Gợi ý bài 1

Dấu sao loại 0, không loại số tự nhiên dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $0\in\mathbb N$ và $0\notin\mathbb N^*$ theo định nghĩa.

2. $15$ là số tự nhiên khác 0 nên $15\in\mathbb N^*$.

Tự kiểm

Ba câu dùng đúng miền, không suy 0 không thuộc cả hai.

Bài 2

Cốt lõi

Viết tập hợp các phần tử của $\mathbb N^*$ nhỏ hơn 6.

Gợi ý bài 2

Bắt đầu 1 và dừng ở 5.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Các số tự nhiên khác 0 thỏa là $1,2,3,4,5$.

2. Tập hợp là $\{1;2;3;4;5\}$; 0 bị miền loại, 6 bị điều kiện mốc loại.

Tự kiểm

Nêu riêng được hai lý do loại 0 và loại 6.

Bài 3

Cốt lõi

Số nhỏ nhất của $\mathbb N$ là gì? Số nhỏ nhất của $\mathbb N^*$ là gì?

Gợi ý bài 3

Đối chiếu phần tử đầu của hai danh sách.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Số nhỏ nhất của $\mathbb N$ là 0.

2. Loại 0 khỏi miền thì phần tử nhỏ nhất còn lại là 1, nên số nhỏ nhất của $\mathbb N^*$ là 1.

Tự kiểm

Không chọn 1 làm số nhỏ nhất của $\mathbb N$ vì 0 vẫn thuộc $\mathbb N$.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn nói 999 là số tự nhiên lớn nhất vì sách chỉ viết đến đó. Dùng số liền sau để phản hồi.

Gợi ý bài 4

Tạo số $999+1$, rồi xét một số tự nhiên bất kỳ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $999+1=1000$ thuộc $\mathbb N$ và lớn hơn 999, nên nhận xét sai.

2. Với mọi số tự nhiên $n$, $n+1$ vẫn là số tự nhiên lớn hơn $n$. Vì vậy không có số tự nhiên lớn nhất.

Tự kiểm

Phần kết luận chung không dựa vào giới hạn trang sách.

Bài 5

Cốt lõi

Liệt kê các số của $\mathbb N$ nhỏ hơn 2 và các số của $\mathbb N^*$ nhỏ hơn 2.

Gợi ý bài 5

Chỉ có điểm 0 khác nhau giữa hai miền.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Trong $\mathbb N$, nhận $0,1$, được $\{0;1\}$.

2. Trong $\mathbb N^*$, chỉ nhận 1, được $\{1\}$.

Tự kiểm

Cùng điều kiện $x<2$ nhưng khác miền có thể cho khác tập hợp.

Bài 6

Cốt lõi

Số 25 có thuộc cả $\mathbb N$ và $\mathbb N^*$ không? Giải thích bằng điều kiện, không chỉ ghi ký hiệu.

Gợi ý bài 6

Kiểm tự nhiên và khác 0.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. 25 là số tự nhiên nên $25\in\mathbb N$.

2. 25 khác 0 nên $25\in\mathbb N^*$ nữa.

Tự kiểm

Không coi dấu sao là một miền loại những số đã thuộc $\mathbb N$.

Bài 7

Cốt lõi

Liệt kê các số của $\mathbb N^*$ không vượt quá 1.

Gợi ý bài 7

Giá trị bằng mốc 1 được nhận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Miền dấu sao bắt đầu từ 1; số 1 thỏa không vượt quá 1.

2. Mọi số còn lại đều lớn hơn 1, nên tập hợp là $\{1\}$.

Tự kiểm

Không ghi rỗng chỉ vì miền không có 0.

Bài 8

Cốt lõi

Liệt kê các số của $\mathbb N$ không vượt quá 0 và so với miền $\mathbb N^*$ cùng điều kiện.

Gợi ý bài 8

Kiểm trực tiếp số 0 với mỗi miền.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Trong $\mathbb N$, tập hợp là $\{0\}$.

2. Trong $\mathbb N^*$ không có phần tử nào thỏa, nên tập hợp là $\varnothing$.

Tự kiểm

Một bên có một phần tử; bên kia không có phần tử.

Bài 9

Cốt lõi

Bạn nói số 500 lớn nhất trong $\mathbb N^*$ vì đó là số cuối của danh sách bạn viết. Hãy sửa bằng một số cụ thể.

Gợi ý bài 9

Dùng số liền sau, rồi kiểm nó khác 0.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $501=500+1$ là số tự nhiên khác 0, nên $501\in\mathbb N^*$.

2. Vì $501>500$, số 500 không lớn nhất; danh sách hữu hạn của bạn không phải toàn bộ miền.

Tự kiểm

Số đưa ra phải vẫn thuộc miền dấu sao.

Bài 10

Cốt lõi

Liệt kê các số của $\mathbb N^*$ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 5. Miền dấu sao có làm thay đổi kết quả so với $\mathbb N$ không?

Gợi ý bài 10

Điều kiện lớn hơn 2 đã loại 0.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Các số thỏa là $3,4$, nên tập hợp là $\{3;4\}$.

2. Đổi sang miền $\mathbb N$ không nhận thêm số nào vì 0 không lớn hơn 2; kết quả vẫn như nhau.

Tự kiểm

Khác miền không có nghĩa mọi điều kiện đều cho hai kết quả khác nhau.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi $n\in\mathbb N$ để cả $n$ và $n+1$ đều nhỏ hơn 4. Nếu thay miền thành $\mathbb N^*$ thì kết quả đổi thế nào?

Gợi ý bài 11

Điều kiện $n+1<4$ chặt hơn $n<4$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Trong miền $\mathbb N$, thử lần lượt: $n=0$ cho $n+1=1$; $n=1$ cho $n+1=2$; $n=2$ cho $n+1=3$. Cả hai số đều nhỏ hơn 4. Từ $n=3$ trở đi, $n+1\ge4$ nên bị loại. Vậy $n\in\{0;1;2\}$.

2. Trong miền dấu sao, bỏ $n=0$; còn $n\in\{1;2\}$.

Tự kiểm

Thử lại cả hai số $n$,$n+1$ cho mỗi đáp án, không chỉ thử $n$.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Một bạn nói mọi số tự nhiên đều có số liền trước trong $\mathbb N$. Tìm ngoại lệ và phát biểu lại cho đúng.

Gợi ý bài 12

Thử số tự nhiên nhỏ nhất, rồi xét $n\ge 1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. 0 không có số tự nhiên nào liền trước vì không có số tự nhiên nhỏ hơn 0.

2. Phát biểu đúng: mỗi số tự nhiên $n\ge1$ có số liền trước $n-1\in\mathbb N$.

Tự kiểm

Không nhầm mệnh đề này với việc mọi số tự nhiên đều có số liền sau.

6. Tự kiểm sau khi học

Trước khi đếm hoặc tìm số nhỏ nhất, ghi rõ miền $\mathbb N$ hay $\mathbb N$ có dấu sao. Bài sau dùng các số tự nhiên để đọc giá trị hàng và lớp.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tập hợp và tập hợp số tự nhiên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.